Ecuaciones diferenciales de Equilibrio

Ecuaciones diferenciales de Equilibrio
28 de marzo de 2006
1.
1.1.
Elasticidad en una dimensión
Esfuerzo σ y carga lineal b(x)
Para examinar un cuerpo desde el contı́nuo, que es la primera hipótesis
(a), utilizamos el cálculo diferencial, y para inspeccionar el material con las
leyes de Newton, examinaremos una probeta cargada como se muestra en la
figura:
Supondremos que esta probeta limitada por ambos extremos, es un sólido
contı́nuo que también sufre deformaciones debidas a una distribución longitudinal de carga interna (p.ej. gravedad1 o E.M.) representado mediante el
vector b(x)2 :
La suma de todas las fuerzas en este tramo se anulan si el cuerpo está en
reposo:
1
dP = dm · g = ρ · A · dx · g,
bo = dP/dx = ρ · A · gb0
2
Esta fuerza por unidad e longitud no puede variar en la sección perpendicular a x,
pues estamos restringidos a 1D.
1
Ftotal =
X
P
Fiext +
P
Fiint = 0,
y
P
Fiext = 0,
P
Fiint = 0
b) · ∆x − A(x) · σ(x) = 0
Fiext = A (x + ∆x) · σ (x + ∆x) + b(x
(1)
p1. ¿por qué externas?
b) multiplicada por ∆x es
b es el punto3 donde el valor de la función b(x
donde x
R
igual que b(x)·dx. Si desarrollamos por Taylor el primer término de la izq.:
0
σ (x + ∆x) ≈ σ (x) + σ (x)∆x
podemos adoptar una aproximación que consiste en suponer que (b) la
curvatura de σ (o segunda derivada) multiplicada por ∆x2 es desprecia0
00
ble respecto al término lineal σ (x)∆x >> σ (x) · ∆x2 . Si dividimos entre
∆x, haciendo éste muy pequeño, y suponiendo que la sección es constante,
de la ecuación (1) deducimos que:
dA(x) · σ(x)
(2)
dx
Como contraejemplo podemos considerar una fuerza puntual, o mejor dicho,
muy concentrada en torno a ∆x, de tal manera que por muy pequeño que
hagamos ∆x, el término de sgo. orden no es despreciable. En este caso, la ley
de Hooke se cumple siempre que no se supere σf , pero la relación entre carga
y tensión no es de primer orden. Cuando este tipo de distribuciones en el
régimen lineal se disipa rápidamente, en virtud de teorema de Saint-Venant,
podremos incluir el efecto de fuerzas reales, siempre que la distribución asociada no de lugar a tensiones locales por encima de la tensión de fluencia
σf (x).
b(x) = −
p2. ¿que tipo de cargas o distribuciones podemos incluir si queremos utilizar las relaciones para describir su estado?,¿como aplicarı́a el principio de Saint-Venant en este
tipo de problemas?
En lo que sigue, siempre vamos a analizar tramos en los que se cumpla
3
ext
Teorema del valor medio: FN
etaen∆x =
R x+∆x
x
2
b(x) · dx = b(x
b) · ∆x
la hipótesis a y b, por tanto, podemos incluir las distribuciones que no sobrepasen σf (x).
p3. En un medio poroso, ¿cual serı́a el valor de σf , si suponemos que el medio es
equivalente a una esponja rı́gida con poros de radio r?
1.2.
Deformación y desplazamiento δ
Si ahora analizamos la deformación a partir de las deformaciones locales en
x, δ(x), y x + ∆x,δ(x + ∆x):
encontramos que:
0
∆x − ∆x
(x) =
∆x
0
0
0
Como δ(x) = x − x =⇒ δ(x + ∆x) = x + ∆x − x − ∆x
δ(x + ∆x) − δ(x)
∆x
Si hacemos como antes, ∆x → 0:
(x) =
(x) =
dδ
dx
(3)
(4)
(5)
que es la que faltaba para completar el número de ecuaciones que nos permitirá conocer los desplazamientos a partir de cargas y condiciones de contorno.
1.3.
Desplazamiento δ, carga b(x)
Vamos a agrupar las ecuaciones:
dδ
dA(x) · σ(x)
b(x) = −
σ(x) = E · (x)
(6)
dx
dx
para obtener la relación entre el desplazamiento δ(x) y la carga b(x):
d
dδ
(AE ·
) + b(x) = 0
(7)
dx
dx
Si que A y E son constantes:
(x) =
AE ·
d2 δ
+ b(x) = 0
dx2
3
(8)
1.4.
1.4.1.
Ejemplos
Viga cilı́ndrica (A) y homogénea (ρ) empotrada por ambos
lados
Para la columna de la figura 1, suponiendo que b(x) = bo = cte, calcule
el diagrama de deformación, esfuerzo y tensión4 .
1.4.2.
Viga cilı́ndrica (A) y homogénea (ρ) empotrada
Para la siguiente columna, calcule diagrama de deformación, esfuerzo y
tensión.
4
Solución. En este caso, la distribución lineal de fuerza es constante. Si A y E también
son constantes en la probeta:
b(x) = bo =⇒ AE ·
bo x
d
= −bo =⇒ (x) = (0) −
dx
AE
(9)
Tenemos que encontrar el valor de (0). Para esto utilizaremos la relación:
(x) =
dδ
dx
y
δ(0) = δ(L) = 0
bo x
dδ
=⇒ dδ = −
dx + (0)dx
dx
AE
Al integrar esta relación, obtenemos:
(x) =
(x) = (0) −
b0 x2
− (0)x
2AE
donde(0) = 0
(10)
(11)
(12)
en x = L, (L) = 0. Por tanto:
(0) =
bo L
2AE
(13)
x bo Lx
)·
L 2AE
(14)
De aquı́ obtenemos
δ(x) = (1 −
4
1.4.3.
Barra prismática girando
Una barra prismática delgada y homogénea de longitud 2L gira con
velocidad angular constante ω en un plano horizontal alrededor de un eje
fijo respecto a su punto medio como indica la figura. El área de sección
recta cuadrada de la barra es A, su densidad (Kg/m3 ) ρ, y el módulo de
Young y coeficiente de Pisson E, y ν. Calcule las tensiones y alargamientos
longitudinales y transversales máximos.5
2.
Elasticidad en dos dimensiones
Hay problemas que hemos de solucionar en dos dimensiones. Incluso en una
viga de sección constante sometida a tracción, como la mostrada en la figura, si queremos estudiar el equilibrio de fuerzas en un plano de orientación
arbitraria α, tendremos que considerar esfuerzos que son tangentes a la superficie. Estos se denominan esfuerzos cortantes.
Si dibujamos el tramo izquierdo:
5
Vamos a utilizar la ecuación de equilibrio en una dimensión. La fuerza centrı́fuga a la
que está sometida un elemento dm a una distancia x del eje de rotación es dF = ac dm,
2
donde ac = Vx , por tanto b(x) = dF
= ω 2 xρA. La ecuación que hemos de resolver es:
dx
AEd = −ω 2 xρAdx =⇒ (x) = (0) −
ρω 2 x2
2E
(15)
Como en los extremos de la barra x = ±L no hay fuerza externa aplicada, σ(±L) = 0 =⇒
(±L) = 0. Por tanto, la tensión máxima ocurre en x = 0, y su valor es:
σx(max) = σ(0) =
ρω 2 L2
2
(16)
ρω 2 L3
3E
(17)
Integrando la expresión anterior, deducimos que:
δx(max) = δ(L) =
Como el coeficiente de Poisson es ν = − xy , entonces:
σy(max) = −ν
y
δy(max)
ρω 2 L2
2
√
√
ν A
ρω 2 L2 ν A
=−
δx(max) = −
L
3E
5
(18)
(19)
y proyectando la tensión sobre los ejes x0 e y 0 , obtenemos dos fuerzas, una
normal y otra perpendicular a la superficie:
El esfuerzo normal a esta superficie es: σα =
T sin(α)
tante: τα = − A/
cos(α =
T
A
T cos(α)
A/ cos(α
=
T
A
cos2 (α), y el cor-
sin(α) cos α.
De este sencillo ejemplo podemos concluir que el módulo del esfuerzo cortante es máximo cuando α = ∓π/4, mientras que el normal lo es cuando
α = ∓π.
6
2.1.
Esfuerzo cortante τ y deformación unitaria cortante γ
Supongamos un elemento dentro de un sólido sometido a una fuerza
F sobre la superficie superior: En esta figura solo hemos representado la
fuerza que produce el corte, y la deformación (linea negra). Está claro que
si el elemento está en equilibrio, los cortes apareceran en todas las caras del
cuadrado (a continuación, por comodidad, representamos las fuerzas tangentes sobre un elemento sin deformar, suponiendo espesores dx, dy y profundidad dz): τ es el esfuerzo cortante (N/m2 ), y los subı́ndices se refieren
a las diferentes caras laterales del paralepı́pedo. La sumatoria de fuerzas y
momentos se ha de anular:
P
F = 0, τ1 − τ3 = 0 =⇒ τ1 = τ3
P x
Fy = 0, τ4 − τ2 = 0 =⇒ τ4 = τ2
P
C
M = 0,
−τ1 · (dxdz)dy − τ2 (dydz)dx = 0 =⇒ τ2 = −τ1
7
Si definimos τ1 ≡ τyx , la figura queda como:
donde τxy = τyx
Respecto a la deformación unitaria cortante, se define como la diferencia
entre los ángulos final e inicial formados por dos lı́neas después y antes de
la deformación:
De la figura podemos concluir que la deformación unitaria cortante (en radianes) es:
αf inal − αinicial ≡ γxy = γyx =
8
∂δx ∂δy
+
∂y
∂x
(20)