Elasticidad

Mecánica de Sólidos
Guı́a N◦ 7: Elasticidad
1. Sea A el gradiente de deformación. Mostrar que
∂
I1 (AT A) = 2AT
∂A
©
ª
∂
I2 (AT A) = 2 I1 (AT A)I − AT A AT
∂A
∂
I3 (AT A) = 2I3 (AT A)B T
∂A
2. Sea φ una función objetiva del gradiente de deformación:
φ(A) = φ(U )
Si φ es isotrópica, mostrar que φ(U ) = φ(V ) y
∂φ
∂φ T
∂φ
=
R = RT
∂A
∂U
∂V
Confirmar este resultado para det A.
3. Sean I1 , I2 , I3 los invariantes principales del tensor de stretch izquierdo
V . Sea W (I1 , I2 , I3 ) la energı́a de deformación de un sólido elástico
isotrópico. Obtenga la representación
T = φ0 I + φ1 V + φ2 V 2
para el tensor de Cauchy, expresando φ0 , φ1 , φ2 en términos de I1 , I2 , I3 ,
∂W/∂I1 , ∂W/∂I2 , ∂W/∂I3 . Deducir además que:
∂W
ti − tj
−1 ∂W
= I3−1
+ λ−1
i λj
λi − λj
∂I1
∂I2
con ti , λi componentes principales de T , V , respectivamente.
4. Mostrar que para un material elástico de Green con energı́a de deformación W (I1 , I2 , I3 ), con I1 , I2 , I3 los invariantes principales de AT A,
el tensor nominal de tensión está dado por
S=2
ª
∂W ©
∂W T
∂W T
A +2
I1 I − AT A AT + 2I3
B
∂I1
∂I2
∂I3
1