Elasticidad
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Mecánica de Sólidos Guı́a N◦ 7: Elasticidad 1. Sea A el gradiente de deformación. Mostrar que ∂ I1 (AT A) = 2AT ∂A © ª ∂ I2 (AT A) = 2 I1 (AT A)I − AT A AT ∂A ∂ I3 (AT A) = 2I3 (AT A)B T ∂A 2. Sea φ una función objetiva del gradiente de deformación: φ(A) = φ(U ) Si φ es isotrópica, mostrar que φ(U ) = φ(V ) y ∂φ ∂φ T ∂φ = R = RT ∂A ∂U ∂V Confirmar este resultado para det A. 3. Sean I1 , I2 , I3 los invariantes principales del tensor de stretch izquierdo V . Sea W (I1 , I2 , I3 ) la energı́a de deformación de un sólido elástico isotrópico. Obtenga la representación T = φ0 I + φ1 V + φ2 V 2 para el tensor de Cauchy, expresando φ0 , φ1 , φ2 en términos de I1 , I2 , I3 , ∂W/∂I1 , ∂W/∂I2 , ∂W/∂I3 . Deducir además que: ∂W ti − tj −1 ∂W = I3−1 + λ−1 i λj λi − λj ∂I1 ∂I2 con ti , λi componentes principales de T , V , respectivamente. 4. Mostrar que para un material elástico de Green con energı́a de deformación W (I1 , I2 , I3 ), con I1 , I2 , I3 los invariantes principales de AT A, el tensor nominal de tensión está dado por S=2 ª ∂W © ∂W T ∂W T A +2 I1 I − AT A AT + 2I3 B ∂I1 ∂I2 ∂I3 1
