El Tensor de Esfuerzos y Esfuerzos Principales

Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema
coordenado en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser
expresados en otro sistema coordenado por medio de la transformación:"
De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio
de la transformación matricial:"
Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x1 y x2
sometido a sólo esfuerzos normales σ1 y σ2, de forma que el tensor es diagonal:"
Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de
forma que: "
Por ejemplo, si σ1 = 1
y σ2 = -1 y θ = 45°:"
Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo
esfuerzos normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte:"
Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema de ejes
coordenados, 45˚ en este caso."
Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar
un sistema de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales (¡eliminamos los
esfuerzos de corte!)."
"
A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se
les llama ejes de esfuerzos principales."
"
Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra
vectorial (búsqueda de valores y vectores principales)."
"
Cuando buscamos los vectores principales, estamos buscando un vector al que una
transformación no cambia excepto por su magnitud. "
Por ejemplo:"
En los dos casos anteriores tenemos la multiplicación de una matriz por un vector,
pero en el segundo caso, el resultado es un múltiplo exacto del vector original."
La matriz se puede considerar una transformación, y el vector en el segundo caso es
un tipo de vector al cual la transformación no produce traslación y sólo lo cambia de
tamaño (hay un factor de escala)."
"
En nuestro caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las
normales de las caras definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos
(o sea que están en la misma dirección de las normales y sólo necesitamos un factor
de escala como antes), esto lo podemos expresar como:"
Fijarse que sólo varían por un factor de escala: λ
Esta ecuación se puede re-escribir como:"
Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que
los valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea
igualado a cero (esto nos va a dar la ecuación normal que define los
valores característicos):"
Las componentes de
son los vectores principales del tensor de
esfuerzos (ejes de esfuerzos principales) y los valores λ , asociados a
cada eje, nos dan las magnitudes de los esfuerzos principales. La
ecuación (determinante igualado a cero) para encontrar estos valores
puede escribirse como:"
"
"
"
"
"
"
donde las I´s son los llamados “invariantes” del tensor de esfuerzos.
Se llaman así porque estos valores no cambian aunque cambie el
sistema de referencia."
Los Invariantes están definidos por:"
Los esfuerzos principales
tienen una magnitud dada
por los valores principales
y se pueden encontrar las
tres superficies
perpendiculares en las
cuales NO HAY
ESFUERZOS DE CORTE."
En el nuevo sistema el
estado de esfuerzos queda
definido como"
= 0"
Ejercicio:"
Si los invariantes están dados por:"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
"
¿Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?"
Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe el
máximo esfuerzo de corte (problema de máximos y mínimos entre el
esfuerzo de corte contra el ángulo del plano). Para dicho plano el valor
del esfuerzo máximo de corte (notar que no depende de σ2) es:"
Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º
de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las
direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son
(1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte serían:"
Es decir, los cosenos directores de un plano a 45º de i y j, siendo i y j las
direcciones de los esfuerzos principales."
Sin embargo, debido a la cohesión de
los materiales geológicos, la ruptura
ocurre generalmente a planos más
cercanos a las dirección del eje σ1 .
Aproximadamente a 25º"
La fractura ocurriría aquí"
El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano
de máximo esfuerzo de corte es a 45º de los esf principales."
Falla normal"
Falla inversa"
Vista de lado
Vista de planta"
Falla de rumbo"
Definimos el Esfuerzo Promedio como:"
Y el Esfuerzo desviador o deviatórico:"
Condición Litostática:"
Para una prueba triaxial de
laboratorio tendríamos"
Por lo que el esfuerzo desviador nos
queda:"
Lo cual explica porqué se usa la diferencia
σ1 – σ3 como parámetro de esfuerzo"
•  Al esfuerzo deviatórico (o desviador) también se le pueden obtener sus
valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma
orientación que los del tensor original"
•  Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso de la columna de roca)
recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kPa = 1 bar (por ejemplo una
llanta se infla a ~ 200 kPa que son 2 bar)."
Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos:"
P = - ρ g z = -(3 x 103 kg m-3 )(9.80 m seg-2)(3 x 103 m) ≈ -90 x 106 Pa
= -90 MPa ( o sea 0.9 kbar)"
O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar de presión!