Ejercicio nº 1.- Se consideran dos vectores linealmente

ETSI de MINAS DE MADRID – Ing. Geólogo
Segundo Curso – TEORÍA DE CAMPOS
Alumno
Examen Final Ordinario
10 de junio de 2011
D.N.I. :
NORMAS del EXAMN: 1) Cada ejercicio comenzará a resolverse en la misma hoja del enunciado, a la que puede añadirse a lo
sumo una hoja adicional grapada. 2) No está permitido levantarse ni hablar durante el examen. 3) No se hacen aclaraciones
adicionales a los enunciados, que el alumno debe entender con sus conocimientos de la asignatura.
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Ejercicio nº 1.- Se consideran dos vectores linealmente independientes, u, v, del espacio vectorial euclídeo
3, y el tensor de segundo orden T := (u)·(v). Se pide:
1) Probar la identidad: (u)·(v) = vu – (u·v) 1, donde 1 es el tensor métrico o unidad. [4 puntos].
2) Determinar el vector axial, , de la parte antisimétrica, A, del tensor T anterior. [2 puntos].
3) Deducir las autovalores y autovectores del tensor T, admitiendo que u y v no son ortogonales. [4 puntos].
Razónese intrínsecamente, en términos de los vectores dados.
Solución: (ver Práctica 1, ejercicio nº 11)
• 1) Se debe aplicar la definición de contracción tensorial al producto (u)·(v), que nos dice cómo actúa el
tensor producto sobre cualquier vector x  3 :
[(u)·(v)]·x ≔ (u)·[(v)·x] = (u·(vx) = u(vx) = (apl.”bac-casb”, formulario) = v(u·x)  x(u·v) = …
El vector que resulta se puede expresar directamente como la acción del tensor vu – (u·v) 1 del enunciado
sobre x, porque
… = (vu)·x – (u·v)1·x = [vu – (u·v)1]·x
Por la arbitrariedad de x esto prueba lo que se pide.
#.
• 2) Se tiene que:
A=
y piden  
3
T  Tt
2
=
vu – (u·v) 1  uv + (u·v) 1 vu – uv
=
= ½(vu – uv)
2
2
/ A·x =   x , x 
3
; pero
A·x = ½ [v(u·x)  u(v·x)] = …
y puede aplicarse de nuevo la fórmula del “bac-cab” y las propiedades del producto vectorial para continuar, buscando
la forma de un vector que multiplica vectorialmente al vector x :
uv
… = ½ x (v  u) =  ½ (v  u)  x = ( 2 ) x
uv
De este modo se concluye:
= 2
#.
• 3) Para determinar autovalores y autovectores de T = vu – (u·v) 1, buscamos vectores w cuya imagen T·w sea
proporcional al propio w,. o sea, de la forma w. Planteamos, pues,
T·w = [vu – (u·v) 1]·w = v (u·w)  (u·v) w ¿=?  w
y se rata de observar bajo qué condiciones o valores de w será posible extraerlo factor común del primer
miembro de esta expresión. Y se observan dos posibilidades:
i) si w  u entonces u·w = 0 y T·w queda: T·w = 0v  (u·v)w =  (u·v)w  1 = u·v  0, w1  u
o sea, sale un primer autovalor 1 = u·v con su subespacio asociado de autovectores {u} o el
subespacio ortogonal al vector u. Al ser el subespacio bidimensional, este autovalor es necesariamente
doble.
ii) si w = v entonces T·w = v(u·v)  (u·v)v = 0  2 = 0 , w2 = v
o sea, sale otro autovalor simple, 2 = 0, con el subespacio asociado L({v}), o la recta vectorial
generada por v
#
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