Diagonalización de Matrices

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MATEMÁTICOS
TEMA 8: DIAGONALIZACIÓ
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES
APLICACIONES LINEALES
Definición y aplicaciones
• Diremos que f: Rn → Rm es una aplicación lineal si cumple:
– A) f es una aplicación de Rn en Rm, es decir, cada vector u = (x1,x2,
…,xn) ∈ Rn se transforma en único vector f(u) = (x’1,x’2,..,x’m) ∈ Rm que
llamaremos imagen de u.
– B) f(u + v) = f(u) + f(v) para todo u, v ∈ Rn.
– C) f(αu) = αf(u) para todo u ∈ Rn y α ∈ R.
• Al espacio Rn lo llamaremos espacio inicial y a Rm espacio final.
• Cuando m = n, es decir, cuando coincidan los espacios inicial y
final, diremos que f es un endomorfismo.
Propiedades de las aplicaciones lineales:
Toda aplicación lineal f verifica:
1) f(0) = 0, es decir, la imagen del vector cero es cero.
2) La imagen de un subespacio del espacio inicial es subespacio del espacio final.
NUCLEO E IMAGEN DE UNA
APLICACIÓ
APLICACIÓN LINEAL
Núcleo e imagen
Definición de núcleo:
Se llama núcleo de una aplicación lineal f al conjunto de vectores
del espacio inicial cuya imagen es el vector cero. Usaremos la
notación Ker(f).
Propiedad del núcleo: El núcleo es un subespacio vectorial del espacio
inicial.
Definición de la imagen:
Se llama imagen de una aplicación lineal f al conjunto de vectores f(u),
donde u es un vector arbitrario del espacio inicial. Utilizaremos la
notación Im(f).
Propiedad de la imagen: La imagen de una aplicación lineal es un
subespacio vectorial del espacio final.
Núcleo e imagen
Teorema:
Toda aplicación lineal f verifica la siguiente propiedad:
dim Ker(f) + dim Im(f) = dim (Espacio inicial)
REPRESENTACIÓ
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE
UNA APLICACIÓ
APLICACIÓN LINEAL
Representación matricial
Definición de matriz canónica de una aplicación lineal:
Dada una aplicación lineal f: Rn → Rm, se llama matriz canónica de f a la matriz de
orden m × n cuyas columnas son las imágenes de la base canónica del espacio
inicial Rn.
La imagen f(v) = (x’1,x’2,..x’m) de v = (x1,x2,…,xn) puede obtenerse mediante:
 x '1

 M
 x'
 m
 
 
=
 
 
  x1

 M
 x
 n





f(e1) … f(en)
Teorema:
Al multiplicar la matriz canónica de f por el vector columna formado por las
coordenadas de u, se obtiene el vector columna formado por las coordenadas del
vector imagen f(u).
Representación matricial
Propiedades:
La aplicación f es lineal si y sólo si existe una matriz A que verifique la fórmula
anterior, es decir si cada coordenada x’i puede escribirse en la forma:
x 'i = ai1 x1 + ai 2 x2 + ... + ain xn
•Composición de aplicaciones lineales:
Pueden efectuarse consecutivamente dos o más aplicaciones lineales:
f
g
m
n
R
R
Rp
(x1,…,xn)
(x’1,…,x’m)
(x’’1,…,x’’p)
Llamaremos f compuesta con g y escribiremos g°f a la aplicación:
g o f (x1,...,xn ) = g( f (x1,...,xn )) = g(x'1 ,...,x'm ) = (x' '1 ,...,x' 'p )
La matriz canónica de g°°f es el producto de la matriz canónica de g por la
matriz canónica de f.
Representación matricial
Automorfismos:
Una aplicación lineal f de Rn en si mismo diremos que es un
automorfismo si el determinante de su matriz canónica es distinto
de cero.
Observaciones:
1) Si f es un automorfismo de aplicación canónica A, la aplicación lineal de matriz
canónica A-1 se llama inversa de f (f-1). Esta aplicación también es un automorfismo.
2) La aplicación lineal que transforma cada vector de Rn en si mismo se llama aplicación
identidad y su matriz canónica es la matriz identidad I. Esta aplicación también es un
automorfismo.
Imagen y núcleo de un automorfismo:
• El núcleo de todo automorfismo f de Rn es el subespacio vectorial {0}
y su imagen coincide con el espacio final, es decir, ker(f) = {0} e Im(f)
= Rn.
• En un automorfismo, todo vector del espacio inicial tiene una única
imagen y todo vector del espacio final tiene un único original.
Representación matricial
Matrices asociadas a un endomorfismo:
Para un endomorfismo f: Rn → Rn y una base B de Rn, se llama matriz
asociada a f respecto de la base B a la matriz que tiene por columnas las
coordenadas de las imágenes de los vectores de B expresadas respecto
de la base B.
Teorema:
AB . [uB] = [f(u)B], es decir, multiplicando la matriz AB (matriz asociada a f respecto
de la base B) por el vector columna [uB] (coordenadas de u respecto de B) se
obtiene el vector columna [f(u)B] (coordenadas de la imagen f(u) respecto de B).
Teorema:
La matriz AB asociada al endomorfismo f respecto de la base B está relacionada
con la matriz canónica de f mediante la igualdad AB = P-1 . A . P, siendo P la
matriz que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de la base B
respecto de la base canónica (matriz del cambio de base).
AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE
UNA MATRIZ
Autovalores y autovectores
Autovalores:
Dada una matriz cuadrada A, se llama autovalor de A (o valor
propio de A) a todo número λ tal que det(A - λI) = 0, siendo I la
matriz identidad. La ecuación que resulta se llama ecuación
característica de A.
Autovector:
Dada una matriz A de orden n × n, sea λ un autovalor real de A.
Decimos que un vector v = (x1,x2,…,xn) ∈ Rn es un autovector (o vector
propio) de A asociado a λ, si v es no nulo y verifica:
 x1 
 x1 
 
 
A ⋅ [v ] = λ ⋅ [v ] ⇔ A ⋅  M  = λ  M 
x 
x 
 n
 n
Observaciones:
1) En este tema sólo se tratarán autovalores reales, por lo que no consideraremos
autovectores asociados a autovalores complejos
Autovalores y autovectores
Propiedades:
1) Si añadimos el vector cero al conjunto de los autovectores asociados a un
autovalor λ ∈ R, obtenemos un subespacio vectorial de Rn (subespacio de
vectores asociado a λ S(λ
λ)). La dimensión de S(λ) es menor o igual que el
orden de multiplicidad del autovalor λ.
2) Autovectores asociados a valores propios distintos son linealmente
independientes.
3) Interpretación geométrica: Los autovectores de una matriz A representan las
direcciones que son invariantes por el endomorfismo de matriz canónica A.
Autovalores y autovectores
Autovalores y autovectores de matrices simétricas:
Propiedades:
1) Todos los autovalores de una matriz simétrica son reales.
2) Si u y v son vectores propios de una matriz simétrica,
asociados a autovalores distintos, entonces u y v son
ortogonales.
DIAGONALIZACIÓ
DIAGONALIZACIÓN
Diagonalización
Teorema:
Una matriz A de orden n×n es diagonaizable si y sólo si existe una
base de Rn formada por vectores propios de A
Observación: Si f es el endomorfismo de matriz canónica A, la
diagonalización consiste en hallar una base B tal que la matriz
asociada a f con respecto de la base B es una matriz diagonal D (la
base B está formada por los vectores propios de A).
−1
D = P ⋅A⋅P
Observaciones:
1) Una matriz cuyos autovalores son todos reales y distintos entre si, siempre es
diagonalizable.
2) Dada una matriz A, las matrices P y D que resultan en la diagonalización no son
únicas.
Diagonalización
Diagonalización de matrices simétricas:
Teorema: Toda matriz simétrica es diagonalizable.
Diagonalización ortogonal:
- Se dice que una matriz cuadrada Q es una matriz ortogonal si Q tiene
inversa y es igual a su transpuesta, i.e., Q-1 = Qt (cada columna de Q
esta formado por un vector unitario ortogonal a las demás columnas de
Q).
- Diagonalizar una matriz A ortogonalmente es hallar una matriz
ortogonal Q y una matriz diagonal tal que D = Qt.A.Q
Teorema: Toda matriz simétrica A puede diagonalizarse ortogonalmente.
Recíprocamente, si una matriz A es ortogonalmente diagonalizable entonces es
simétrica.
Teorema: Si la matriz canónica de un endomorfismo de Rn es simétrica,
entonces existe una base B de Rn tal que B es ortonormal y la matriz asociada a
B, AB, es diagonal.
Diagonalización
Pasos para realizar la diagonalización ortogonal:
1) Halla los autovalores de A.
2) Calcula la matriz diagonal D asociada a la base formada por los vectores
propios de A mediante los autovalores de A.
3) Halla una base ortonormal de Rn formada por autovectores de A:
- Si todos los auovectores de A son distintos, toma por cada autovalor un
autovector unitario.
- Si hay algún autovalor doble, se toman dos autovectores asociados a él que
sean ortogonales; si es triple, tres autovectores ortogonales…
4) Las columnas de la matriz Q son los autovectores calculados (en el mismo
orden que se tomaron los autovalores en D).