ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

TRANSFERENCIA DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 2010
OPERACIONES ENTRE VECTORES Y TENSORES
La igualdad (1) está relacionada con la transformación de la ecuación de NavierStokes entre los puntos de vista de Lagrange y Euler (p. 58, Fluidodinámica, Calvelo).
Luego, demostrar que:
∇ ⋅ ρ v v = v ⋅ ∇ρ v + ρ v (∇ ⋅v )
(1)
Demostración:
En primer lugar, presentamos las expresiones para los vectores involucrados:
∇=
∂
∂
∂
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(2)
v = vx i + vy j + vz k
(3)
ρ v = ρv x i + ρv y j + ρv z k
(4)
Resolviendo el producto diádico (que da por resultado un tensor de orden 2) del
miembro izquierdo de (1):
ρ v v = ρv x v x i i + ρv x v y i j + ρ v x v z i k +
ρ v y v x j i + ρv y v y j j + ρ v y v z j k +
(5)
+ ρv zv x k i + ρv zv y k j + ρv zv z k k
La expresión ∇ ⋅ ρ v v (miembro izquierdo de (1)) resulta un vector, ya que es el
producto punto de un vector por un tensor.
La expresión v ⋅ ∇ρ v (primer término del miembro derecho de (1)) también resulta
un vector, nuevamente es el producto punto de un vector por un tensor.
Por último, el término
ρ v (∇ ⋅v )
(segundo término del miembro derecho de (1))
resulta un vector, como producto del vector
ρv
por un escalar
(∇ ⋅v ) .
Para verificar la igualdad (1), demostraremos sólo la componente
se demuestran análogamente.
i , las dos restantes
Desarrollando entonces el miembro izquierdo de la igualdad planteada en la Ec. (1), la
componente
i
resulta:
1
∂
∂
∂
ρv x v x ( i ⋅ i i ) +
ρv y v x ( j ⋅ j i ) +
ρ v zv x ( k ⋅ k i ) =
∂x
∂y
∂z
 ∂
∂
∂

ρv x v x +
ρv y v x +
ρv zv x i
= 
∂z
∂y
 ∂x

(6)
Escribiendo el producto punto v ⋅ ∇ρ v (primer término del miembro derecho de la
igualdad (1)) en forma matricial resulta:
(v
vy
x
∂ρv y
 ∂ρv x

 ∂x
 ∂ρv x
v z )⋅ 
∂y

 ∂ρv x

 ∂z
∂x
∂ρv y
∂y
∂ρv y
∂z
∂ρv z 

∂x 
∂ρv z 
∂y 

∂ρv z 

∂z 
(7)
La componente i de esta operación resulta del producto del vector fila por la primera
columna de la matriz:
vx
∂
∂
∂
ρv x ( i ⋅ i i ) + v y
ρv x ( j ⋅ j i ) + v z
ρv x ( k ⋅ k i ) =
∂x
∂y
∂k

∂
∂
∂

ρv x + v y
ρv x + v z
ρv x i
=  v x
∂y
∂z
 ∂x

(8)
Para evaluar el segundo término del miembro derecho de la Ec. (1), en primer lugar
desarrollaremos
(∇ ⋅v ) que da por resultado un escalar:
( )
( )
( )
∂v y
∂v x
∂v
i⋅ i +
j ⋅ j + z k ⋅k =
∂x
∂y
∂z
∂v y ∂v z
∂v
= x +
+
∂x
∂y
∂z
∇ ⋅v =
Entonces, la componente
i
del producto
 ∂v x ∂v y ∂v z 

+
+
∂
x
∂
y
∂
z


ρv x 
(9)
ρ v (∇ ⋅v ) será:
(10)
2
Puede demostrarse fácilmente que aplicando regla del producto (“regla de la cadena”)
al resultado de la Ec. (6) se obtienen seis términos, idénticos a la suma de los tres
términos de la Ec. (8) más los tres términos de la Ec. (10):
∂
∂
∂
ρv x v x +
ρv y v x +
ρv zv x =
∂x
∂y
∂k
vx
∂v
∂v
∂
∂v
∂
∂
ρv x + ρv x x + v y
ρv x + ρv x y + v z
ρv x + ρv x z
∂z
∂z
∂y
∂y
∂x
∂x
3