Torsión Elástica

Torsión Elástica
1.
Equilibrio de momentos a lo largo de la barra
Vamos a estudiar los efectos de las tensiones producidas por momentos torsores. Pero antes de iniciarlo comenzaremos por establecer el criterio de signos
que en este caso es amplimente aceptado:
La torsión puede ser producida por un par de fuerzas o distribuciones de
fuerza1 y se considera positivo si hace girar la sección alrededor del eje
en sentido antihorario. Como ocurre el caso de las fuerzas, la aplicación
de momentos sobre un elemento es contı́nua, como por ejemplo ocurre si
consideramos que la banda utilizada para transmitir el momento de la figura
no tiene anchura despreciable.
1.1.
ejemplo1
Mediante el método de las secciones, calcule la distribución de momento
torsor a lo largo del eje de la barra de transmisión de la figura: Solución:
En las figuras se muestran la soluciones para los tres tramos. El (b) corresponde al tramo que pasa por el segunda polea. El momento torsor va desde
−MT hasta −M2 , pasando entre estos valores linealmente.
1
MT = 2F R se indica mediante una doble flecha o un giro.
Si la anchura de la banda es h, entonces la fueras distribuidas
uniformemente con una densidad ρ = F/h, producen una distribución de momento a lo
T
largo de una anchura h sobre el eje, y valor m = 2ρR o dM
= m = − dT
.
dx
dx
1
2
2.
Aproximación geométrica
En la figura siguiente, debido a un par de fuerzas, la superficie amarilla (aco0 o) sufre una deformación torsional hacia la superficie sombreada
(ac0 o0 o), de tal manera que el ángulo γ entre la linea (ac) y (ac0 ) va disminuyendo conforme nos acercamos al vértice desde a hasta o. Las lı́neas
discontı́nuas sobre la superficie final señalan las posiciones finales de los
puntos intermedios elegidos sobre la linea ao, de manera que. como podemos apreciar en la figura, γmax > γ1 > γ2 > γ3 .
Aproximación 1
Todos los puntos de una sección transversal plana al eje, permanecen en
la misma sección, es decir, una torsión pura no produce contracciones ni
tracciones (recordemos que seguimos en regimen elástico).
Aproximación 2 Los puntos materiales sobre una lı́nea recta paralela al
eje sobre la superficie sin deformar (lı́neas discontı́nuas oscuras en la figura),
siguen estando sobre otra lı́nea recta tras la torsión (lı́neas punteadas sobre
la superficie final de la figura). Entonces, como
)
ds = cc0 = Rdφ
ds = γmax dχ
⇒
dφ
γmax
=
dχ
R
en virtud de esta hipótesis:
γ=
r
γmax 2
R
2
Estas dos hipótesis, que en la práctica se cumplen más allá del regimen lineal, pueden
expresarse matematicamente como:
γ(r) =
r
γmax
R
como puede deducirse de la siguiente figura, ya que todos los puntos materiales sobre el
radio o0 c, siguen ocupando sus posiciones relativas en o0 c0 , es decir, r(o) = r(o0 ).
3
3.
Ley constitutiva
Ahora que hemos caracterizado la geometrı́a, recordaremos que la relación
entre el esfuerzo cortante y la deformación es: τ (x) = Gγ, donde
γ=
∂δy
∂δx
+
∂x
∂y
es la deformación unitaria angular en radianes y coordenadas cartesianas.
En nuestro caso, y trabajando en cilı́ndricas:
γmáx
−
→
γ =
r
R
φ̂
donde φ̂ es la dirección unitaria angular (la que va de c a c’), y r la distancia
radial medida desde o’.
La relación constitutiva, que relaciona la deformación angular producida
por el par, y la tensión cortante en la sección transversal (reacción al par)
es:
τ = Gγ
donde G es el modulo de torsión o rigidez y τ el esfuerzo cortante responsable
de la deformación angular γ. Como se deduce de la relación γ = γmax r/R,
τ es también lineal, como se ilustra en la figura:
τ=
r
τmax
R
y a una distancia R
τmax = Gγmax
4.
Ecuación de torsión para secciones circulares
Basándonos en la figura anterior, vamos a calcular el momento total MT
- que ejerce la distribución de esfuerzos producidos por el par exterior -
4
respecto al centro de fuerzas de la sección o0 . Es La fuerza que τ (r) ejerce
sobre dA(r) es:
τmax
dF (r) = τ (r) dA(r) =
rdA
R
y por tanto el momento torsor o flecha respecto al centro producido por
dF (r) = τ (r)dA es:
−
→
→ τmax 2 −
−
→
dM T (r) = ~rΛdF~ (r) = τ (r) rd A =
r dA
R
La dirección del área y del momento torsor tienen el sentido del eje de la viga
(o en sentido antihorario si nos situamos frente a la sección transversal). Si
integramos la expresión anterior:
MT =
τmax
R
donde
Ipx ≡
Z
Z
r2 dA
A
r2 dA
A
es el momento polar de inercia respecto al eje neutro (eje de la viga donde
τ = 0). De estas relaciones podemos deducir la ecuación de torsión:
τmax =
MT R
Ipx
que permite conocer τmax en función del momento torsor externo MT =
2F R y la geometrı́a de la superficie. Y otra expresión que nos relaciona la
desviación angular φ con MT es,
γ
τmax
MT
dφ
= =
=
dχ
r
GR
GIpx
5
4.1.
ejemplo1
Dibuje la deformación angular alrededor del eje del arbol.
5.
Ecuación de equilibrio para torsión
Partiendo de la expresión anterior, y derivando respecto a x
d
dφ
GIpx
d
dx
=
dMT
dx
de manera que si existe una variación longitudinal del momento externo3
dMT
≡ −m
dx
entonces:
6.
dφ
d
GIpx
d
dx
= −m
Torsión en transmisión de potencia
Cuando un eje está rotando debido a algún motor externo, sufre una torsión igual a la que hemos analizado hasta ahora siempre que nos situemos
en un sistema de referencias que gire con el eje, de tal manera que, si no nos
mareamos, podremos observar una la deformación constante (a no ser que
la velocidad angular no lo sea).
El análisis dinámico de un eje transmisor de potencia se basa en el cálculo
de la potencia transmitida en el eje. En la última figura, dF (r) es la fuerza
ejercida sobre una partı́cula material situada en dA.Esta partı́cula pasa de
3
m = −dMT /dx es la una distribución externa de momento, y MT es el momento
torsor. El signo menos de m es consecuencia del sentido positivo que le hemos dado.
6
una posición c a otra c0 , igual a cc0 = ds = rdφ, de manera que el trabajo
realizado en este desplazamiento será:
d2 W = dF ds = τ dAds
como la velocidad angular ω = dφ/dt, entonces:
d
dW
dφ
= τ r dA
dt
dt
además, como τmax = MT R/Ipx , al integrar la expresión anterior respecto
al área:
Z
dW
τmáx
=
ω
r2 dA
dt
R
A
por tanto, la potencia P = dW/dt transmitida es:
P =
Ipx τmax
ω
R
o en función de ω y MT :
P = MT ω 4
4
La potencia expresada en caballos de vapor es 1hp = 745,7N m/s(W att)
7