Teoría

MECÁNICA ONDULATORIA APLICADA AL ÁTOMO DE
HIDRÓGENO
La mecánica cuántica tiene dos posible desarrollos
matemáticos:
- La mecánica de matrices iniciada por Heirsember y
desarrollada por Dirac.
- La mecánica de ondas o ondulatoria desarrollada por
Schrödinger y basada en el principio de dualidad y de
incertidumbre.
Dualiadad: El electrón en mecánica ondulatoria viene definido
por una función de onda (ψ).
Incertidumbre: Estamos limitados a conocer la probabilidad de
encontrar al electrón de una zona del espacio y a conocer su
energía.
ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
La mecánica cuántica utiliza operadores matemáticos para las
distintas magnitudes físicas.
El operador Hamiltoniano es de energía (ℋ).
Por tanto
ℋΨ = E Ψ
¿Cómo se obtiene este operador? Se obtiene de la suma de dos
energías cinética y potencial.
E = 1/2mv2 – e2/r = p2/2m - e2/r
El operador momento lineal de una partícula (P) = h/2πi ∇
∇ es el operador laplaciano ∇ = ð / ðx + ð / ðy + ð / ðz
Si se sustituye en la ecuación de la energía:
ℋ = - h2/8π2mo ∇ - e2/r
donde mo = m . M/ m+M
Sustituyendo este operador en la ecuación ℋΨ = E Ψ
-h2/8π2mo ∇ Ψ - e2/r Ψ = E Ψ
multiplicando los dos términos de la ecuación por 8π2mo/-h2
∇2 Ψ + 8π2mo/-h2 (E + e2/r) Ψ = 0
De la resolución de esta ecuación se obtienen muchas funciones
Ψ 1, Ψ 2, Ψ 3, .......
que se llaman funciones propias que le
corresponden un valor de energía propio E1, E2, E3,.....
CAMBIO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES
z
P(x,y,z)
r
q
j
rsenq
x
z = r cosq
x = r senq cosj
y = r senq senj
y
PROBABILIDAD Y CONDICIONES QUE HAN DE
CUMPLIR LA FUNCIÓN DE ONDA
-En la teoría corpuscular de la luz la densidad de fotones está
relacionada con la intensidad.
-En el modelo ondulatorio la intensidad esta relacionado con el
cuadrado de la amplitud de la función de onda.
-En la ecuación de ondas la función Ψ es análoga a la
expresión matemática de la amplitud en el movimiento
ondulatorio.
-Por tanto el cuadrado tendrá el sentido físico de la probabilidad
de encontrar al electrón en un punto o lo que es lo mismo de la
densidad electrónica.
P = ∫v Ψ Ψ *dv
-Condiciones que tiene que cumplir la función de onda:
- Debe tener un valor único en cada punto del espacio.
- Debe ser continua.
- Debe estar normalizada. ∫-∞Ψ
Ψ *dv = 1
Además de estas condiciones debe cumplir con la siguientes
propiedades:
a) ℋΨ1 = E1Ψ1; ℋΨ 2 = E1 Ψ 2;
ℋΨ3 = E1 Ψ3
b)
∫-∞Ψ Ψ *dv = 0
Ψ3 = aΨ1 + bΨ2