E - Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional de Asunción

Ecuación de Schrödinger
-h2
2m
(
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ
∂x2 ∂y2 ∂z2
)
∂Ψ
+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h
∂t
i = (-1)1/2
h = h / 2π
ψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda
V(x,y,z) ... función de energía potencial
|ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidad
de encontrar la partícula en estudio
en las coordenadas x,y,z,t.
Ecuación estacionaria
de Schrödinger
Solución unidimensional:
-h2
2m
d2Ψ
dx2
Ψ(x,t) = Ψ(x) e
( ) + V(x) Ψ = E Ψ
-iEt / h
Oscilador Armónico
k’
m
Una masa m se mueve
con energía E, en un
campo:
V = 1 k’ x2
2
x
E
V
x
Notar que la fuerza F = -
dV
dx
Solución Clásica del
Oscilador Armónico
E = 1 k’ x2 +
2
1 m v2
2
haciendo ω =
2E/m = ω2 x2 +
( )
dx
dt
… la energía se conserva
k’/m
2
… ecuación diferencial (1)
de solución conocida:
x(t) = A sen (ωt + δ); con A =
2E
k’
Solución Cuántica del
Oscilador Armónico
Considerando la energía estacionaria E en la ecuación de
Schrödinger, por separación de variables se tiene que:
Ψ(x,t) = Ψ(x) e
-iEt / h
por lo que se deberá resolver la ecuación estacionaria:
-h2
2m
d2 Ψ
dx 2
( )
+VΨ=E
con V = 1 k’ x2
2
cuyas soluciones se basan en los polinomios de Hermite
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
- k’m x2 / 2 h
Ψ(x) = C e
Derivando para verificar que es una solución:
d Ψ ( - k’m x / h ) - k’m x2 / 2 h ( - k’m x / h ) Ψ
Ce
=
=
dx
d2 Ψ (- k’m / h) Ψ ( - k’m x / h )2 Ψ
+
2 =
dx
y llevando este valor a la ecuación diferencial:
d2 Ψ
2m
=
dx 2
h2
(
)
1 k’ x2 - E Ψ
2
resulta:
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
- k’m x2 / 2 h
Ψ(x) = C e
Derivando para verificar que es una solución:
d Ψ ( - k’m x / h ) - k’m x2 / 2 h ( - k’m x / h ) Ψ
Ce
=
=
dx
d2 Ψ (- k’m / h) Ψ ( - k’m x / h )2 Ψ
+
2 =
dx
x2
d2 Ψ
2m
=
dx 2
h2
(
)
1 k’ x2 - E Ψ
2
resulta:
Consideremos la solución más simple (estado de mínima energía)
- k’m x2 / 2 h
Ψ(x) = C e
Derivando para verificar que es una solución:
d Ψ ( - k’m x / h ) - k’m x2 / 2 h ( - k’m x / h ) Ψ
Ce
=
=
dx
d2 Ψ (- k’m / h) Ψ ( - k’m x / h )2 Ψ
+
2 =
dx
E0
d2 Ψ
2m
=
dx 2
h2
(
)
1 k’ x2 - E Ψ
2
resulta:
La energía E0 del estado base es entonces:
h.f
h.ω
=
=
2
2
k’
m
E0 = h
2
Un análisis similar de la Ecuación de Schrödinger demuestra que
existen n niveles posibles de energía, donde:
En = (n + ½) hf ;
E
V
ΔE= hf
E2=5 E0
E1=3 E0
E0
x
n = 0, 1, 2, 3, ....
La energía está cuantizada
(ΔE= hf ). Su mínimo no es
nulo, pues el reposo (p = 0) en
x = 0, no atendería al principio
de incertidumbre: Δp Δx ≥ h.
Consideremos nuevamente el estado de mínima energía:
- k’m x2 / 2 h
Ψ(x) = C e
... con energía E0 = h f / 2
La constante C puede ser calculada a partir de la condición:
∞
∫-∞
Ψ(x)
2
dx = 1
recordando la integral definida:
∞
∫-∞
-ax2 dx =
e
de donde C4 = k’m / h
π
a
Oscilador Armónico
Mecánica Clásica
Mecánica Cuántica
La energía puede tener
cualquier nivel continuo.
La energía solo puede tener
valores discretos En= (n+½) hf
Cambios en los niveles de
energía pueden tomar
cualquier valor.
Cambios en los niveles de
energía solo ocurren en
cuantos ΔE= hf
El cuerpo puede estar en
reposo en x = 0.
El nivel de energía mínimo
es E0=hf/2. No existe
reposo absoluto en x=0.
El cuerpo no puede estar en
| x | > A = (2E / k’)1/2
El cuerpo si puede estar en
| x | > A = (2E / k’)1/2
El Átomo
FÍSICA
FÍSICAIII
III
Facultad
Facultad de
deIngeniería
Ingeniería
Universidad
Universidad Nacional
Nacionalde
deAsunción
Asunción
Ecuación de Schrödinger
-h2
2m
(
∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ
∂x2 ∂y2 ∂z2
2
2
2
)
∂Ψ
+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h
∂t
z
Considerando el Laplaciano
∇2 Ψ = ∂ Ψ2
2
∂x
2
en coordenadas esféricas
∇2
Ψ=
1
r2
∂
∂r
(
r2
θ
∂Ψ ∂Ψ
∂y2 ∂z2
2
y
ϕ
x
2Ψ
∂Ψ
∂
1
+
+
2
2
2
r
∂
r sen θ
∂ϕ
)
r
1
r2 sen θ
∂
∂
(
sen θ
∂Ψ
∂θ
)
Espectros Atómicos
Fuente de luz Red de Difracción
Espectro de líneas
H2
Espectro de líneas del Hidrógeno [1885]:
1
1 - 1
(
=
R
m2
n2
λ
);
m < n; m = 1,2,3, ...
constante de Raydberg: R = 1.09731 x 107 m-1
Serie de Lyman:
m=1, n=2,3,4, .....
Serie de Balmer:
m=2, n=3,4,5, .....
Serie de Brackett:
m=3, n=4,5,6, .....
Átomo de Bohr (1913)
e2
E = K + U = 1mv2 4πεr
2
2
e2
mv
=
F=
2
4πεr
r
rm r
n
(1)
(2)
2
e
de (2) y (1) En = 8πεrn
2
e2
e
En - Em = +
= hf
8πεrm
8πεrn
(A)
Cantidad de movimiento angular:
Ln = mv.rn = n h / 2π; n = 1,2,3 ... (B)
de (A) y (B)
Serie del H2
Niveles Energéticos del Átomo de Bohr
0.00 eV
-0.54 eV
Serie de
Bracket
Serie de
Paschen
(IR)
-0.85 eV
n=3
-1.51 eV
n=2
-3.40 eV
Serie de
Balmer
(visible)
Número cuántico principal n = 1
Serie de
Lyman
-13.58 eV
Estado Base
Experimento de Zeeman (1896)
Se comparó el espectro de emisión de un átomo:
1. en condiciones normales (sin campo externo);
2. en presencia de campo magnético externo en dirección Z.
… y se verificó que, conforme lo predice la física cuántica:
1. El Momentum Angular orbital está cuantizado:
⏐L⏐ = ( l(l+1))1/2 h
l= 0, 1, ….., (n – 1)
l…..número cuántico del momentum orbital angular
2. El Momentum Angular orbital en la dirección Z está cuantizado:
⏐Lz⏐ = ml h
ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l
ml …..número cuántico magnético
Niveles energéticos
con campo magnético
Niveles energéticos
sin campo externo
ml = 2
ml = 1
ml = 0
ml = -1
ml = -2
n
Nivel Base
Nivel Base
Efecto de Zeeman: los niveles energéticos
se degeneran en subniveles (o subcapas)
Experimento de Stern y Gerlach (1921)
Un haz de átomos de plata, pasó por un campo magnético no
homogéneo y chocó con una placa fotográfica, verificándose la
existencia de un momentum angular intrínseco S.
Goudsmit y Uhlenbeck (1925) sugirieron que el electrón
posee un momentum intrínseco llamado spin.
⏐S⏐ = ( s(s+1))1/2 h
⏐Sz⏐ = ms h
n
Nivel Base
s= ½ … para el electrón
S
ms = s,s-1
n; l
n; l
Nivel Base
Principio de Exclusión de Pauli (1921)
Considerando que el comportamiento de un electrón queda
determinado por 4 números cuánticos (n, l, ml, ms) y la
imposibilidad de distinguir 2 electrones de igual
comportamiento, Wolfgang Pauli, propuso en 1924 el
siguiente principio:
Dos electrones no pueden tener el mismo
conjunto de números cuánticos (n, l, ml, ms)
Esto explica la conformación de la tabla
periódica de los elementos.
Notación Espectroscópica
Valor de n: 1 2 3 4 …..
Notación: K L M N …..
Valor de l: 0 1 2 3 4 …..
Notación: s p d f g …..
ml = l, (l-1), …, 1, 0, -1, …, -(l-1), -l
ms = ± ½
capa
sub-capa
l= 0, 1, ….., (n – 1)
Por el principio de exclusión de Pauli, una subcapa l solo puede tener hasta 2(2l+1) electrones.
Valor de l:
Notación:
Número máximo
de electrones:
0
s
1
p
2
6
2
d
3
f
10 14
4 …..
g …..
18 …
Capa
Nivel
Número
máximo
Número
Total
6
10
2
54
O
5p
4d
5s
N
4p
3d
4s
6
10
2
36
M
3p
3s
6
2
18
L
2p
2s
6
2
10
K
1s
2
2
Tabla Periódica de los Elementos
Número atómico
Peso atómico
Valencia
Ebullición
Fusión
Densidad
Estructura atómica
http://www.mcgraw-hill.es/bcv/tabla_periodica/mc.html
Electrodinámica Cuántica
La Electrodinámica cuántica
(o QED – Quantum ElectroDynamics)
mejora las ecuaciones de Schrödinger y
representa a la fecha, el estado del arte en
física moderna.
El estudio de partículas sub-atómicas (Física de
Partículas) y la Cosmología, están dando origen a
nuevas fronteras de la física teórica, generando teorías,
como “El modelo estándar de la historia del universo” y
la “Teoría de la Gran Unificación”.