)( ),( ex tx = Ψ

PROBLEMAS. Principios de Estructura de la Materia - Serie 1
1. Si un electrón, que se mueve en una dimensión, está sujeto a una energía potencial
V(x,t), el electrón estará descrito por la función (x,t), que es solución de la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo
d 2 ( x, t )
ih  ( x, t )
 2
 V ( x) ( x, t ) 
2
2
t
8 m dx
h2
(1)
Si la energía potencial no depende del tiempo, V = V(x), el electrón se puede encontrar en
un estado estacionario. La función que describe este estado estacionario es:
( x, t )   ( x)e iEt / 
(2)
Substituya ésta ecuación en (1) y encuentre la ecuación
Schrödinger independiente del tiempo:
estacionaria, o ecuación de
d 2 ( x)
 2
 V ( x) ( x)  E ( x)
2
8 m dx
h2
2. La posición media de una partícula en un pozo de potencial unidimensional, <x>, se
puede calcular pesando su posición x por la probabilidad de que se encuentre en la región
dx en x, la cual es ʃ 2(x)dx, y sumando luego (i.e. integrando) estos valores. Muestre que
<x> = L/2 para cualquier valor de n.
3. Oscilar Armónico. Vibración de una molécula diatómica.
i) Dar la expresión del operador asociado a la energía del oscilador armónico (la variable
posición x es una medida de la elongación del enlace químico entre los dos átomos con
respecto a la posición de equilibrio donde la energía potencial es nula) y escribir la
ecuación de Schrödinger del sistema.
La solución de esta ecuación conduce a los siguientes resultados:
- La energía del oscilador está cuantificada y puede tomar los valores
1
En  (n  )h
2
donde n es un entero positivo o cero y

1
2
donde  es la masa reducida del sistema.
-
Las funciones de onda están dadas por
k



2
 n ( x)  N n H n ( y)e
con
yx
 y2 / 2


Hn(y) es un polinomio de Hermite y N n una constante de normalización.
ii) Cuál es la energía de los primeros niveles de vibración de la molécula 1H 35Cl?
Datos: mp=1.673x10-27 Kg, k=500 N.m-1 (cte. De fuerza del enlace H-Cl), h=6.62x10-34J.s.
iii) cuál es la frecuencia del fotón adsorbido en una transición del nivel n=o al nivel n=1? A
qué región del espectro electromagnético corresponde?
4. Confirme que las funciones  1s y  2s del átomo de H son mutuamente ortogonales.
5. i) Asigne a cada una de las siguientes longitudes de onda observadas en el átomo de H
(Balmer) una transición entre dos niveles ( n  p) 6564.7 Å, 4862.7Å, 4341.7Å,
4102.9Å
ii) prediga las longitudes de onda de las dos siguientes líneas en ésta serie y la longitud de
onda del límite de la serie.