Teoría Espectral

Teoría Espectral
Stephen B. Sontz
Centro de Investigación en Matemáticas, A.C.
(CIMAT)
Guanajuato, Mexico
Mini-curso impartido en Colima
27 septiembre 2016 - Primer día
Ecuación de Cuerda
1. Supongamos que hay una cuerda a lo largo del eje x.
2. La cuerda tiene desplacimientos solo en el plano xy .
3. Hay una tensión T constante a lo largo de la cuerda.
4. El ángulo α de la cuerda con el eje x siempre es pequeño.
5. La densidad ρ de masa (en gr/cm) es constante.
Vamos a aplicar la Ley de Newton a un trocito de la cuerda en
el intervalito [x, x + ∆x]. La única fuerza actuando sobre el
trocito es la tensión. Su masa es ρ∆x.
Por las hipótesis 3 y 4 la componente horizontal de la fuerza es
esencialmente cero.
La componente vertical es T sin α(x + ∆x) − T sin α(x).
Ecuación de Cuerda
Notación: u(t, x) es la distancia vertical arriba o abajo de (x, 0)
al tiempo t.
∂u/∂x = tan α(x) ∼
= sin α(x) apróximamente.
Entonces, F = ma en este caso es
∂u
∂2u
∂u
(x + ∆x) − T
(x) = ρ ∆x 2 .
∂x
∂x
∂t
Ahora dividimos por ∆x y luego tomamos el límite ∆x → 0. Así
obtenemos la ecuacón de onda (wave equation):
T
∂2u
∂2u
=
ρ
.
∂x 2
∂t 2
Al definir v 2 = T /ρ con v > 0 se obtiene
T
∂2u
1 ∂2u
=
∂x 2
v 2 ∂t 2
donde v es una rapidez y tiene dimensiones de velocidad
(o sea, metro/segundo).
Separación de Variables
Vamos a considerar una cuerda en el intervalo [0, L] con L > 0
y con la condición que los puntos extremos de la cuerda están
fijos en el eje x. O sea, u(t, 0) = u(t, L) = 0 para todo tiempo t.
Vamos a ver si u(t, x) = u1 (t)u2 (x) es solución.
En tal caso la ecuación de onda es
1
u1 (t)u200 (x) = 2 u100 (t)u2 (x)
v
Dividiendo por u1 (t)u2 (x) se obtiene
u200 (x)
1 u 00 (t)
= 2 1
= −k 2 < 0.
u2 (x)
v u1 (t)
La constante de separación tiene que ser negativa.
Tomamos k > 0. La solución general es
u2 (x) = A cos(k x)+B sin(k x)
u1 (t) = C cos(ω t)+D sin(ω t)
donde ω := v k y A, B, C, D son constantes de integración.
Condiciones
Las condiciones (de Dirichlet) en la frontera dicen que
u2 (0) = 0 y u2 (L) = 0. Pero, u2 (0) = 0 implica que A = 0.
Luego u2 (L) = 0 implica B sin(k L) = 0.
Entonces, B = 0 o más bien la constante k satisface
k ∈ {kn := πn/L | ∃n ∈ Z}.
O sea, u2 (x) = sin(πnx/L). Y hay una restricción sobre ω.
ω ∈ {ωn := v kn = v πn/L | ∃n ≥ 1},
dado que ω > 0. (Además, n > 0 y −n < 0 dan la “misma”
solución.)
Supongamos que la velocidad inicial es u20 (0) = 0.
Pero, u20 (t) = −Cω sin(ω t) + Dω cos(ω t). Entonces,
0 = u20 (0) = Dω
implica que D = 0. Entonces, u2 (t) = sin(v πnt/L)
La Solución
Para cada n ≥ 1 hay una solución con rapidez vn = ωn /kn
un (t, x) = An sin(ωn t) sin(kn x),
donde An es una constante. Por linealidad la combinación lineal
X
u(t, x) =
An sin(ωn t) sin(kn x)
n≥1
debe ser la solución general bajo ciertas hipotesis sobre An .
Una consecuencia muy importante es que la cuerda tiene una
frecuencia básica ω1 = v π/L que depende solamente de la
tension T , la densidad ρ y la longitud L. Músicos controlan
estos tres parámetros para producir la nota básica de un
instrumento de cuerda (piano, guitarra, violin, etcetera). Las
demás frecuencias ωn = v πn/L = n ω1 son multiples simples
de la frecuencia básica. Son las notas armónicas. Es un caso
de la mecánica clásica donde hay cuantización en los valores
que un sistema físico puede tener.
Oído y Vista
El oído del ser humano puede distinguir entre las frecuencias
del sonido. Por eso pusimos enfasis en la cuantización de ω.
Pero hay una cuantización correspondiente en k , el número de
onda (wave number). O sea,
kn = πn/L
para n ≥ 1.
Estos números surgieron de la ecuación de eigenvalor
d 2u
= λu(x)
dx 2
para el operador d 2 /dx 2 con condiciones de Dirichlet en la
frontera del intervalo [0, L]. Ese operador resulta ser un
operador auto-adjunto pero no acotado cuyo espectro
consta de sus eigenvalores (y nada más) que son
−kn2 = π 2 n2 /L2 .
Esta estructura espacial se ve con fotos bien hechas.
Rapidez y Velocidad
El término básico en la solución general de la ecuación de la
onda tiene la forma
sin(ωn t) sin(kn x) =
1
cos(ωn t − kn x) − cos(ωn t + kn x)
2
por una identidad trigonométrica.
Como hemos visto esta onda en el lado izquierdo tiene rapidez
vn = ωn /kn > 0.
Entonces, los dos términos en el lado derecho tienen la misma
rapidez vn .
Sin embargo, tienen velocidades diferentes.
El término cos(ωn t − kn x) es una onda con velocidad positiva,
o sea, la onda se mueve a la derecha.
Y el otro término cos(ωn t + kn x) es una onda con velocidad
negativa, o sea, la onda se mueve a la izquierda.
Cuantización de la Luz
Antes del sigo XX había dos teorías de la luz, o sea, es un flujo
de partículas o más bien una onda. Resulta que es ni partícula
ni onda. Pero, tiene algunas propiedades de partícula y otras
de onda. Historicamente hablando fue M. Planck que introdujo
antes de nadie la idea correcta. Luego A. Einstein extendió la
idea a un principio general. En notación moderna se escribe
E = ~ω.
Se refiere a un foton que es una paquete (o partícula) de luz
con energía E asociada a una onda
e−i(ωt−k·x) = cos(ωt − k · x) − i sin(ωt − k · x)
where k, x ∈ R3 . Pero, la luz trae también momento, que es un
vector p ∈ R3 . La idea es que hay una relación análoga
p = ~k.
Cuantización de la Luz
La rapidez c de la luz (que es la magnitud de su velocidad)
entra así:
ω = c ||k|| = c k .
Multiplicando por ~ vemos que
E = c ||p|| = c p.
Una ecuación de este tipo entre energía y momento se llama
una relación de dispersión.
Schrödinger intentaba a encontrar una ecuación parcial
diferencial para describir electrones (y otra ‘particulas’
elementarias).
Empezamos con la relación de dispersión para una ‘partícula’
de masa m en mecánica clásica:
1 2
E(x, p) =
p + V (x)
(1)
2m
donde p2 = p · p = ||p||2 .
Ecuación de Schrödinger
Jugando con la función de onda e−i(ωt−k·x) podemos ver que
∂
i~ e−i(ωt−k·x) = ~ωe−i(ωt−k·x) = Ee−i(ωt−k·x) .
∂t
−~2 ∆e−i(ωt−k·x) = ~2 k 2 e−i(ωt−k·x) = p2 e−i(ωt−k·x) .
Entonces remplazamos dos de los términos en (1)
~2
∂
=−
∆ + V (x)
∂t
2m
que es una ecuación de operadores (que mandan funciones a
funciones) si tomamos el último término también como
operador. Actuando sobre una función ψ = ψ(t, x) obtenemos
la Ecuación de Schrödinger (dependiente de tiempo)
i~
~2
∂ψ
=−
∆ψ + V (x)ψ
∂t
2m
una de las más famosas ecuaciones de toda la ciencia.
Aquí vemos V (x) como el operador de multiplicación por V (x).
i~
Comentarios: Ecuación de Schrödinger
Es la ecuación básica de evolución temporal en física cuántica.
Desempeña un papel que corresponde a la Ley de Movimiento
de Newton en la Mecánica Clásica.
La incognita es ψ = ψ(t, x).
No es la ecuación de onda. Sin embargo una solución ψ(t, x)
se llama una función de onda.
Es de primer orden en tiempo. Entonces, cabe la posibilidad de
obtener un problema de Cauchy.
Es linear. Nótense que la Ley de Movimiento de Newton en
general no es lineal.
E. Schrödinger ganó el Premio Nobel en 1933 por encontrar
esta ecuación.
En la literatura científica hay alrededor de 105 referencias a la
ecuación de Schrödinger en una de sus varias formas.