Universidad Distrital Francisco José De Caldas. Proyecto Curricular De Licenciatura En Química. Química Inorgánica. Milton Camilo Forero Gómez, 20181150069. Ecuación de Schrödinger. Schrödinger a partir de la propuesta de Broglie en la que decía que el electrón puede comportarse simultáneamente como una onda o como una partícula dando sentido a las orbitas de Bohr, Schrödinger dedujo entonces que se podría usar la función de onda para describir la progresión del movimiento del electrón alrededor del núcleo, entonces para ello Schrödinger planteo su famosa ecuación describiendo el movimiento de las partícula-onda, la idea surgió del intento de generalizar la idea de ecuación de onda para la materia aplicando dos conceptos fundamentales, la conservación de la energía y la formulación matemática del concepto de onda. Tenemos entonces la ecuación de la función de onda. 𝛹 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) Lo que Schrödinger hizo en su ecuación fue concebir las magnitudes como operaciones matemáticas lo que se llaman operadores, Schrödinger aplico el operador hamiltoniano. Teniendo en cuenta la conservación de la energía se puede entender que: ̂ 𝛹 = 𝐸𝛹 𝐻 ̂ = Operador Matemático. 𝐻 𝛹 = Función de onda. 𝐸 = Energía. La energía se puede comprender como la suma de la energía potencial gravitatoria (cuerpos en reposo) con la energía cinética, donde la energía cinética es el momento (velocidad) al cuadrado dividido por el doble de la masa. 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 = 𝑃2 2𝑚 +𝐸𝑝 A partir de este momento en este documento expresare la letra (p) como momento y la (V) como energía potencial. Universidad Distrital Francisco José De Caldas. Proyecto Curricular De Licenciatura En Química. Química Inorgánica. Milton Camilo Forero Gómez, 20181150069. Entonces volviendo a la ecuación de la función de onda, si derivamos respecto a la posición (x) hallamos la magnitud del momento (en forma de operación matemática). 𝛹 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) 𝑑𝛹 𝑑𝑥 𝑑𝛹 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥) = 𝑖𝑘𝛹 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 − = −𝑘 2 𝛹 2𝜋 2 = −(𝜆) = −( 𝛹 2𝜋𝑃 2 ℎ ) 2𝜋𝑃 2 = − (2𝜋ℏ ) 𝛹 𝛹 𝑃2 = − ℏ2 𝛹 ℏ2 𝑑2 𝛹 𝑑𝑥 2 = 𝑃2 𝛹 Vamos a considerar la ecuación de función de onda respecto del espacio 𝑒 𝑖(𝑘𝑥) , al aplicar la derivada podremos determinar la magnitud del momento (p), pero para eso hay que tener en cuenta las siguientes igualdades para expresar de manera correcta dicha magnitud. 𝑃 = 𝜆ℎ 2𝜋 𝑘= ℎ ℏ= ℎ 2𝜋 Obtenemos que la magnitud del ℏ2 𝑑2 𝛹 momento es igual a − 2 𝑑𝑥 Ahora si derivamos respecto al tiempo (t) obtenemos la magnitud de la energía (en forma de operación matemática). Vamos a considerar la ecuación de 𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡) 𝛹=𝑒 función de onda respecto del tiempo 𝑒 𝑖(𝑤𝑡) , al aplicar la derivada 𝑑𝛹 𝑖(𝑤𝑡) =𝑒 podremos determinar la magnitud 𝑑𝑡 de la energía mecánica(E), pero para 𝑑𝛹 = −𝑖𝜔𝛹 eso hay que tener en cuenta las 𝑑𝑡 siguientes igualdades para expresar 𝑑𝛹 de manera correcta dicha magnitud. = −𝑖(2𝜋𝑉 )𝛹 𝑑𝑡 𝑑𝛹 𝑑𝑡 𝑑𝛹 𝑑𝑡 𝑑𝛹 𝑑𝑡 𝐸 = −𝑖 (2𝜋 ℎ ) 𝛹 2𝜋𝐸 = −𝑖 ( 2𝜋ℏ ) 𝛹 𝐸 = −𝑖 ( ℏ ) 𝛹 𝐸 = ℎ𝑉 𝜔 = 2𝜋𝑉 ℏ = 2𝜋 ℎ Universidad Distrital Francisco José De Caldas. Proyecto Curricular De Licenciatura En Química. Química Inorgánica. Milton Camilo Forero Gómez, 20181150069. 𝑑𝛹 𝑑𝑡 = 𝑖ℏ𝑑𝛹 𝑑𝑡 −𝑖𝐸 ℏ 𝛹 Obtenemos que la magnitud de la 𝑖ℏ𝑑𝛹 energía es igual a 𝑑𝑡 = 𝐸𝛹 Ahora teniendo en cuenta la conservación de la energía mecánica remplazamos las magnitudes del momento y la energía en la respectiva ecuación. 𝐸= 𝑖ℏ𝑑 𝑃2 2𝑚 +𝑉 2 2 ℏ 𝑑 𝛹 = − + 𝑉𝛹 𝑑𝑡 2𝑚𝑑𝑥 2 𝑖ℏ𝑑 𝑑𝑡 ℏ2 2 𝛹 = [− 2𝑚 𝛻 + 𝑉] 𝛹 Llegando así a la ecuación planteada por Schrödinger, donde al final toda esa deducción matemática queda ̂ 𝛹 = 𝐸𝛹 resumida de la manera 𝐻 2 ̂=−ℏ 𝐻 2𝑚 2 𝛻 +𝑉 𝛻= hace referencia a las derivadas aplicadas. Con esta compleja ecuación Schrödinger demostró que podía predecir los niveles de energía del átomo de hidrogeno dando inicio a la mecánica cuántica de ondas, posteriormente se interpretara el cuadrado de la función de onda (𝜓 2 ) como la densidad de probabilidad de que un electrón se encuentre en un punto en el orbital atómico. Universidad Distrital Francisco José De Caldas. Proyecto Curricular De Licenciatura En Química. Química Inorgánica. Milton Camilo Forero Gómez, 20181150069.
