Ecuación de Schrödinger: Química Inorgánica

Universidad Distrital Francisco José De Caldas.
Proyecto Curricular De Licenciatura En Química.
Química Inorgánica.
Milton Camilo Forero Gómez, 20181150069.
Ecuación de Schrödinger.
Schrödinger a partir de la propuesta de Broglie en la que decía que el electrón puede comportarse
simultáneamente como una onda o como una partícula dando sentido a las orbitas de Bohr,
Schrödinger dedujo entonces que se podría usar la función de onda para describir la progresión del
movimiento del electrón alrededor del núcleo, entonces para ello Schrödinger planteo su famosa
ecuación describiendo el movimiento de las partícula-onda, la idea surgió del intento de generalizar
la idea de ecuación de onda para la materia aplicando dos conceptos fundamentales, la
conservación de la energía y la formulación matemática del concepto de onda.
Tenemos entonces la ecuación de la
función de onda.
𝛹 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡)
Lo que Schrödinger hizo en su ecuación fue concebir las magnitudes como operaciones matemáticas
lo que se llaman operadores, Schrödinger aplico el operador hamiltoniano.
Teniendo en cuenta la conservación
de la energía se puede entender
que:
̂ 𝛹 = 𝐸𝛹
𝐻



̂ = Operador Matemático.
𝐻
𝛹 = Función de onda.
𝐸 = Energía.
La energía se puede comprender como la suma de la energía potencial gravitatoria (cuerpos en
reposo) con la energía cinética, donde la energía cinética es el momento (velocidad) al cuadrado
dividido por el doble de la masa.
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝 =
𝑃2
2𝑚
+𝐸𝑝
A partir de este momento en este
documento expresare la letra (p)
como momento y la (V) como
energía potencial.
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Entonces volviendo a la ecuación de la función de onda, si derivamos respecto a la posición (x)
hallamos la magnitud del momento (en forma de operación matemática).
𝛹 = 𝑒 𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡)
𝑑𝛹
𝑑𝑥
𝑑𝛹
𝑑𝑥
= 𝑒 𝑖(𝑘𝑥)
= 𝑖𝑘𝛹
𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
−
= −𝑘 2 𝛹
2𝜋 2
= −(𝜆)
= −(
𝛹
2𝜋𝑃 2
ℎ
)
2𝜋𝑃 2
= − (2𝜋ℏ )
𝛹
𝛹
𝑃2
= − ℏ2 𝛹
ℏ2 𝑑2 𝛹
𝑑𝑥 2
= 𝑃2 𝛹
Vamos a considerar la ecuación de
función de onda respecto del
espacio 𝑒 𝑖(𝑘𝑥) , al aplicar la derivada
podremos determinar la magnitud
del momento (p), pero para eso hay
que tener en cuenta las siguientes
igualdades para expresar de manera
correcta dicha magnitud.


𝑃 = 𝜆ℎ
2𝜋
𝑘= ℎ

ℏ=
ℎ
2𝜋
Obtenemos que la magnitud del
ℏ2 𝑑2 𝛹
momento es igual a −
2
𝑑𝑥
Ahora si derivamos respecto al tiempo (t) obtenemos la magnitud de la energía (en forma de
operación matemática).
Vamos a considerar la ecuación de
𝑖(𝑘𝑥−𝑤𝑡)
𝛹=𝑒
función de onda respecto del
tiempo 𝑒 𝑖(𝑤𝑡) , al aplicar la derivada
𝑑𝛹
𝑖(𝑤𝑡)
=𝑒
podremos determinar la magnitud
𝑑𝑡
de la energía mecánica(E), pero para
𝑑𝛹
= −𝑖𝜔𝛹
eso hay que tener en cuenta las
𝑑𝑡
siguientes igualdades para expresar
𝑑𝛹
de manera correcta dicha magnitud.
= −𝑖(2𝜋𝑉 )𝛹
𝑑𝑡
𝑑𝛹
𝑑𝑡
𝑑𝛹
𝑑𝑡
𝑑𝛹
𝑑𝑡
𝐸
= −𝑖 (2𝜋 ℎ ) 𝛹
2𝜋𝐸
= −𝑖 ( 2𝜋ℏ ) 𝛹
𝐸
= −𝑖 ( ℏ ) 𝛹


𝐸 = ℎ𝑉
𝜔 = 2𝜋𝑉

ℏ = 2𝜋
ℎ
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𝑑𝛹
𝑑𝑡
=
𝑖ℏ𝑑𝛹
𝑑𝑡
−𝑖𝐸
ℏ
𝛹
Obtenemos que la magnitud de la
𝑖ℏ𝑑𝛹
energía es igual a
𝑑𝑡
= 𝐸𝛹
Ahora teniendo en cuenta la conservación de la energía mecánica remplazamos las magnitudes del
momento y la energía en la respectiva ecuación.
𝐸=
𝑖ℏ𝑑
𝑃2
2𝑚
+𝑉
2 2
ℏ 𝑑
𝛹
=
−
+ 𝑉𝛹
𝑑𝑡
2𝑚𝑑𝑥 2
𝑖ℏ𝑑
𝑑𝑡
ℏ2
2
𝛹 = [− 2𝑚 𝛻 + 𝑉] 𝛹
Llegando así a la ecuación planteada
por Schrödinger, donde al final toda
esa deducción matemática queda
̂ 𝛹 = 𝐸𝛹
resumida de la manera 𝐻


2
̂=−ℏ
𝐻
2𝑚
2
𝛻 +𝑉
𝛻= hace referencia a las
derivadas aplicadas.
Con esta compleja ecuación Schrödinger demostró que podía predecir los niveles de energía del
átomo de hidrogeno dando inicio a la mecánica cuántica de ondas, posteriormente se interpretara
el cuadrado de la función de onda (𝜓 2 ) como la densidad de probabilidad de que un electrón se
encuentre en un punto en el orbital atómico.
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