Física Cuántica - Facultad de Ingeniería

Física
Cuántica
D.Sc.
D.Sc.Ing.
Ing.Benjamín
BenjamínBarán
Barán
Prof.
Prof.Titular
Titularde
deFÍSICA
FÍSICAIIII
Facultad
Facultad de
deIngeniería
Ingeniería
Universidad
Universidad Nacional
Nacionalde
deAsunción
Asunción
E.mail: [email protected]
Introducción Histórica
Max Planck “Radiación de un cuerpo negro“
Albert Einstein “Efecto Fotoeléctrico“
Niels Bohr propone su “modelo atómico“
R.A. Millikan mide h
Efecto Compton
Louis de Broglie propone un
“comportamiento ondulatorio de las partículas“
1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone
experimentan difracción de electrones
1925 Erwin Schrödinger propone “Ecuación de ondas“
1927 “Principio de Incertidumbre” de Wemer Heisemberg
1900
1905
1913
1916
1923
1924
Radiación de un Cuerpo Negro
I(f,T)
[w/Hz.m2]
T1
T2
T3
f [Hz]
Teoría clásica de la radiación:
I(f,T) = Cte. k.T.f2
...... donde la constante de Boltzman k = 1.38x10-23 [J°K]
Teoría de Planck:
Hipótesis: osciladores de energía discreta En = n. h.f; n = 0,1,2, ...
I(f,T) = Cte.f3 / (1 - ehf-kT)
...... donde la constante de Planck h = 6.63x10-34 [J.s]
Efecto Fotoeléctrico
Luz con
potencia P
I
I [A]
P2
P1
f
Potencial V
RESULTADOS EXPERIMENTALES
•El potencial de corte solo depende de la frecuencia f de la luz
y no de su intensidad o potencia P de la luz.
•Al aumentar la potencia P de la fuente de luz, se aumenta I, pero
no se varía el potencial de corte.
Postulado de Einstein: fotones con E = h.f
Ejemplo 1:
¿cuántos fotones por segundo emite una fuente monocromática de luz verde-amarilla (5.500 A°) de 25 w?
E = P.t = N. h.f = N. h.c / λ
N = λ. P.t / h.c = 7 x 1020 fotones
25 w
Efecto Compton (1923)
(choque elástico de un fotón y un electrón)
E’ = h.f’
p’ = E’ / c
E = h.f
p=E/c
φ
E=0
p=0
E = mv2/2
p=0
La onda (de rayos X) dispersada por el grafito sale con
una frecuencia menor f’(φ) que depende del ángulo φ
λ‘ - λ = ( h / m.c) (1 - cos φ)
Producción y Aniquilación de Pares
hf = E- + E+
E = h.f
p=E/c
E=0
p=0
E-
E=0
p=0
E-
e-
E+
e+
eE = h.f
p=E/c
E+
e+
Ondas de De Broglie (1924)
“ La naturaleza dual (onda-partícula) de la
luz, también se manifiesta en la materia”
p = E / c = h.f / λ.f = h / λ
electrón: e-
106 m/s
λ=h/p
λ = 7.3 x 10-10 m
40 m/s
λ = 8.3 x 10-36 m
pelota:
2 kg
1927 C.J. Davisson y L.H. Germer de Bell Telephone
realizan experimentos con difracción de electrones
Principio de Incertidumbre
de Heisenberg
“Al medir una partícula, se modifica su estado por lo que
existe un límite hasta donde se puede conocer su posición
y cantidad de movimiento, simultáneamente.”
Δp.Δx > h/4π
ΔE.Δt > h/4π
v
fotón de
observación
Ecuación de Schrödinger
-h2
2m
(
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ
∂x2 ∂y2 ∂z2
)
∂Ψ
+V(x,y,z).ψ(x,y,z,t) = i.h
∂t
i = (-1)1/2
h = h / 2π
ψ(x,y,z,t) ... función (compleja) de onda
V(x,y,z) ... función de energía potencial
|ψ (x,y,z,t) |2 ... puede entenderse como la probabilidad
de encontrar la partícula en estudio
en las coordenadas x,y,z,t.
Ecuación estacionaria de
Schrödinger
Solución unidimensional:
-h2
2m
Ψ(x,t) = Ψ(x) e
-iEt / h
d2Ψ
dx2
( ) +VΨ=EΨ
Solución cuando V= 0
Ψ(x) = Α e ikx + B e-ikx
(2mE)1/2
con k =
h
Pozo infinito de Energía
E
Condiciones de frontera:
Ψ(x=0) = Ψ(x=L) = 0
entonces:
Ψ(x) = A sen( kx )
kL = nπ
de donde:
y como:
E=
L
kL=
n2
E1
p = h /λ = h k
con E1 =
p1 =
h
2L
(2mE)1/2
L = nπ
h
h2
8 m L2
y
pn = n p1
x
como:
Ψ(x) = A sen( kx )
∞
Recordando que:
∫-∞
Ψ(x)
2
dx = 1
L
∫
A2 sen2( kx ) dx = 1
A = (2/L)1/2
0
Finalmente,para el estado base:
Ψ(x) = (2/L)1/2 sen( n k1x )
Notar que Δ x ∼ L/2
mientras
Δx Δp ∼
h/4
(2mE1)1/2
con k1 =
h
Δ p ∼ h/2L
por lo que
Ejemplo:
Ejemplo EFECTO TUNEL
V
v
x
a
Mecánica Clásica
Mecánica Cuántica:
b
x < a;
P(x>b) = 0
P(x>b) > 0
Solución del EFECTO TUNEL
Para 0 ≤ x ≤ a :
-h2
2m
Separación de variables:
-h2
2m
d2Ψ
d x2
∂2Ψ
∂x2
( )
Ψ(x,t) = Ψ(x) e
( )=E
Ψ(x) = Α e ikx + B e-ikx
∂Ψ
= i.h
∂t
-iEt / h
Ψ
(2mE)1/2
con k =
h
Finalmente: Ψ1(x,t) = Α ei(kx-wt) + B e-i(kx+wt)
con ω = E / h
Para a ≤ x ≤ b :
-h2
2m
∂2Ψ
∂x2
( )
+ V Ψ = i.h
∂Ψ
∂t
Ψ2(x,t) = C ei( k2 x – w t) + D e-i(k2 x + w t)
( 2m(V-E) )1/2
con k2 =
h
Condición de borde: Ψ1(a,t) = Ψ2(a,t)
De donde C y D no pueden ser simultáneamente nulos
Entonces, Ψ2(b,t) no es nulo
Para x ≥ b :
-h2
2m
∂2Ψ
∂x2
( )
∂Ψ
= i.h
∂t
Ψ3(x,t) = F ei(kx-wt) + G e-i(kx+wt)
Condición de borde: Ψ2(b,t) = Ψ3(b,t)
De donde F y G no pueden ser simultáneamente nulos,
por lo que existe alguna probabilidad mayor que cero
de encontrarse en esta región.
Conclusiones
• La Física Clásica es una buena aproximación de la
realidad para el mundo macroscópico, debido a la
pequeña granularidad de la naturaleza (h=6.63x10-34
[J.s]).
• Todo lo conocido en la naturaleza, ondas y partículas,
presentan una dualidad onda-partícula.
• Existe un límite impuesto por la misma naturaleza
para el conocimiento cinemático y dinámico de una
partícula (Principio de Incertidumbre de Heisenberg).
• El estudio de la naturaleza solo puede hacerse en
forma probabilística (Función de onda ψ ).