Postulados de la Mecanica Cuantica

Cualquier estado de un sistema dinámico de N partículas puede ser descrito por
la llamada función de onda de las 3N coordenadas espaciales y del tiempo:
Ecuación
(1)
Para ser considerada una función aceptable, la función de onda debe ser:
a) unívoca ( no podrá presentar más de un valor para un mismo conjunto
de coordenadas)
b) continua, así como sus derivadas y
c) ser finita.
El significado físico de
está basado en la interpretación estadística sugerida por
Max Born (1926).
En la teoría ondulatoria de la luz, el cuadrado de la amplitud de una onda
electromagnética en una región del espacio está relacionado con su intensidad y
por lo tanto, a una medida de la probabilidad de encontrar un fóton en esa misma
región del espacio. La función de onda que describe un sistema de N partículas
corresponde a una amplitud y, por consiguiente, por analogía con la teoría de la
luz, el cuadrado de la función de onda que describe un sistema microscópico en
un punto arbitrario en el espacio será proporcional a la probabilidad de encontrar
estas N partículas en aquel punto del espacio. Matemáticamente, esto se puede
expresar por:
Ecuación
(2)
que corresponde a la probabilidad de encontrar la partícula 1 entre x1 e x1+dx1, y1
e y1+dy1, z1 y z1+dz1, la partícula 2 entre x2 y x2+dx2, y2 y y2+dy2, z2 y z2+dz2 y así
sucesivamente. La suma de las probabilidades de encontrar esas N partículas en
todo el espacio de las variables debe siempre presentar un valor finito.
Obviamente, al trabajar con funciones continuas y elementos de volumen
infinitesimales, la suma debe ser sustituída por una integral, que también es
denominada integral de normalización y es representada por:
Ecuación
(3)
La forma de presentación del cuadrado de la función de onda debe llevar en
consideración que la función de onda puede ser una función compleja, o sea, una
función construída en el espacio de los números imaginarios.
De esta manera, el cuadrado en la ecuación 2 corresponde al producto
.
El producto de una función compleja por su complejo conjugado corresponde a
un número real, lo que asegura que la probabilidad de encontrar las N partículas
en el espacio será un número real, aunque la función de onda pueda ser una
función compleja.
En base a esta interpretación estadística para la función de onda, se denomina
a
una amplitud de probabilidad.
Una de las implicaciones es que la naturaleza no es estrictamente
determinista sino estadística, al menos a nivel microscópico (cuantico).
Proceso de medida en la Mecánica Cuántica:
Un sistema cuántico puede ser descrito mediante una función de onda que
es el resultado de una superposición de varias funciones de onda (posibles
estados del sistema). Al momento de realizar la observación (proceso de
medición), la función de onda colapsa en un estado estacionario, teniendo
lugar lo que se conoce como
‘Reducción del paquete de Ondas’.
Posteriormente, puede evolucionar de nuevo a una superposición de
estados, siguiendo la ecuación de Schrödinger.
El observador es tan importante como el sistema que observa. En el
proceso de medición, el primero perturba inevitablemente al segundo.
Además, sin el observador, el sistema está indefinido entre cualquiera de
las situaciones posibles (paradoja del gato de Schrödinger…)
Para obtenerse el valor de una propiedad física de un sistema
representado por una función de onda , se debe efectuar una operación
matemática utilizando un operador que caracterice la propiedad deseada.
A cada propiedad física se le puede asignar un operador mecánicocuántico. Los operadores se obtienen a partir de las expresiones de la
mecánica clásica, aplicándose las siguientes reglas:
1. el tiempo y las coordenadas espaciales permanecen inalterados;
2. el momento lineal en coordenadas cartesianas es sustituído por el
operador diferencial:
Ecuación
(4)
donde el término corresponde a una modificación conveniente de la
constante de Planck, siendo
3. El operador debe ser lineal y hermitico
Como ejemplo de aplicación de estas dos reglas, podemos presentar el
operador de energía de atracción nuclear y de energía cinética. La
construcción de un operador que posibilite la obtención de la energía de
atracción entre un protón y un electrón se inicia por la definición clásica:
Ecuación
(5)
donde (x,y,z) corresponden a las coordenadas cartesianas del electrón y
(X,Y,Z) las coordenadas nucleares. Para construirse el operador
correspondiente, se deben efectuar las modificaciones necesarias según
las dos reglas enunciadas . Como la energía de atracción nuclear solo
depende de las coordenadas electrónica y nuclear, el operador será
idéntico a la definición clásica de la ecuación 5. Para que sea hecha la
diferenciación entre el operador y la respectiva función, se representa el
operador por un símbolo cualquiera con un acento circunflejo arriba. Para
el caso del operador de energía de atracción nuclear se escribe:
Ecuación
(6)
De esta manera, se percibe que el operador de atracción nuclear es un
operador multiplicativo. Para que se defina el operador cuantico de
energía cinética, se determina su expresión clásica. Una partícula de
masa m y velocidad v presenta una energía cinética que será dada por:
Ecuación
(7)
donde
, son los componentes cartesianos del momento
lineal. Se debe sustituir cada uno de los componentes del momento lineal
por el respectivo operador diferencial dado por la ecuación 4. El operador
de energía cinética es entonces reescrito como:
Ecuación
(8)
Ecuación
(9)
Para ser físicamente aceptable, debe ser lineal y hermítico. Un operador
es lineal cuando presenta las siguientes propiedades:
Ecuación
(10)
Ecuación
(11)
donde c es una constante. Se puede notar que los operadores de energía
cinética (ecuación 8) y de atracción nuclear (ecuación 6) son operadores
lineales, ya que satisfacen estas dos propiedades. Un ejemplo de un
operador que no puede ser utilizado en mecánica cuántica es la raíz
cuadrada, ya que
Operadores hermíticos son aquellos que presentan la siguiente propiedad:
Ecuación
(12)
La necesidad de esta condición resulta del hecho de que operadores
propiedades representadas por Â.
Una vez definidos los operadores, se puede obtener el valor de las
respectivas propiedades de una función de onda empleándose:
a) la ecuación de autovalores
o b) el teorema del valor promedio.
Una ecuación de autovalores corresponde a la siguiente expresión:
Ecuación
(13)
Si corresponde a una función de onda bien comportada y  es el
operador de una propiedad física cualquiera, se dice que es un
autovalor del operador  según la ecuación 13. En otras palabras, la
aplicación del operador  sobre la función de onda produce la misma
función de onda multiplicada por una constante . El valor de la propiedad
deseada corresponde al de esa constante . Esta constante es también
conocida por ser autovalor del operador Â. Siendo el operador Â
hermitico, se puede asegurar que será siempre un número real y, por
consiguiente compatible con variables medibles físicamente.
En algunos casos no existen funciones de onda que no corresponden a
autofunciones de un determinado operador. En este caso, para determinar
el valor de esta propiedad se utiliza la siguiente expresión:
Ecuación
(14)
donde corresponde al valor promedio de la propiedad representada por
el operador  en un sistema caracterizado por una función de onda .
El símbolo "-" sobre es utilizado para caracterizar el valor promedio. Otra
notación al valor promedio es < >. La ecuación 14 es normalmente
caracterizada como una representación del tercer postulado de la
mecánica cuántica, mientras la ecuación 13 corresponde a una de las
características de los operadores y por consiguiente considerada en la
definición de los operadores durante la presentación del segundo
postulado.
Para la evolución de un sistema cuántico en el tiempo, es necesario
resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo
Ecuación
(15)
Si la función no depende explícitamente del tiempo se dice que el
sistema se encuentra en un estado estacionario y la ecuación 15 puede
ser re-escrita como:
Ecuación
(16)
El operador , denominado Hamiltoniano, corresponde al operador de
energía total del sistema en estudio y es constituído por términos de
energía cinética y potencial. Para una partícula de masa m moviéndose
en una dimensión con un potencial V(x), la ecuación de Schrödinger se
escribe como:
Ecuación
(17)
Observándose la ecuación 17, la operación matemática del operador
hamiltoniano para producir la energía E del sistema en una dimensión
está dado por:
Ecuación
(18)
Para sistemas más complejos se debe determinar todas las posibles
energías cinética y potencial que ahí existan y definir el respectivo
operador.
“E” en la ecuación 17 representa el valor numérico de energía, y
constituye el autovalor del operador hamiltoniano , según la definición de
la ecuación 13 (ver Postulado 3)
El electrón se comporta como sí fuese un imán pequeño, es decir, como si
tuviera un momento dipolar magnético - denominado spin.
Cuáles son los operadores del spin? No se conoce la forma analítica exacta de esos
operadores. Sin embargo, dada la semejanza de las propiedades del spin con las del
momento angular, se postuló que los operadores del spin deberían ser semejantes y
presentar las mismas propiedades de los operadores del momento angular. El Momento
Angular ( ) está dado por
, donde r corresponde al radio descrito por un cuerpo
en movimiento, que se mueve con momento lineal p. De esta forma, se tiene que:
Ecuación
(19)
Ecuación
(20)
Ecuación
(21)
Ecuación
(22)
Considerando estas propiedades, se pueden definir los operadores mecânico-cuánticos
del momento angular, reemplazando los componentes de p por el respectivo operador
cuántico del momento lineal. Así, se tiene que:
Ecuación
(23)
Se puede demostrar que los operadores que representan las componentes del momento
angular no conmutan entre sí, es decir, aplicando dos de estos operadores en secuencia
sobre una función de onda, el resultado podrá depender del orden de aplicación de los
mismos. Por ejemplo, sí tomamos las componentes x e y del momento angular y las
aplicamos en una función de onda, tendremos el siguiente resultado:
Ecuación
(24)
La no posibilidad de conmutar de estos dos operadores sugiere que los valores de estas
dos componentes no pueden ser determinados simultáneamente. Otra forma de
representar la propiedad conmutativa es a través del siguiente símbolo:
Ecuación
(25)
Si dos operadores A y B conmutan, entonces
. En el caso de que los dos
operadores no conmuten,
. Los operadores del momento de spin, por analogía
con los operadores del momento angular, deben presentar las siguientes propiedades:
Momento angular
Momento de spin