Se conoce con el nombre de desigualdad a

U.M.S.A.
MANUAL DE MAT-101
Definición: Se conoce con el nombre de desigualdad a toda proposición donde aparece la
relación: , , , .
Notación: Si a, b R :
a b : Denota “ a es menor que b”.
a b : Denota “ a es mayor que b”.
a b : Denota “ a es menor o igual que b”.
a b : Denota “ a es menor que b”.
Inecuación: Es toda desigualdad condicional que contiene una o más cantidades
desconocidas, la solución de una inecuación está constituída por uno o varios intervalos de
números reales.
Conjunto Solución: El conjunto solución de una desigualdad condicional es el conjunto de
números que satisface dicha desigualdad, se lo representa con: Cs.
Axiomas de Los Números Reales: Si a, b R :
R
a b
Clausura
R
a ( a) 0
Existencia del inverso
a *b
Clausura
1
a b b a Conmutatividad
a*a
1
Existencia del Inverso
a * b b * a Conmutatividad
(a b) c a (b c)
Asociatividad
a 0 a
Existencia del Neutro
(a * b) * c a * (b * c)
Asociatividad
a *1 a
Existencia del Neutro
a * (b c) a * b a * c
Distributividad
Tricotomía.- Si a R , puede ocurrir sólo uno de estos casos: a 0, a 0, a 0.
Método de Puntos Críticos: Para resolver una inecuación sin raíces ni valor absoluto,
seguiremos los siguientes pasos:

Llevar todas las expresiones al primer miembro mediante sumas y restas.

Dejar al primer miembro como fracción única mediante las operaciones adecuadas.

Factorizar al máximo numerador y denominador.

Igualar cada factor a cero (obteniendo de esta forma puntos críticos) y representar los
puntos obtenidos en la recta real dividiéndola en subintervalos.

Tomar un valor cualquiera (interior a un intervalo) y reemplazarlo en la inecuación
para ver si el intervalo es solución o no. Recuerde que a un intervalo solución le sigue otro de
no solución y así alternadamente.

Otra opción es: Intercalar signos empezando por el
por derecha. Para estos casos los
factores deben estar de la forma: ( X a ), y cualquier número que este multiplicando a la
inecuación debe ser positivo.

Escribir el conjunto solución por compresión.
Notas:


Al multiplicar una inecuación por un número negativo el sentido de la misma cambia.
Los puntos críticos del denominador nunca son incluidos dentro el conjunto solución, en
cambio los del numerador sólo son incluidos cuando en la inecuación se presentan las
relaciones: , .
ELABORADO POR: AUX. DOC. WILSON TICONA PINTO
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
Expresiones cuadráticas con raíces complejas son siempre positivas para cualquier valor
de “X”.
 Si se tiene un factor elevado a una potencia par, se anula todo el factor y solamente se
analiza su punto crítico al final para ver si pertenece o no pertenece al conjunto solución.
 Si se tiene un factor elevado a una potencia impar se lo analiza como si sólo estuviese
elevado a la unidad.
Inecuaciones con Raíces Cuadradas: Sea P y Q expresiones que dependen de X , y a un
número real positivo, entonces se cumple:
Caso 1:
Caso 3:
2
P 0 ^ [(Q 0 ^ P Q 2 ) v Q 0]
P 0 ^ P a
P a
P Q
P 0 ^ P a2
P a
P 0 ^ [(Q 0 ^ P Q 2 ) v Q 0]
P Q
Caso 2:
Caso 4:
P 0 ^ P a2
P a
P 0 ^ [Q 0 ^ P Q 2 ]
P Q
2
P 0 ^ P a
P a
P 0 ^ [Q 0 ^ P Q 2 ]
P Q
Caso 5: Si a es un número negativo:
P 0
Cs :
P a
P a
Valor Absoluto:
Propiedades:
1.
X
2.
X *Y
X *Y
3.
X Y
X
4.
X
5.
X2
0
Y
Desigualdad Triangular
X
X
2
a
X
Y
7.
X
X2
8.
X
X
Y
; Y
0
X2
Si a es un número positivo:
a X
9. X a
10. X
X
6.
X
a
a
X
a
Recuerde también que: Si n, m son dos números reales:
m
X
n
m
Intersección
X
;
X
n
Unión
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