SOLUCIóN DE INECUACUACIONES

SOLUCIóN DE INECUACUACIONES
1. 3𝑥 < 4𝑥 + 4
Solución
La inecuación es equivalente a:
−4 < 4𝑥 − 3𝑥.
De donde se tiene
−4 < 𝑥
Por consiguiente el C.S. (C.S. = Conjunto Solución) es:
2. 6 − 𝑥 ≥ 2𝑥 + 9
Solución
La inecuación es equivalente a:
De donde
Por lo tanto el C.S. es: −∞; −3
3.
2
𝑥
5
−4; ∞
6 − 9 ≥ 2𝑥 − 𝑥
−3 ≥ 𝑥
1
+ 1 < 5 − 2𝑥
Solución
2
𝑥
5
La inecuación es equivalente a:
Reduciendo
Multiplicando por el reciproco
5
12
Por consiguiente el C.S. es: −∞; −
queda:
1
3
1
+ 2𝑥 < 5 − 1
12
𝑥
5
4
< −5
𝑥<−
1
3
4. −1 < 𝑥 − 5 < 7
Solución
La inecuación es equivalente a: −1 < 𝑥 − 5 𝑦 𝑥 − 5 < 7 (por propiedades de inecuaciones)
Reduciendo las desigualdades se tiene:
4 < 𝑥 𝑦 𝑥 < 12, donde el conjunto solución viene dado
por la intersección de las soluciones de las inecuaciones.
Gráficamente podemos ver:
Por consiguiente el C.S. es: 4; 12
5. −2 < 8 − 2𝑥 ≤ −1
Solución
Haciendo el mismo análisis que el caso anterior:
−2 < 8 − 2𝑥 𝑦 8 − 2𝑥 ≤ −1
2𝑥 < 10 𝑦 8 + 1 ≤ 2𝑥
𝑥<5 𝑦
9
2
≤𝑥
Gráficamente:
C.S.
9
;5
2
6. 2 7𝑥 − 3 ≤ 12𝑥 + 16
Solución
La inecuación es equivalente a:
Reduciendo las operaciones
14𝑥 − 6 ≤ 12𝑥 + 16
2𝑥 ≤ 22
𝑥 ≤ 11
Gráficamente:
Por consiguiente el C.S. es:
7.
−∞; 11
𝑥+2 𝑥−3 ≤ 0
Solución
Previamente se determina los valores de x para los cuales anula la expresión y dichos valores colocamos
en la recta numérica en donde divide a la recta en tres intervalos.
Seguidamente se determina el signo del polinomio estudiando el signo de ambos factores en la siguiente
tabla:
Signo
𝑥+2
𝑥−3
𝑥+2 𝑥−3
−∞; −2
−
−
+
−2; 3
+
−
−
3; +∞
+
+
+
Se observa que los puntos del intervalo −2; 3 son soluciones de la inecuación
𝑥 + 2 𝑥 − 3 ≤ 0 Y como los extremos del intervalo no verifican la desigualdad, se deduce que
−2; 3 es solución de esta inecuación.
8. 2𝑥 2 + 𝑥 ≥ 1
Solución
Esta inecuación es equivalente a:
2𝑥 2 + 𝑥 − 1 ≥ 0
Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces, obteniéndose: 𝑥 =
Por lo tanto la inecuación queda factorizado de la forma:
Hacemos el mismo análisis que el caso anterior.
Signo
2𝑥 − 1
𝑥+1
2𝑥 − 1 𝑥 + 1
−∞; −1
−
−
+
1
2
y 𝑥 = −1
2𝑥 − 1 𝑥 + 1 ≥ 0
−1;
−
+
−
Se observa que los puntos que se encuentran sobre los intervalos
1
2
1
; +∞
2
+
+
+
−∞; −1
desigualdad, por lo tanto el conjunto solución viene dado por −∞; −1 ∪
Los ejercicios que vienen a continuación son similares a los ya estudiados.
9. 𝑥 2 < 3 𝑥 + 6
Solución
𝑥2 − 3 𝑥 + 6 < 0
𝑥 2 − 3𝑥 − 18 < 0
𝑥−6 𝑥+3 < 0
C.S. −3; 6 .
10. 𝑥 2 < 4
Solución
𝑥2 − 4 < 0
𝑥−2 𝑥+2 < 0
C.S. −2; 2 .
11. 𝑥 3 − 4𝑥 ≥ 0
Solución
𝑥 𝑥2 − 4 ≥ 0
𝑥 𝑥−2 𝑥+2 ≥ 0
C.S. −2; 0 ∪ 2; +∞ .
12. 16𝑥 ≥ 2𝑥 4
Solución
La inecuación es equivalente a:
Factorizando
2𝑥 tenemos:
Por propiedades de factorización:
2𝑥 4 − 16𝑥 ≤ 0
2𝑥 𝑥 3 − 8 ≤ 0
2
2𝑥 𝑥 − 2 𝑥 + 2𝑥 + 4 ≤ 0
1
; +∞
2
y
.
1
; +∞
2
verifican la
Omitimos las soluciones de 𝑥 2 + 2𝑥 + 4 por tener raíces complejas.
En forma grafica:
Por consiguiente C.S. es: 0; 2 .
13.
6−2𝑥
9
>
1−𝑥
6
Solución
6−2𝑥
La inecuación es equivalente a:
−
9
6
6 6−2𝑥 −9 1−𝑥
9×6
Reduciendo:
Cambiando de signo resulta:
1−𝑥
>0
>0
36 − 12𝑥 − 9 + 9𝑥 > 0
27 − 3𝑥 > 0
−27 + 3𝑥 < 0
3𝑥 < 27
𝑥<9
Por lo tanto, C.S. es: −∞; 9 .
14. 2𝑥 3 − 4𝑥 − 7𝑥 ≤ −𝑥 2 + 𝑥 + 3
Solución
La inecuación es equivalente a:
2𝑥 3 − 3𝑥 2 − 8𝑥 − 3 ≤ 0
Para poder expresar en factores hacemos uso de la división por Ruffini.
-1
2
3
2
-3
-2
-5
6
1
2
-8
5
-3
3
0
-3
3
0
El polinomio queda expresado en factores de la forma:
𝑥 + 1 𝑥 − 3 2𝑥 + 1 ≤ 0
Seguidamente buscamos los valores de que x que anulen el polinomio y dichos valores los ubicamos sobre
la recta real y por el método practico determinamos la solución.
La solución se encuentra en los intervalos que presenta el signo negativo y como nuestra desigualdad es
menor igual.
1
Por lo tanto C.S. es: −∞; −1 ∪ − 2 ; 3 .
1
1
15. (𝑥 + 2)2 − (𝑥 − 2)2 < 𝑥
Solución
4 𝑥
Por propiedades de factorización se tiene:
1
2
<𝑥
2𝑥 < 𝑥
𝑥<0
C.S. −∞; 0 .
16. −6𝑥 4 + 11𝑥 3 + 94𝑥 2 + 11𝑥 − 30 ≤ 0
Solución
La inecuación es equivalente a:
6𝑥 4 − 11𝑥 3 − 94𝑥 2 − 11𝑥 + 30 ≥ 0 (este resultado se obtuvo
cambiando el signo).
Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan sus raíces utilizando la división
por Ruffini.
−3
6
5
6
1
2
−2
3
6
−11
−18
−29
30
1
−94
+87
−7
5
−2
6
3
4
+2
0
6
−4
0
−11
21
10
−10
0
+30
−30
0
Luego, la inecuación expresado como el producto de 4 factores lineales, será:
𝑥 + 3 𝑥 − 5 𝑥 − 1 2 𝑥 + 2 3 ≥ 0 , luego determinamos los valores de x los cuales anulan el
polinomio, seguidamente los valores que anulan el polinomio los ubicamos sobre una recta real en donde
nos divide en cuatro intervalos y hacemos el mismo análisis que los ejercicios 7. Y 8. Obteniéndose como
2 1
3 2
conjunto solución el intervalo: −∞; −3 ∪ − ;
Instructor: Oscar Tomaiconza
∪ 5; +∞ .