Apertura hexagonal

ANTENAS
1
Apertura hexagonal
En la apertura hexagonal de lado a=4λ de la figura, los campos son
uniformes y la polarización es horizontal.
a) Calcular el campo radiado en la dirección del máximo y la
potencia total radiada por la apertura.
b) Calcular la Directividad y el Área efectiva.
c) Obtener una expresión integral para el campo radiado en todo el
espacio por la apertura.
d) Calcular los campos radiados en el plano E.
e) Calcular el diagrama de radiación en el plano H.
G
E = Ex xˆ
G
E
H = H y yˆ = x yˆ
η
y
E
x
Solución
a
Campo máximo
Los campos radiados por una apertura con polarización horizontal
son
Eθ = j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
cos φ ⎜ cos θ + 1⎟ ∫∫ E ( x ', y ') e jk x x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
Eφ = − j
⎛η
⎞
e − jkr
jk y '
sin φ ⎜ + cos θ ⎟ ∫∫ E ( x ', y ' ) e jkx x 'e y dx ' dy '
2λ r
⎝ Z0
⎠ s'
Si la apertura es uniforme, los campos radiados tendrán un máximo
en la dirección del eje z. La relación de los campos en la apertura es
la del espacio libre.
kx = 0 k y = 0 Z0 = η
e− jkr
cos φ Ex A
λr
e− jkr
sin φ Ex A
Eφ = − j
λr
Eθ = j
© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
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2
En el eje z hay una indeterminación en la orientación de los ejes en
coordenadas esféricas. En este caso es mejor representar la
polarización del campo en cartesianas
G
e− jkr
E= j
E Axˆ
λr x
El área del hexágono se puede calcular dividiendo la figura en seis
triángulos equiláteros
⎛1
3 ⎞
3 2
A = 6 ⎜⎜ a
a ⎟⎟ = 3
a
2
⎝2 2 ⎠
Potencia total radiada
La potencia se puede calcular a partir de la integración de la
densidad de potencia en la misma
Wt = ∫∫
s'
Ex2
η
ds ' =
Ex2
η
A
Directividad
Se ha visto que la directividad se puede calcular a partir de los
campos en la apertura.
D=
2
2
Pm
4π r 2 Eθ + Eφ
=
Wt
Wt
η
4π r 2
2
⎛
⎞
⎜ ∫∫ Ea ( x ', y ') ds ' ⎟
4π
⎠
D = 2 ⎝ s'
2
λ
∫∫ Ea ( x ', y ') ds '
s'
Si la apertura es uniforme
D=
4π
λ
2
A Aef = A = 3
3 2
a
2
Campos radiados
La integral doble de los campos es
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3
∫∫ E ( x ', y ') e
jk x x '
e
jk y y '
dx ' dy '
y
s'
Esta integral se puede reducir a
una integral unidimensional.
E
x
Si y(x) es el contorno del hexágono.
a
xmax
∫
xmin
e
jk x x '
xmax
⎛
⎛ ymax ( x ) jk y ' ⎞
sin ( k y y ( x ) ) ⎞
⎟dx '
⎜ ∫ e y dy ' ⎟dx ' = ∫ e jk x x ' ⎜ y ( x )
⎜ y ( x)
⎟
⎜
⎟
k
y
x
(
)
y
xmin
⎝ min
⎠
⎝
⎠
La fórmula se puede interpretar como una agrupación en x, de
aperturas rectangulares como la marcada en la figura.
Diagrama en el plano E
El plano E es el XZ, en dicho plano
k x = k sin (θ ) cos (φ ) = k sin (θ ) cos ( 0 ) = k sin (θ )
k y = k sin (θ ) sin (φ ) = k sin (θ ) sin ( 0 ) = 0
El diagrama será proporcional a la integral
jk x '
∫∫ E ( x ', y ') e x e
s'
jk y y '
dx ' dy ' = Ex
xmax
∫
2 y ( x )e jkx x ' dx '
xmin
Esta integral es la transformada de Fourier del contorno, es decir de
una función como un triángulo truncado
La transformada de Fourier de
dicha función se puede calcular
por resta de dos triángulos
equiláteros de lados 2a y a
respectivamente.
Dicha
transformada
es
proporcional a las áreas de los
triángulos.
y
a
a
a
x
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4
2
⎛ ⎛ k x 2a ⎞ ⎞
⎛ ⎛ kx a ⎞ ⎞
sin
⎜ sin ⎜ 4 ⎟ ⎟
3 2 ⎜ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
2
⎟ −
⎟
F ( k x ) = 3a ⎜
a ⎜
4
⎜ k x 2a ⎟
⎜ kx a ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
4
4
⎝
⎠
⎝
⎠
2
Los campos en el plano E son
Eθ = j
e − jkr
( cosθ + 1) 2 Ex F ( k x , a )
2λ r
Eφ = 0
Diagrama en el plano H
El plano H es el YZ
⎛π ⎞
k x = k sin (θ ) cos (φ ) = k sin (θ ) cos ⎜ ⎟ = 0
⎝2⎠
⎛π ⎞
k y = k sin (θ ) sin (φ ) = k sin (θ ) sin ⎜ ⎟ = k sin (θ )
⎝2⎠
∫∫ E ( x ', y ') e
s'
jk x x '
e
jk y y '
dx ' dy ' = Ex
ymax
∫
2 x ( y )e
jk y y '
dy '
ymin
El problema es similar al anterior del plano E, pero con una forma
diferente para la función a transformar, que es
x
a
a/2
Eθ = 0
Eφ = − j
− jkr
e
(1 + cosθ ) 2 ExG ( k y , b )
2λ r
a/2
y
a 3
La función a transformar es la suma de una función uniforme y un
triángulo, ambas de la misma anchura, a 3 .
La transformada es proporcional al área de las figuras
G ( k y ) = a2
⎛ ⎛ kya 3 ⎞ ⎞
⎛ ⎛ kya 3 ⎞ ⎞
⎜ sin ⎜
⎜ sin ⎜
⎟⎟
⎟⎟
⎜
⎟
⎜
⎟⎟
2
4
⎜
⎟
⎜
3
⎝
⎠ + 1 a2 3
⎝
⎠
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ⎜ kya 3 ⎟ 2
2 ⎜ kya 3 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
2
4
⎝
⎠
⎝
⎠
2
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