Espira circular uniforme ∫

ANTENAS
1
Espira circular uniforme
Una espira circular por la que circula una corriente uniforme está
situada en el plano XY. Su radio a puede tomar valores comparables
a la longitud de onda.
Se pide calcular el vector de radiación, sin realizar aproximaciones,
y representar gráficamente el diagrama de radiación en el plano XZ.
Sugerencia: utilizar la definición integral de las funciones de Bessel.
j −n
π
∫
π
0
∫
π
0
cos ( nφ ) e jz cosφ dφ = J n ( z )
sin ( nφ ) e jz cosφ dφ = 0
Solución
Vector de radiaciónde una espira
El vector se puede calcular a partir de la integral de las corrientes,
incluyendo el efecto de desfase.
r
N =
ò
2p
0
r
I fˆ ' e jkrˆ×r 'adf '
El desfase con respecto al origen de coordenadas se puede calcular a
partir de las expresiones de los dos vectores en coordenadas
cartesianas, particularizadas en q = p /2 y r = a
r
rˆ × r ' = a sin q cos(f - f ')
Los campos radiados se pueden obtener a partir de las componentes
del vector de radiación en coordenadas esféricas.
r
N q = N × qˆ
r
N f = N × fˆ
Las expresiones del vector de radiación en esféricas son
 Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia
ANTENAS
2
N q = aI cos q ò
N f = aI ò
2p
0
2p
0
e jka sin q cos(f -f ') sin(f - f ')d f '
e jka sin q cos(f -f ') cos(f - f ')d f '
Teniendo en cuenta las siguientes relaciones
j −n π
cos ( nφ ) e jz cosφ dφ = J n ( z )
π ∫0
∫
π
0
sin ( nφ ) e jz cosφ dφ = 0
Se llega a
Nq = 0
N f = aI ò
2p
0
e jka sin q cos(f -f ') cos(f - f ')d f '
N f = j paI 2J 1 ( ka sin q )
Potencial vector
Aφ =
µ e − jkr
µ e − jkr
µ e − jkr
Nφ =
jπ aI 2 J1 ( ka sin θ ) = ja
J1 ( ka sin θ )
4π r
4π r
2r
Campos radiados
Eφ = − jω Aφ
Hθ = −
Eφ
η
Para representar gráficamente el diagrama de radiación, es
conveniente representar gráficamente la función de Bessel
1
1
0.5
J1( z)
0
0.5
−1
1
0
0
2
4
6
z
8
10
10
Se puede observar que el argumento de la función de Bessel variará
entre los valores 0 y ka. Los diagramas tendrán simetría en torno al
eje z. En todos los casos hay un nulo en dicho eje.
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ANTENAS
3
Diagramas de radiación
a=0.1ë
90
120
0.2
150
0.299
60
30
z
0.1
D( θ )
180
0
0
0
210
330
240
300
270
θ
90
a=0.5ë
120
0.4
150
0.582
60
30
0.2
D( θ )
180
0
0
210
0
330
240
300
270
θ
a=1 ë
90
120
0.4
150
0.582
60
30
0.2
D( θ )
180
0
0
210
0
330
240
300
270
θ
a=1.5 ë
90
120
60
0.4
150
30
0.2
D( θ )
180
0
0
210
330
240
300
270
θ
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