PANDEO
COMPRESIÓN
DEFINICIONES
x
z
P
y
P
Eje de giro:
Plano de pandeo:
FACTORES QUE INFLUYEN EN LA ESTABILIDAD:
EULER (1744): SECCIÓN CIRCULAR
x
P
Mz
v ′′ =
EI z
M z = −P ⋅ v
v
P
v ′′ +
v =0
EI z
y
P
P
x
x + B ⋅ cos
v = A ⋅ sen
EI z
EI z
x
P
v (0 ) = 0
v (L ) = 0
v
P
→ v = A ⋅ sen
x
EI z
P
→ 0 = A ⋅ sen
L
EI z
P
L = nπ
EI z
y
n = 1, 2, ...
SECCIÓN CIRCULAR EN OTRAS SUSTENTACIONES (EJEMPLO):
x
P
v
y
M z = −P ⋅ v + R (L − x )
P
⎧
v = R (L − x )
⎪v ′′ +
EI z
⎨
⎪v (0 ) = 0 v ′(0 ) = 0 v (L ) = 0
⎩
R
P
P
x+ x
x + B ⋅ cos
v = A ⋅ sen
P
EI z
EI z
De las tres condiciones de contorno, resultan tres ecuaciones, para
obtener las tres incógnitas (A, B, R).
Para que el sistema tenga solución, el determinante de coeficientes
debe ser nulo, lo que conduce a:
P
P
tg
L=
L
EI z
EI z
Ecuación trascendente, cuya primera raíz es:
Pcr
= 4,49
EI z
→
Pcr =
(
π 2EI z
L)
2
CASO GENERAL DE SUSTENTACIÓN:
Pcr =
π 2EI
Lp
2
Lp Longitud (efectiva) de pandeo
Lp = k·L
k es
cuanto
es la sustentación
CASOS EXTREMOS DE SUSTENTACIÓN:
0,7L
L
0,5L
2L
Empotrada/libre
Lp=2L
Biarticulada
Lp=L
Articulada/Empotrada
Lp=0,7L
Biempotrada
Lp=0,5L
OTRO PUNTO DE VISTA:
π EI
2
Pcr =
Lp
⇔
2
λ =
Esbeltez :
σ
π 2 ⋅E
σ cr =
2
λ
π 2 ⋅E ⋅ A
Pcr =
⇔
2
λ
Lp
=
I
A
λ
Lp
LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER:
π 2 ⋅E
σ cr =
2
λ
1.- Solo si el material está en régimen elástico
σ < σe
σ
λ > λlím = π
E
σe
σ
σe
REALIDAD
λ
λ
λlím
LIMITACIONES DE LA FÓRMULA DE EULER:
2.- Solo condiciones de laboratorio: Factor de seguridad alto
Carga admisible:
Padm
Pcr
=
factor de seguridad
FÓRMULAS EMPÍRICAS
σ
Curva empírica
λ
SECCIONES NO CIRCULARES Y DISTINTA
SUSTENTACIÓN EN LOS PLANOS PRINCIPALES
2 ecuaciones diferenciales distintas
x
y
z
P
⎧
⎪w ′′ + EI w = f2 (x )
y
⎨
⎪c. de contorno (2)
⎩
P
⎧
′
′
v = f1 (x )
⎪v +
EI z
⎨
⎪c. de contorno (1)
⎩
π ⋅E
2
Dos tensiones σ cr =
2
λ
críticas
z
Plano de pandeo:
El de
carga crítica = esbeltez
π 2 ⋅E
σ cr =
2
λy
MÉTODO DE CÁLCULO:
1.- Hallar el plano de pandeo (Esbeltez máxima):
Lp z
Lp y
λz =
λy =
Iz
Iy
A
A
2.- Emplear la fórmula de Euler con λmáx
0
