Una reconstrucción del Discurso Matemático en Mecánica de

Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional
Unidad Distrito Federal
Departamento de Matemática Educativa
Una Reconstrucción del Discurso Matemático
en Mecánica de Materiales
Tesis que presenta
Ramón Enrique Duarte Ramos
Para obtener el Grado de
Doctor en Ciencias
En la Especialidad de
Matemática Educativa
Director de Tesis: Dr. Jesús Alfonso Riestra Velázquez
México, D.F.
Enero de 2005
Resumen
Esta investigación tiene su contexto en la enseñanza de las Matemáticas en las escuelas de Ingeniería Civil,
enfocándose directamente sobre las materias específicas de Ingeniería donde las Matemáticas juegan un papel
importante; surge del hecho de que se han encontrado, tanto en el desarrollo de la teoría como en algunos
problemas de aplicación incluidos en los textos utilizados en estas materias, una aplicación inadecuada tanto de
la Física como de las Matemáticas. Se seleccionó la materia de Mecánica de Materiales (o Resistencia de
Materiales) para hacer un análisis y una posible reconstrucción del discurso matemático utilizado para el
desarrollo de los temas de deformación axial, flexión en vigas, pandeo de columnas y, como sugerencia del
examen predoctoral, se incluyó el tema de Métodos energéticos en Análisis Estructural. Nuestra preocupación es
explicitar el papel que juegan la Física y las Matemáticas en el modelado y la fundamentación de la teoría de la
Mecánica de Materiales.
El desarrollo histórico de las Matemáticas es una fuente de estrategias didácticas, favoreciendo una enseñanza
con significado y en contexto, pues al no disponer de mucha herramienta matemática aquellos científicos
realizaban mucho razonamiento físico recurriendo a las características propias del fenómeno o problema en
estudio. Una parte importante de este trabajo la constituyó un pequeño bosquejo histórico de la Mecánica de
Materiales, específicamente los trabajos de Galileo sobre resistencia en vigas y uno de Euler sobre pandeo en
columnas, los cuales motivaron la elaboración de una propuesta didáctica para presentar la definición de
momento estático y el diseño de un algoritmo moderno para determinar la forma de una columna pandeada.
Las aportaciones de esta tesis son las siguientes:
1. Análisis con comentarios e interpretaciones de
a) Resistencia de los Sólidos a la Fractura, que es la primera Ciencia que Galileo desarrolla en su famoso libro:
Diálogos concernientes a dos nuevas ciencias, haciendo una comparación con la teoría actual.
b) La deducción original de Euler de la fórmula para la carga crítica en columnas utilizando infinitésimos.
La consideración de Euler cuando el incremento es pequeño (pero no infinitesimal) y nuestra
interpretación moderna.
2. Deducción matemática de la Ley normalizada de Hooke (la del módulo de Young como razón de esfuerzo a
deformación unitaria) a partir de la Ley de Hooke ordinaria.
3. Se explicitan los siguientes principios y métodos (que no se suelen tratar en nuestros textos) utilizados tanto
teóricamente como estrategias en la resolución de problemas especialmente relacionados con vigas, las
cuales a la vez funcionan como una justificación del procedimiento.
a) Divisibilidad infinita de la materia y homogeneidad
b) Principio de asociatividad, el cual consiste en que las condiciones presentes en ciertos elementos como
parte de un todo, no cambian si se separan, siempre que no cambiemos las condiciones iniciales.
c)
Método reductivo. Esta estrategia se basa en que si no cambian las causas que producen un fenómeno,
se obtienen los mismos efectos independientemente de cuál haya sido la historia de cómo se llegó a la
configuración final.
4. Una reformulación de los teoremas de Castigliano utilizando Álgebra Lineal, bajo la premisa de que
fundamentar científicamente la teoría, basándose en los principios más simples (superposición en este caso)
va aparejado con los aspectos didácticos.
5. Algoritmo moderno para resolver el problema de la columna de Euler para grandes deformaciones.
6. Propuesta didáctica para motivar la definición de momento y de la correspondiente condición de equilibrio.
Esperamos que el trabajo contribuya con sus propuestas concretas (y con sus análisis que pueden sugerir nuevas
propuestas) a mejorar el discurso matemático empleado en el desarrollo de la teoría de Mecánica de Materiales y
de los métodos energéticos del Análisis Estructural.
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