PANDEO
El pandeo es un fenómeno de no linealidad geométrica que aparece en piezas esbeltas
manifestándose con grandes desplazamientos transversales a la dirección principal de
compresión.
x
x
P
P
x
P
ymax
Mz
y
y
x
x
y
y
y
· El pandeo limita severamente la resistencia en compresión.
· Durante el pandeo aparecen dos esfuerzos con efectos antagonistas:
- Esfuerzo axil: tiende a incrementar el desplazamiento lateral
- Momento flector: tiende a atenuar el desplazamiento lateral
· Existe una fuerza de compresión que en caso de ser superada puede producirse una
situación de inestabilidad elástica.
· La resistencia del material es insuficiente para dimensionar el elemento estructural.
Barra esbelta doblemente articulada. Carga crítica de Euler.
x
P
Mz
y
x
y
M z = − P y = EI z
d2y
dx 2
d2y
P
+
y=0
2
EI z
dx
⎛
⎛
⎞
P ⎞⎟
⎜x P ⎟
y = C1 sin ⎜⎜ x
cos
C
+
2
⎟
⎜ EI ⎟
z ⎠
⎝ EI z ⎠
⎝
Condiciones de contorno:
x=0→ y=0
x=l → y=0
⇒
C2 = 0
⇒
⎛
P ⎞⎟
C1 sin ⎜⎜ l
⎟=0
⎝ EI z ⎠
⎧• C1 = 0
⎪
⎛
⇒⎨
P
⎜
⎪• sin ⎜ l EI
z
⎝
⎩
⎞
⎟ = 0 ⇒ l P = nπ
⎟
EI z
⎠
P=n
2
π 2 EI z
l2
(n = 1,2,...)
(n = 1,2,...)
La carga más pequeña corresponde a n = 1
Pcr =
π 2 EI z
l2
Carga Crítica de Euler
OBS: La carga crítica de Euler no depende del
límite de proporcionalidad σp del material.
Deformada por pandeo
Ecuación diferencial de la elástica:
1
ω=
αz
ρ
=
d2y
ds 2
⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦
32
=
Mz
Py
=−
EI z
EI z
Si las deformaciones son pequeñas:
αz
αz
d2y
ds 2
⎡ ⎛ dy ⎞ 2 ⎤
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ ds ⎠ ⎥⎦
32
d2y
≈ 2
ds
⇒
Py
d2y
=−
2
EI z
ds
Esta ecuación corresponde a la empleada en la determinación de la carga crítica de Euler.
Volviendo a la ecuación diferencial de la elástica:
ω=
1
ρ
=
dα z M z
Py
=
=−
ds
EI z
EI z
dα z P y
+
=0
ds
EI z
d 2α z
P dy
+
=0
2
EI z ds
ds
d 2α z
P
+
sin α z = 0
2
EI z
ds
La flecha máxima se obtiene en el punto medio:
l
α z =0
y max = f = ∫ 2 dy = ∫
0
α z = α z0
P
Pcr
f
l
0º
20º
40º
60º
≤ 1 1.015 1.064 1.152
0
0.11
0.211 0.296
α z =α z 0
sin α z ds
Longitud de pandeo
Supóngase barras esbeltas sometidas a compresión con distintos tipos de enlace:
· Se define la Longitud de Pandeo L como:
L=βl
l : longitud de la barra
β : Coef. función del tipo de enlace
· Carga crítica de Euler:
Pcr =
π 2 EI z
L2
Tensión crítica de Euler. Esbeltez mecánica
σ cr =
iz : Radio de giro i z =
Pcr π 2 EI z π 2 Ei z2 S
π 2E π 2E
=
=
=
= 2
2
S
λ
SL2
SL2
⎛L⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ iz ⎠
Iz
S
λ : Esbeltez mecánica
L
iz
λ=
σcr : Tensión crítica de Euler
σ cr =
π 2E
λ2
Dominio de aplicación de la fórmula de Euler
Hipérbola
de Euler
Validez de tensión crítica de Euler:
π 2E
σ cr = 2 ≤ σ p
λ
OBS.:
· Piezas de esbeltez muy elevada
· Piezas de esbeltez muy pequeña
⇒
λ ≥ λL =
π 2E
σp
⇒ La tensión crítica es muy pequeña
⇒ La tensión crítica de Euler carece de sentido
Pandeo en el dominio anelástico ( λ < λ L )
Engensser-Shanley
Tensiones superiores al límite elástico σ e el módulo de elasticidad tangente disminuye
σ
Módulo elástico tangente
ET =
dσ
= tan β
dε
ε
σ cr =
π 2 ET
λ2
Formula de Tetmajer
Es una fórmula empírica
σ cr = a − bλ + cλ2
E
Acero
dulce
Fundición
Madera de
pino
σe
[kg/cm2]
[kg/cm2]
106
1620
2.1·106
0.1·106
1900
99
λL
a
b
c
105
3100
11.4
0
80
7760
120
0.53
100
293
1.94
0
Coeficiente de seguridad a pandeo γp
Imperfecciones: las cargas descentradas y piezas con ligera curvatura inicial
⇓
Se aplica un coeficiente de seguridad que aumenta con la esbeltez
(σ adm ) p = σ cr
γp
Método de los coeficientes ω de cálculo del pandeo
ω=
σ adm
(σ adm ) p
⇒
ω = f (λ )
donde ya se ha tenido en cuenta (σ adm ) p =
σ=
σ cr
γp
& σ adm =
σ
P
≤ (σ adm ) p = adm
S
ω
Tres planteamientos:
σω =
λ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
250
P
ω ≤ σ adm
S
0
1.01
1.03
1.07
1.12
1.19
1.30
1.45
1.65
1.89
2.18
2.50
2.86
3.25
3.68
4.14
4.63
5.15
5.70
6.28
6.90
7.54
8.22
8.92
9.66
1
1.02
1.04
1.07
1.12
1.20
1.31
1.47
1.67
1.92
2.21
2.53
2.90
3.29
3.72
4.18
4.68
5.20
5.76
6.34
6.96
7.61
8.29
8.99
S≥
P
σ adm
ω
Coeficientes ω para aceros St 33 y St 37
2
3
4
5
6
7
1.02
1.02
1.02
1.02
1.02
1.03
1.04
1.04
1.04
1.05
1.05
1.06
1.08
1.08
1.08
1.09
1.09
1.10
1.13
1.14
1.14
1.15
1.16
1.17
1.21
1.22
1.23
1.24
1.25
1.26
1.33
1.34
1.36
1.37
1.39
1.40
1.49
1.51
1.53
1.55
1.57
1.59
1.70
1.72
1.74
1.77
1.79
1.82
1.95
1.97
2.00
2.03
2.06
2.09
2.24
2.27
2.30
2.33
2.37
2.40
2.57
2.60
2.64
2.68
2.71
2.75
2.94
2.97
3.01
3.05
3.09
3.13
3.33
3.38
3.42
3.46
3.50
3.55
3.77
3.81
3.86
3.90
3.95
4.00
4.23
4.28
4.33
4.38
4.43
4.48
4.73
4.78
4.83
4.88
4.94
4.99
5.26
5.31
5.36
5.42
5.48
5.53
5.81
5.87
5.93
5.99
6.05
6.11
6.40
6.46
6.53
6.59
6.65
6.71
7.03
7.09
7.15
7.22
7.28
7.35
7.67
7.74
7.81
7.88
7.94
8.01
8.36
8.43
8.49
8.57
8.64
8.71
9.07
9.14
9.21
9.29
9.36
9.43
P≤
8
1.03
1.06
1.10
1.17
1.28
1.42
1.61
1.84
2.12
2.43
2.78
3.17
3.59
4.04
4.53
5.04
5.59
6.16
6.77
7.41
8.08
8.78
9.51
S σ adm
9
1.03
1.06
1.11
1.18
1.29
1.44
1.63
1.87
2.15
2.47
2.82
3.21
3.63
4.09
4.58
5.09
5.64
6.22
6.84
7.48
8.15
8.85
9.58
ω
λ
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
220
230
240
σe
γ
0
