3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA 3.2 DEFINICIÓN 3.3

Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3
3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA
3.2 DEFINICIÓN
3.3 NOTACIÓN
3.4 FORMA ALTERNATIVA
3.5 DIFERENCIABILIDAD
3.6 DERIVACIÓN
3.6.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN.
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
3.6.6 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.7 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
3.7
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
OBJETIVOS:
SE PRETENDE QUE EL ESTUDIANTE:
• Defina derivada.
• Calcule ecuaciones de rectas tangentes a una curva
• Realice demostraciones formales de derivada.
• Calcule derivadas.
54
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.1 INTERPRETACION GEOMETRICA.
Suponga que se tenga el problema de encontrar la ecuación de la
recta tangente a la grafica de una función f , en un punto x 0 .
La ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − f ( x 0 ) = m tg ( x − x 0 )
Ahora, habría que calcular la pendiente de la recta tangente.
Observe el gráfico:
La pendiente de la recta secante entre los puntos
(x0 + h, f ( x0 + h) )
sería msec =
( x0 , f ( x0 ) )
y
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
La pendiente de la recta tangente se obtendría haciendo que h se
haga cada vez más pequeña, porque en este caso la recta secante toma la
posición de la recta tangente, y resolveríamos nuestro problema; es decir:
mtg = lím
h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
55
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
A la pendiente de la recta tangente se le llama la derivada de f .
3.2 DEFINICIÓN
La derivada de una función f es otra función
denotada como f ´ , cuyo valor en " x0 " es:
f ´(x0 ) = lím
h →0
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
h
Siempre que este límite exista. En este caso, se dice
que es diferenciable en " x0 ".
3.3 NOTACIÓN.
Las notaciones que se emplean para la derivada son:
dy
, Dx y .
f ´ , y´ ,
dx
En cualquier caso, la derivada en " x " sería:
f ( x + h) − f ( x )
f ´(x) = lím
h →0
h
3.4 FORMA ALTERNATIVA
Presentaremos ahora una forma diferente para la derivada, que para
algunos casos resultaría muy útil.
Observe el grafico:
56
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
La pendiente de la recta secante entre los puntos ( x 0 , f ( x0 ) ) y (x, f ( x) )
f ( x) − f ( x0 )
. Entonces la pendiente de la recta tangente, que es
x − x0
la derivada de f , sería este caso:
f ( x) − f ( x0 )
m tg = f ´(x0 ) = lím
x → x0
x − x0
sería: msec =
Ejemplo.
Hallar la ecuación de la recta tangente a y = x en
2
x=2
SOLUCIÓN:
La ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente es: y − y 0 = m(x − x0 ) .
El punto sería: x0 = 2 y y0 = f ( x0 ) = (2)2 = 4
La pendiente sería: m = f ´(x0 ) = f ´(2) ,
f ´(x) = lím
h →0
= lím
f ( x + h) − f ( x )
h
(x + h )2 − x 2
h→0
podemos encontrar primero la derivada en x :
h
x + 2 xh + h 2 − x 2
h→0
h
h(2 x + h )
= lím
h→0
h
= lím (2 x + h )
= lím
2
h→0
f ´(x) = 2 x
y luego evaluada en 2 resulta: f ´(2) = 2( 2) = 4
Empleando la forma alternativa tenemos un segundo método para encontrar la derivada:
57
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
f ( x) − f ( x0 )
x − x0
mtg = f ´(x0 ) = lím
x → x0
= lím
x → x0
= lím
x 2 − x0 2
x − x0
(x − x0 )(x + x0 )
x → x0
x − x0
= lím (x + x0 )
x → x0
= x0 + x0
f ´(x0 ) = 2 x0
En fin, la ecuación de la recta tangente sería: y − 4 = 4( x − 2)
Ejercicios propuestos 3.1
1
1.
Empleando la definición, determine la derivada de f ( x ) =
2.
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación
3.
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función con regla de correspondencia
4.
Encuentre las ecuaciones de las rectas que contienen al punto
3x + 2
(1,5) .
y = x 2 + 2x + 2
en el punto
f (x ) = 3 x 2 + 4 y que sea paralela a la recta 3 x + y + 2 = 0 .
(2,5) y que son tangentes a la curva definida
por la ecuación y = 4 x − x 2 .
5.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación y = x 2 .
Determine el punto de la trayectoria para que la partícula se desplace ahora por la tangente de la trayectoria en
ese punto y logre alcanzar el punto (4,15).
3.5 DIFERENCIABILIDAD
Se tratará ahora de especificar las condiciones para que la derivada
de una función en un punto exista, lo cual dará paso a decir que la
función será derivable o diferenciable en ese punto. La diferenciabilidad o
derivabilidad es equivalente para funciones de una variable real.
3.5.1 TEOREMA DE DERIVABILIDAD.
Si f es diferenciable en " x0 ", es decir f ´(x0 ) existe,
entonces f es continua en " x0 "
58
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Demostración.
Expresemos lo siguiente:
f ( x) = f ( x) − f ( x0 ) + f ( x0 )
Agrupando los dos primeros términos, dividiéndolo y multiplicarlo por (x − x0 ) tenemos:
f ( x) =
f ( x) − f ( x0 )
( x − x0 ) + f ( x0 )
x − x0
Ahora, tomando límite a todos los miembros de la ecuación, resulta:
f ( x) − f ( x0 )
lím ( x − x0 ) + lím f ( x0 )
x → x0
x → x0
x − x0
lím f ( x) = lím
x → x0
La expresión
lím
x → x0
x → x0
f ( x) − f ( x0 )
es igual f ´(x 0 ) , debido a que de hipótesis se dice que f es
x − x0
derivable en x 0 . Entonces:
cons tan te
678
f ( x) − f ( x0 )
lím f ( x) = lím
lím ( x − x0 ) + lím f ( x 0 )
x → x0
x → x0
x → x0
x → x0
x − x0
43 1
424
3
144
4244
4
3 142
0
f (x )
0
f ´( x0 )
= f ´(x0 )[0] + f ( x0 )
= 0 + f ( x0 )
lím f ( x) = f ( x 0 )
x → x0
Por tanto, la última expresión indica que f es continua en " x 0 ". L.Q.Q.D.
Analizando el teorema, se concluye que si una función es
discontinua en " x 0 " entonces no es diferenciable en " x 0 ".
También debe entenderse que no toda función continua es
diferenciable.
Ejemplo
Hallar
f ´(1)
para
f ( x) = x − 1
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa de la derivada:
f ´(1) = lím
x →1
= lím
x→1
= lím
f ( x) − f (1)
x −1
x −1 − 0
x −1
x −1
x→1 x − 1
El último límite se lo obtiene aplicando límites laterales, es decir:
−(x − 1)
x −1
2. lím
1. lím
= lím+ 1 = 1
= lím (− 1) = −1
+
−
x −1
x →1 x − 1 x →1
x →1
x →1−
59
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Como los límites laterales son diferentes, entonces f ´(1) = lím
x→1
x −1
x −1
no existe.
Observando la gráfica de y = x − 1
Notamos que se puedan trazar rectas tangentes de diferentes pendientes a la derecha y a la izquierda
de x = 1 , en este caso se dice que la gráfica de la función no es suave en x = 1 . Esta función aunque
es continua en x = 1 , sin embargo no es diferenciable en ese punto; por tanto la continuidad no
implica diferenciabilidad.
3.5.2 DERIVADAS LATERALES.
Por lo anterior, como la derivada es un límite, podemos definirla
unilateralmente.
3.5.2.1 Derivada por derecha
La derivada por derecha en " x0 " de una función f se
f ( x 0 + h) − f ( x 0 )
o por
h →0
h
f ( x) − f ( x0 )
la forma alternativa: f ´(x0 + ) = lím
x→ x
x − x0
define como:
+
f ´(x0 ) = lím
+
+
0
3.5.2.2 Derivada por izquierda.
La derivada por izquierda en " x0 " de una función f
f ( x 0 + h ) − f ( x0 )
h
f ( x) − f ( x0 )
por la forma alternativa: f ´(x0 − ) = lím
x→ x
x − x0
se define como: f ´(x0 − ) = lím
h →0
−
−
0
60
o
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto, para que f ´( x0 ) exista, se requiere que las derivadas
+
−
laterales existan y sean iguales. Es decir, si f ´(x 0 ) ≠ f ´(x 0 ) , se dice
que f no es derivable en " x 0 " y su gráfica no será suave en ese punto.
Ejemplo
⎧⎪2 x − 1; x < 2
2
⎩⎪ x − 1; x ≥ 2
Hallar f ´(2) para f ( x) = ⎨
SOLUCIÓN:
Primero veamos si que es continua en x = 2 .
(
)
Como lim (2 x − 1) = 3 y lim x 2 − 1 = 3 entonces f si es continua en x = 2 x→2−
x→2+
Segundo. Para hallar f ´(2) debemos hallar las derivadas laterales debido a que f tiene diferente
definición a la izquierda y la derecha de x = 2 .
f ´(2 − ) = lim−
x→2
f ´(2 + ) = lim+
(2 x − 1) − (2(2) − 1) =
(x
x→2
−
x−2
2
) (
)
lim−
x→2
2x − 4
2( x − 2 )
= lim−
=2
x − 2 x→2 x − 2
(x + 2)(x − 2) = 4
−1 − 2 −1
x2 − 4
= lim+
= lim+
x→2 x − 2
x→2
x−2
x−2
2
( ) entonces
Por tanto, Como f ´(2 ) ≠ f ´ 2
+
f ´(2) no existe
Veamos ahora, un ejemplo de una función que aunque es continua y
suave, en un punto, sin embargo no es diferenciable en ese punto.
Ejemplo
Sea f ( x ) = 3 x hallar f ´(0)
SOLUCIÓN:
Empleando la forma alternativa:
f ´(0) = lím
x →0
= lím
x →0
= lím
x →0
f ( x ) − f ( 0)
x−0
3
x −0
x
1
2
x 3
f ´(0) = ∞ (no existe )
Lo que ocurre es que la recta tangente, en
x = 0 , es vertical (pendiente infinita); observe la gráfica.
61
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por tanto, si una función es diferenciable en un punto
" x0 " ocurren tres cosas:
1. Es continua en ese punto
2. Es suave en ese punto
3. La recta tangente no es vertical en ese punto
Ejercicio Resuelto
⎧⎪mx + b ; x < 2
Sea: f ( x) = ⎨ 2
Determine "m" y "b" para que f sea diferenciable en todo su
⎪⎩ x
;x ≥ 2
dominio.
SOLUCIÓN:
Debemos considerar que para que la función sea diferenciable en todo su dominio tiene que ser
continua y en todo punto de su gráfica se debe poder trazar una única recta tangente que no sea
vertical. Observando la regla de correspondencia que define a f , notamos que debemos centrarnos en
dos cosas:
1. f debe ser continua en x = 2 , es decir:
( )
lím (mx + b ) = lím+ x 2
x →2−
x→2
2m + b = 4
2. f debe ser suave en x = 2 , es decir: f ´(2 + ) = f ´(2 − )
(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4
f ( x ) − f ( 2)
x2 − 4
= lím
= lím
+ x−2
x
−
2
x−2
x→2
x→2
x→2+
x→2+
(mx + b ) − (2m + b ) = lím mx + b − 2m − b = lím m(x − 2) = m
f ( x) − f (2)
= lím
f ´(2 − ) = lím
x−2
x−2
x−2
x→2−
x→2−
x→2−
x→2− x − 2
f ´(2+ ) = lím
+
Por tanto m = 4 y al reemplazar en la primera ecuación 2( 4) + b = 4 tenemos b = −4
62
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuesto 3.2
1.
Hallar
⎧⎪2 x + 1; x < −1
f ´(−1) para f ( x) = ⎨
⎪⎩ x 2 ; x ≥ −1
2.
Hallar
⎧⎪− x 2 + 10; x < 3
f ´(3) para f ( x) = ⎨
⎪⎩− 6 x + 17; x ≥ 3
3.
Hallar
⎧⎪2 x + 1 ; x < −2
f ´(−2) para f ( x) = ⎨ 2
⎪⎩ x − 7; x ≥ −2
4.
Sea la función f definida por f ( x) = ⎨
⎧⎪ x 2 + 2 x ; x ≤ 2
. Determine, si es posible, los valores de a y b
⎩⎪ax + b ; x > 2
para que f sea derivable en x = 2
5.
Sea la función f definida por
; x ≤1
⎧⎪3ax + b
f ( x) = ⎨ 2
Determine
⎪⎩ax − 3bx + 2 ; x > 1
los valores para " a " y
" b " para f que sea derivable en todo su dominio.
6.
Sea la función f definida por
⎧ax 2 + bx + c ; x ≤ 1
⎪
f ( x) = ⎨ 1
. Determine " a ", " b " y " c " para que
; x >1
⎪
⎩x
f ´(1) exista.
3.6 DERIVACIÓN
Ya se habrá notado que hallar la derivada de una función puede
presentarse complicado si se lo hace aplicando la definición. Para hacer no
tan engorroso este proceso se dispone de técnicas y reglas.
3.6.1 FORMULAS DE DERIVACIÓN.
Para ciertas funciones definidas de manera simple se pueden
emplear las formulas siguientes:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
D x ( k ) = 0 ; ∀k ∈ R
Dx ( x) = 1
Dx ( x n ) = n(x n−1 )
D x (e x ) = e x
Dx (a x ) = a x ln a
1
Dx (ln x) =
x
63
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
1
x ln a
D x (sen x) = cos x
Dx (log a x) =
D x (cos x) = − sen x
Dx (tg x) = sec 2 x
Dx (Co tg x) = − csc 2 x
D x (sec x ) = sec x tg x
D x (csc x) = − csc x cot gx
DEMOSTRACIONES:
Demostraciones de algunas de las formulas anotadas serían:
1. Dx (k ) = lím
0
k −k
= lím = 0
h→0 h
h
2. D x ( x ) = lím
x+h−x
h
= lím = 1
h →0 h
h
h→0
h →0
3.
Dx ( x n ) = lím
h →0
(x + h )n − x n
[x
= lím
n
+ nx n −1h +
h →0
h
= lím
nx
h →0
= lím
h →0
n −1
[
h/ nx
h+
n (n −1) n − 2 2
x h
2
n (n −1) n − 2 2
x h
2
]
+ ... + nxh n −1 + h n − x n
h
+ ... + nxh n −1 + h n
h
n −1
[
= lím nx n −1 +
h →0
n −1
( )
+
n (n −1) n − 2
x h + ... + nxh n − 2
2
+ hn−2
h/
n (n −1) n − 2
x h + ... + nxh n − 2
2
+ hn−2
]
]
Dx ( x n ) = n x
4.
(
)
(
)
e x+h − e x
e xeh − e x
e x eh − 1
eh − 1
= lím
= lím
= e x lím
= ex
h →0
h →0
h →0
h →0
h
h
h
h
Dx (e x ) = lím
6.
h⎞
⎛
⎛ x+h⎞
1
ln⎜
ln⎜1 + ⎟
⎟
h⎞ h
ln (x + h ) − ln x
x ⎠
x⎠
⎛
= lím ln⎜1 + ⎟
= lím ⎝
= lím ⎝
Dx (ln x) = lím
h →0
h→0
h →0
h→0 ⎝
h
h
h
x⎠
⎡
⎛ h⎞
= ln ⎢ lím ⎜1 + ⎟
⎢h →0⎝
x⎠
⎣
1
Dx (ln x) =
x
64
1
1
h
x
⎤x
1
⎥ = ln⎛⎜ e x ⎞⎟
⎜
⎟
⎥
⎝
⎠
⎦
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
8.
[sen x cosh + senh cos x] − sen x
sen( x + h) − sen x
= lím
h →0
h
h
sen x(cosh − 1) + senh cos x
sen x(cosh − 1)
senh cos x
= lím
= lím
+ lím
h →0
h →0
h →0
h
h
h
(cosh − 1)
senh
= sen x lím
+ cos x lím
= (sen x )(0) + (cos x )(1)
h →0
h →0 h
h
Dx (sen x) = cos x
Dx (sen x) = lím
h→0
Ejemplo 1
Si y = x 2 entonces y´= 2 x
Ejemplo 2
Si y = x = (x ) 2 entonces y´=
1
1
2
(x )2 −1 =
1
1
2 x
Obviamente las reglas de correspondencia de las funciones no
aparecen comúnmente en forma simple, por tanto habrá que considerar
reglas para estos casos.
3.6.2 REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean f y g funciones diferenciables y k una constante,
entonces:
1. D x (kf ( x)) = kf ´(x)
2. D x ( f ( x) + g ( x)) = f ´(x) + g´(x)
3. D x ( f ( x) − g ( x)) = f ´(x) − g´(x)
4. D x ( f ( x) g ( x)) = f ´(x) g ( x) + f ( x) g´(x)
⎛ f ( x) ⎞
⎟⎟ =
5. Dx ⎜⎜
g
(
x
)
⎠
⎝
f ´(x) g ( x) − f ( x) g´(x)
[g ( x)]2
65
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Demostración
La justificación de algunas de estas reglas sería:
1.
kf ( x + h) − kf ( x)
h
k [ f ( x + h) − f ( x )]
= lím
h →0
h
f ( x + h) − f ( x )
= k lím
h →0
h
= kf ´(x)
Dx (kf ( x)) = lím
h →0
2.
Dx ( f ( x) + g ( x)) = lím
[ f ( x + h) + g ( x + h)] − [ f ( x) + g ( x)]
h →0
h
h →0
h
[ f ( x + h) − f ( x)] + [g ( x + h) − g ( x)]
= lím
[ f ( x + h) − f ( x)] + lím [g ( x + h) − g ( x)]
= lím
h →0
h
= f ´(x) + g´(x)
h →0
h
Con las reglas anteriores ya podemos obtener derivadas de funciones
con reglas de correspondencias un tanto más complejas en su forma:
Ejemplo 1
Si y =
4
3
x
= 4x
− 13
( ) = 4⎛⎜⎝ −
entonces y´= 4 D x x
− 13
1
3
x
− 13 −1 ⎞
4 −4
⎟=− x 3
3
⎠
Ejemplo 2
Si y = 4 x −
2
+ 3 entonces
x
( )
(
)
⎛ 1
y´= D x 4 x − D x 2 x −1 + D x (3) = 4⎜⎜
⎝2 x
Ejemplo 3
⎞
⎟ + 2 x −2 + 0
⎟
⎠
[ ( )]
Si y = xe x entonces y´= [D x (x )]e x + x D x e x = 1e x + xe x = e x (1 + x )
Ejemplo 4
[ (
)](
)[ (
= (2 x + 0)(x + 1) + (x + 2 )(3x + 0)
) (
)]
y´= D x x 2 + 2 x 3 + 1 + x 2 + 2 D x x 3 + 1
(
)(
)
Si y = x 2 + 2 x 3 + 1 entonces
3
= 2 x 4 + 2 x + 3x 4 + 6 x 2
= 5x 4 + 6 x 2 + 2 x
66
2
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Para el caso del producto de tres funciones, la regla sería:
Dx [ f ( x) g ( x )h( x)] = f ´(x ) g ( x) h( x ) + f ( x ) g´( x) h( x) + f ( x) g ( x) h´(x )
¡Generalícela!
Ejemplo 5
Si y = e x senx ln x
entonces
[
]
y´= D x e x senx ln x + e x [D x senx] ln x + e x senx[D x ln x ]
⎛1⎞
= e x senx ln x + e x cos x ln x + e x senx⎜ ⎟
⎝ x⎠
Ejemplo 6
x2 + 2
Si y =
x3 +1
y´=
entonces
[D (x
x
2
)](
) (
)] = (2 x)(x + 1)− (x + 2)(3x )
(x + 1)
(x + 1)
2
3
=
)[ (
+ 2 x 3 + 1 − x 2 + 2 Dx x 3 +1
2 x 4 + 2 x − 3x 4 − 6 x 2
(x + 1)
3
2
=
3
2
3
2
2
− x 4 − 6x 2 + 2x
(x + 1)
3
2
Ejercicio Resuelto
Demuestre que las curvas y = 2 senx y y = 2 cos x se intersecan en ángulo recto en
cierto punto tal que 0 ≤ x ≤ π2
SOLUCIÓN:
La intersección se obtiene igualando
que x =
2 sen x = 2 cos x entonces tg x = 1 lo cual quiere decir
π
4
67
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Si las curvas se intersecan en ángulo recto quiere decir que las rectas tangentes en el punto de
intersección son perpendiculares, es decir m1 m 2 = −1 ,
Si y =
2 sen x entonces y´= 2 cos x que reemplazando tenemos:
⎛ 2⎞
⎟ =1
m1 = 2 cos π4 = 2 ⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Si y =
2 cos x entonces y´= − 2 sen x que remplazando tenemos:
⎛ 2⎞
⎟ = −1
m 2 = − 2 sen π4 = − 2 ⎜⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
Por tanto: m1 m 2 = (1)(−1) = −1 L.Q.Q.D.
Ejercicios Propuestos 3.3
1.
Demuestre las formulas de derivación que no fueron demostrada.
2.
Demuestre las reglas de derivación que no fueron demostradas.
3.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
(
)(
)
a) y = x3 + 2 x 2 + 1
b) y = (x − senx )(x + cos x )
c) y =
x2 +1
x senx
d)
y=
e)
y=
4.
Determine f ′(0 ), si f (x ) = x (x − 1)(x − 2 )...(x − 50 )
5.
Si f , g y h son funciones tales que h( x ) =
xe x
senx + 1
1 2 x
x e ln x
2
f ( x) g ( x)
, f (3) = 2 , g (3) = −2 , f ´(3) = −1 ,
3 f ( x) − 4 g ( x)
g´(3) = 2 . Determine h´(3) .
6.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f definida por f ( x) = 2 x 3 + 3 x 2 − 24 x y que
son paralelas a la recta 12 x − y + 7 .
7.
Una partícula se desplaza de izquierda a derecha siguiendo una trayectoria definida por la ecuación
y = 7 − x 2 . Un observador se encuentra el punto (4,0). Encuentre la distancia cuando la persona observa la
partícula por primera vez.
Para funciones compuestas disponemos de la regla de la cadena.
3.6.2.1 Regla de la Cadena
Sea y = f (u ) y u = g (x) . Si g es diferenciable en
" x " y f diferenciable en " u " entonces la función
compuesta ( f o g )(x ) = f ( g ( x )) es diferenciable en
"x" y
D x ( f ( g ( x) ) = f ´(g ( x ))[g´(x)] .
68
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
dy dy du
=
dx du dx
O lo que es lo mismo
Ejemplo 1
(
)
y = x 2 + 2 entonces haciendo u = g ( x) = x 2 + 2 tenemos y = f (u ) = u 20
dy
du
de donde
= 20u 19 y
= 2x .
du
dx
dy dy du
Por tanto
=
= (20u 19 )(2 x ) que al reemplazar " u " resulta
dx du dx
19
19
dy
= 20(x 2 + 2 ) (2 x ) = 40 x(x 2 + 2 )
dx
Si
20
(
)
El ejemplo anterior fue resuelto con un enfoque de cambio de
variable para observar la regla de cadena. Pero en la práctica esto no es
necesario, la regla de la cadena puede ser aplicada de manera rápida.
Ejemplo 2
(
) [ (
(
)
)][
]
Si y = sen x 3 − 3 x entonces y´= Du (senu )D x x 3 − 3x = cos x 3 − 3x 3x 2 − 3
1
424
3
u
Ejemplo 3
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
Si y = ⎢
⎥
2
⎢⎣ x − 1 ⎥⎦
144244
3
30
entonces
u
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
y´= 30⎢
⎥
2
⎣⎢ x − 1 ⎦⎥
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
= 30⎢
⎥
2
⎣⎢ x − 1 ⎦⎥
29
29
⎡ x 3 +3 x 2 + x ⎤
Dx ⎢
⎥
2
⎣⎢ x − 1 ⎦⎥
(
)(
) (
( )
)
⎡ 3 x 3 + 6 x + 1 x 2 − 1 − x 3 +3 x 2 + x (2 x ) ⎤
⎥
⎢
2
2
⎥
⎢
x
1
−
⎦
⎣
Para el caso de funciones de la forma y = f ( g (h( x) ) haciendo que
tenemos y = f ( g (v) ) y ahora haciendo que u = g (v ) tenemos
v = h(x )
dy dy du dv
y = f (u ) ; entonces
.
=
dx du dv dx
O más simplemente y´= [ f ´( g (h( x)))][g´(h( x)][h´(x)]
69
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejemplo 4
( )
Si y = cos 3 x
4
2
4
⎡
⎤
= ⎢cos {
3 x 2 ⎥ entonces:
⎢⎣
v ⎥
1424
3⎦
( )
u
[ ( )] D [cos(3x )]
= 4[cos(3x )] [− sen (3x )]D (3 x )
= 4[cos(3x )] [− sen (3x )][6 x ]
y´= 4 cos 3x 2
3
2 3
2
x
2
2
x
2 3
2
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos:
Ejercicio Resuelto 1
Si
f (2) = 4 , f ´(4) = 6 , f ´(2) = −2 hallar:
d
a)
b) ( f o f )´(2)
[ f ( x)]3 en x = 2
dx
SOLUCIÓN:
d
[ f ( x)]3 = 3[ f ( x)]2 f ´(x) que en x = 2 sería:
a)
dx
3[ f (2)]2 f ´(2) = 3(4)2 (− 2) = −96
48⎤
⎡ 67
b) ( f o f )´(2) = [ f ( f (2)]´= ⎢ f ´( f (2))⎥[ f ´(2)] = [ f ´(4)][ f ´(2)] = (6)(−2) = −12
⎢
⎥
⎣
⎦
Ejercicio Resuelto 2
Si H =
f og
y además: h(2) = −1; g (2) = 3; f (3) = 2; h′(2) = −2; f ′(3) = 5; g ′(2) = −3 ;
h
determine H ′(2 ) .
SOLUCIÓN:
Como H ( x) =
f og
entonces:
h
⎡ f ( g ( x)) ⎤ D x [ f ( g ( x))]h( x) − f ( g ( x))h´(x)
H ´(x) = D x ⎢
⎥=
[h( x)]2
⎣ h( x ) ⎦
[ f ´(g ( x))]g´(x)h( x) − f ( g ( x))h´(x)
=
[h(x)]2
que en x = 2 sería:
70
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
38 ⎤
⎡ 67
⎢ f ´( g (2))⎥ g´(2)h(2) − f ( g (2))h´(2)
⎢
⎥
⎣
⎦
H ´(2) =
[h(2)]2
[ f ´(3)](−3)(−1) − [ f (3)](−2)
=
(−1) 2
(5)(−3)(−1) − (2)(−2)
=
1
H ´(2) = 19
Ejercicio Resuelto 3
Demuestre que la derivada de una función par es una función impar
SOLUCIÓN:
Sea f una función par, entonces se cumple que f (− x) = f ( x) . Ahora tomando derivada a ambos
D x [ f (− x)] = D x [ f ( x)]
miembros de la igualdad tenemos:
[ f ´(− x)](− 1) =
f ´(x)
− f ´(− x) = f ´(x)
f ´(− x) = − f ´(x)
La última igualdad nos indica que f ´ es una función impar. L.Q.Q.D
Finalmente las formulas de derivadas para funciones compuestas
quedarían:
Sea
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
u = u (x) , entonces:
Dx (u n ) = n(u n −1 )u´
Dx (e u ) = e u u´
Dx (a u ) = a u (ln a ) u´
1
Dx (ln u ) = u´
u
1
D x (log a u ) =
u´
u ln a
D x (sen u ) = (cos u ) u´
D x (cos u ) = (− sen u )u´
Dx (tg u ) = (sec 2 u )u´
Dx (Co tg u ) = (− csc 2 u )u´
D x (sec u ) = (sec u tg u )u´
D x (csc u ) = (− csc u cot gu )u´
71
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicios Propuestos 3.4
1.
Calcular las derivadas de las funciones cuyas reglas de correspondencia son:
a)
b)
c)
2.
y=
e x − e−x
e +e
y=
x
d)
y = ln[ln(x + 1)]
−x
e) y =
x2 −1
x2 +1
⎛ senx ⎞
y=⎜
⎟
⎝ cos 2 x ⎠
1
1 ⎛⎜ x 2 ⎞⎟
ln
−
4 ⎜⎝ x 2 − 4 ⎟⎠ x 2 − 4
f) y =
x + x 3 x − cos x
g) y =
x sen x + x
3
Si V = { f / f es una función derivable en un int ervalo I } . Demuestre que:
∀f ∈ V [ f ( − x ) = − f ( x ) ⇒ f ' ( − x) = f ' ( x )] (La derivada de una función impar es una función par)
( f o g )′ (x ) , si f (u ) = e u
2
u = g (x ) = 4 1 + cos 2 (2 x )
3.
Hallar
4.
Sean f, g y h funciones diferenciales para todo x ∈ IR , tales que satisfacen las siguientes condiciones:
y
g (a ) = 2, g ′(a ) = −2, h(2) = 3, h′(2) = −1, f (3) = 3, f ′(3) = −5, f (a ) = a, f ′(a ) = −2 .
En x = a determine el valor de:
a) (g o f )´
d)
(f
o h o g )´
b) (g o h )´
c) (h o g )´
′
⎛ f oho g −ho g ⎞
⎟⎟
go f
⎝
⎠
e) ⎜⎜
5.
Sea f (0) = 0 y f ' (0) = 2 , encuentre la derivada de f ( f ( f ( f ( x )))) en x = 0 .
6.
Suponga que f es derivable y que existen 2 puntos x1 y x2 tales que f ( x1 ) = x2 y f ( x2 ) = x1 . Sea
g (x ) = f ( f ( f ( f (x )))) pruebe que g ' ( x1) = g ' ( x2 )
7.
Suponga que la función f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) para toda x , y . Pruebe que si f ´(0) existe, entonces
f ´(a ) existe y además f ´(a ) = f ( a ) f ´(0) .
8.
Pruebe que si un polinomio p (x ) es divisible entre (ax + b ) entonces p ' ( x ) es divisible entre (ax + b ) .
2
3.6.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
La derivada es una función por tanto se podría obtener también la
derivada de esta función y así sucesivamente. Es decir:
Sea y = f (x) una función " n " veces derivable,
entonces:
La primera derivada es:
y´= f ´(x) =
72
dy
f ( x + h) − f ( x )
= Dx y = lím
h→0
dx
h
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
La segunda derivada es:
Dx ( y´) = y´´= f ´´(x) =
d2y
f ´(x + h) − f ´(x)
= Dx2 y = lím
2
h→0
dx
h
La tercera derivada es:
Dx ( y´´) = y´´´= f ´´´(x) =
En fin, La
n − ésima
y n = f n ( x) =
d3y
f ´´(x + h) − f ´´(x)
= Dx3 y = lím
3
h
→
0
dx
h
derivada es:
dny
f n −1 ( x + h) − f n −1 ( x)
n
=
=
lím
D
y
x
h→0
dx n
h
Ejemplo 1
⎛
1 ⎞
⎟
⎝ 1 − 2x ⎠
Hallar D xn ⎜
SOLUCIÓN:
Aquí tenemos:
y=
1
−1
= (1 − 2 x ) .
1 − 2x
Obteniendo derivadas hasta poder generalizarla, resulta:
y´= −(1 − 2 x )−2 (− 2 ) = (1 − 2 x )−2 2 = 1! (1 − 2 x )−2 21
y´´= 2(− 2 )(1 − 2 x )−3 (− 2 ) = 2(1 − 2 x )−3 2 2 = (2! )(1 − 2 x )−3 2 2
y´´´= 2(− 3)(1 − 2 x )− 4 (− 2 )2 2 = (2 × 3)(1 − 2 x )− 4 2 3 = (3! )(1 − 2 x )− 4 2 3
y IV = (2 × 3)(−4)(1 − 2 x )−5 (−2)2 3 = (2 × 3 × 4)(1 − 2 x )−5 2 4 = (4!)(1 − 2 x )−5 2 4
Directamente la quinta derivada sería
y V = (5!)(1 − 2 x ) 2 5
Por tanto la "n-ésima" derivada sería: y n = (n!)(1 − 2 x )
−6
− (n +1)
2n
Ejemplo 2
( )
Demuestre que D xn x n = n!
SOLUCIÓN:
Como y = x n entonces:
73
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
y´= nx n −1
y´´= n(n − 1)x n − 2
y´´´= n(n − 1)(n − 2)x n −3
L
y n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)L (n − (n − 1))x n − n = n(n − 1)(n − 2 )(n − 3)L (1) = n!
Ejercicio Propuesto 3.5
1.
Calcular las derivadas de orden superior indicadas.
a.
b.
d 2 ⎡ x sen 2 (πx ) ⎤
⎢
⎥
dx 2 ⎢⎣ 1 + x ⎥⎦
d4
dx
c.
4
dn
dxn
5 ⎞
⎟
⎝4− x⎠
[cos (x )]
e. Dx
[xe ]
f.
2
x
30 ⎡ 1 +
d 35
dx35
x⎤
⎢1 − x ⎥
⎦
⎣
[xsenx]
d ⎡ d 2 ⎛ 1 ⎞⎤
⎢x
⎜
⎟⎥
dx ⎢ dx 2 ⎝ 1 + x ⎠⎥
⎣
⎦
2.
Determine
3.
Usando el símbolo factorial, encuentre una fórmula para:
(
D xn a n x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
4.
n⎛
d. Dx ⎜
)
Determine un polinomio P de grado 3 tal que P (1) = 1 , P´(1) = 3 , P´´(1) = 6 , P´´´(1) = 12 .
3.6.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA
Algunos lugares geométricos presentan su ecuación en forma
implícita F ( x, y ) = 0 . Suponga que no se pueda ponerla en forma explícita
y = f (x) , que no se pueda despejar y , pero que se desea hallar y´ .
Entonces considerando que F ( x, f ( x)) = 0 y tomando en cuenta la regla de
la cadena lograríamos lo deseado.
Ejemplo
Sea x + y = 1 hallar y´
SOLUCIÓN:
2
2
PRIMER MÉTODO.
Como es posible despejar y , tenemos y = ± 1 − x 2
(
y´= ± 12 1 − x 2
Entonces:
74
=−
)
− 12
x
± 1− x
2
(− 2 x )
=−
x
y
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
SEGUNDO MÉTODO.
Implícitamente consiste en observar la ecuación dada como x 2 + [ f ( x )] = 1 y tomar derivada a
2
(
)
Dx x 2 + [ f ( x)]2 = Dx (1)
ambos miembros de la igualdad:
2 x + 2 f ( x) f ´(x) = 0
que es lo mismo que: 2 x + 2 yy´= 0
despajando y´ resulta: y´= −
x
x
=−
y
± 1− x 2
Una dificultad puede ser que la ecuación dada no represente lugar
geométrico.
Ejemplo
Suponga que la ecuación fuese x 2 + y 2 = −1
Sin embargo obtener y´ sería de la misma forma que el ejemplo anterior.
Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.
Ejercicio Resuelto 1
Hallar y´ para 4 x 3 + 7 xy 2 = 2 y 3
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros y resolviendo tenemos:
(
) ( )
+ (7 y + 7 x 2 yy´) = 6 y y´
Dx 4 x 3 + 7 xy 2 = Dx 2 y 3
12 x 2
2
2
12 x 2 + 7 y 2 + 14 xyy´= 6 y 2 y´
Despejando y´ resulta: y´=
12 x 2 + 7 y 2
6 y 2 − 14 xy
Ejercicio Resuelto 2
( )
Hallar y´ para x + ln x 2 y + 3 y 2 = 2 x 2 − 1
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
Dx x + ln x 2 y + 3 y 2 = Dx 2 x 2 − 1
(
1+
1
x2 y
( )
)
(
[2 xy + x y´]+ 6 yy´= 4 x
)
2
1+
2 y´
+ + 6 yy´= 4 x
x y
Despejando y´ resulta:
y´=
4x − 1 −
6y +
2
x
1
y
75
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Ejercicio Resuelto 3
( )
Hallar y´ para cos xy 2 = y 2 + x x + y
SOLUCIÓN:
Obteniendo derivada a ambos miembros, tenemos:
( ( ))
(
Dx cos xy 2 = Dx y 2 + x x + y
( )[
]
sen (xy ) − 2 xyy´sen(xy ) = 2 yy´+
)
− sen xy 2 1 y 2 + x 2 yy´ = 2 yy´+1 x + y + x
− y2
2
2
[ (x + y )
− 12
1
2
(1 + y´)]
x
xy´
x+ y +
+
2 x+ y 2 x+ y
Despejando y´ resulta:
( )
− y 2 sen xy 2 − x + y −
y´=
2y +
x
2 x+ y
( )
x
+ 2 xy sen xy 2
2 x+ y
Ejercicio Resuelto 4
Determinar
la
ecuación
de
la
recta
x cos y = sen( x + y ) en P(0,0).
normal
a
la
curva
cuya
ecuación
es
SOLUCIÓN:
La recta normal es la perpendicular a la recta tangente, por tanto m normal = −
1
m tg
D x (x cos y ) = D x (sen (x + y ))
Ahora m tg = y´ (0,0 ) . Obteniendo y´ resulta:
1 cos y + x(− sen yy´) = cos( x + y )[1 + y´]
En la última expresión se puede reemplazar las coordenadas del punto, es decir: x = 0 y y = 0 .
cos 0 + 0(− sen 0 y´) = cos(0 + 0)[1 + y´]
Luego despejando y´ resulta : 1 + 0 = 1 + y´
.
y´= 0
Esto quiere decir que la recta tangente es horizontal y por tanto la recta normal será vertical con
1
=∞
0
1
y − 0 = − (x − 0 )
Y su ecuación será:
0
x=0
pendiente m normal = −
Ejercicio Resuelto 5
Sea x y − 2 y = 2 . Encuentre y' ' en (2,1).
SOLUCIÓN:
Primero se encuentra y ' :
2
3
(
)
D x x 2 y − 2 y 3 = D x (2)
2 xy + x y´−6 y 2 y´= 0
2
76
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
En ( 2,1) sería:
2(2)(1) + (2) 2 y´−6(1) 2 y´= 0
y´= 2
Ahora encontramos
y' ' :
(
)
D x 2 xy + x 2 y´−6 y 2 y´ = D x (0 )
(
)
2 y + 2 xy´+2 xy´+ x 2 y´´− 12 yy´ y´+6 y 2 y´´ = 0
2(1) + 2(2)(2) + 2(2)(2) + (2) 2 y´´−12(1)(2)(2) − 6(1) 2 y´´= 0
2 + 8 + 8 + 4 y´´−48 − 6 y´´= 0
En ( 2,1) sería:
y´´= 15
Ejercicios Propuestos 3.6
1.
2.
dy
para:
dx
Encontrar
a.
ln (xy ) x + y = 2
b.
sec 2 y + ctg (x − y ) = tg 2 (xy ) + ln xy 2
( )
c.
e xy + ln sec(x + y ) − tg (x + y ) = 0
d.
x 3 + y 3 =1
2
2
2
3
2
2
Demuestre que la rectas tangente a las curvas definidas por las ecuaciones y = 4x y 2x + 3 y = 14
en el punto
(1,2 ) son perpendiculares entre sí.
3.
3
3
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x + 3xy + y = 5 en el punto
4.
2
23
= 8 x 2 y 2 en el punto (1,−1)
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la grafica de x + y
5.
6.
(1,1)
)
(
[
]
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy − sen π (x + y ) + 1 = 2 x
2
en el punto (1,1)
3
3
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación x 2 + y 2 = 2 que es paralela a
la recta x + y + 6 = 0
7.
2 2
2
2
Determine las ecuaciones de la recta normal a la curva que tiene por ecuación x y = ( y + 1) (4 − y ) en
8.
Determine la ecuación de la recta normal a la curva definida por la ecuación x cos (2 y ) = 3 sen (x + y ) en el
9.
el punto (0,−2 ) .
punto (0,0 ) .
2
3
Determine todos los puntos de la función f que define la ecuación x + y = 2 xy donde la recta tangente
a f sea horizontal.
10. Encuentre y ' ' si
11. Calcula:
d2y
dx 2
x3 − 4 y 2 + 3 = 0
para
2
x
3
+y
2
3
=1
12. Para la función y = f (x ) dada en forma implícita por la ecuación
x − tg y + e
y − π4
= 2 determine
d2y
dx 2
( )
en el punto 2, π .
4
77
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.5 DERIVACIÓN PARAMÉTRICA
Las ecuaciones de ciertas trayectorias son dadas en la forma
⎧ x = x(t )
C:⎨
⎩ y = y (t )
dy
.
El objetivo será hallar directamente
dx
Primero conozcamos las ecuaciones de ciertas curvas.
Recta
Elipse
Circunferencia
Cicloide
Hipocicloide (astroide)
78
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.6.5.1 Teorema de la derivada de funciones definidas por
ecuaciones paramétricas.
Suponga que x = x(t ) y y = y (t ) son funciones
continuamente diferenciables, y que x´(t ) ≠ 0 para
cualquier " t " de cierto intervalo. Entonces las
ecuaciones paramétricas definen a " y " como una
función diferenciable de " x " y su derivada es:
dy
dy dy dt
=
= dt
dx
dx dt dx
dt
Ejemplo 1
Sea la circunferencia con ecuación cartesiana x + y = 1 , la derivada también puede ser hallada
2
2
dy
⎧ x = cos t
x
cos t
dy
= dt =
=−
partiendo de su ecuación paramétrica C : ⎨
, es decir:
dx
t
y
−
sen
dx
y
=
sen
t
⎩
dt
Esta manera representaría un tercer método para hallar la derivada, tal como se puede observar.
Ejemplo 2
⎧⎪ x = e t cos t
Sea ⎨
⎪⎩ y = e sent
SOLUCIÓN:
t
hallar
dy
dx
dy
dy
et sent + et cos t sent + cos t
= dt = t
=
dx
dx
e cos t − et sent cos t − sent
dt
Para hallar derivadas de orden superior, observe que la primera
derivada es función de " t ", es decir que
dy
= y´(t )
dx
; por tanto:
79
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Segunda derivada:
d2y
dx 2
d
[y´(t )] = d [y´(t )] dt =
=
dt dx
dx
d [ y´´(t )] dt
d
=
Tercera Derivada: 3 = [ y´´(t )] =
dt
dx
dx
dx
d3y
d [ y´(t )]
dt
= y´´(t )
dx
dt
d [ y´´(t )]
dt
= y´´´(t )
dx
dt
Y así sucesivamente.
Ejemplo 3
Calcular
dny
dx n
⎧⎪ x = ln t
para: ⎨
⎪⎩ y = t m ; m ∈ R
SOLUCIÓN:
Hallando las primeras derivadas, suficientes hasta poder generalizar, tenemos:
dy
dy
mt m −1 mt mt −1
= dt =
=
= mt m
Primera derivada:
dx
1
dx
t −1
dt
t
d [ y´(t )]
d y
m 2 t m −1
= dt
=
= m 2t m
Segunda derivada:
−1
2
dx
dx
t
dt
d [ y´´(t )]
d3y
m 3 t m −1
dt
=
=
= m 3t m
Tercera derivada:
−1
3
dx
t
dx
dt
2
Directamente, la cuarta derivada sería:
d4y
dx
n
Por tanto:
d y
dx
n
4
= m 4t m
= mnt m
Ejercicios Propuestos 3.7
1. Hallar
dy
para:
dx
a.
⎧ x = a (cos t + tsent )
⎨
⎩ y = a (sent − t cos t )
b.
⎧
2
⎪⎪ x = t + 1
t −1
⎨
⎪y = 2
⎪⎩
t +1
⎧ x = a(t − sen t )
π
en t =
(
)
y
=
a
1
−
cos
t
2
⎩
2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
80
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎧⎪ x = 2t − t 2
3. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2)
⎧ x = 4 sen 2t − 3 cos 3t
en t = 0
⎩ y = 3 sen t + 4 cos 2t
4. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva ⎨
⎧⎪ x = t 2
5. Sea C la curva con ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 2t 3 + 4t − 1
; t ∈ IR . Encontrar las ecuaciones de las
rectas tangentes a C y que pasen por el origen.
6. Calcule
d2y
dx
2
y
d3y
dx
3
⎧y = t
⎩ x = ln(cos t )
para: ⎨
3.6.6 DERIVACIÓN POLAR
Si una curva tiene sus ecuaciones en coordenadas polares,
para encontrar la derivada procedemos del mismo modo que para
ecuaciones paramétricas.
⎧ x = r cos( θ )
⎩ y = r sen (θ )
⎧ x = f (θ ) cos( θ )
Al reemplazar queda ⎨
⎩ y = f (θ ) sen (θ )
Si tenemos r = f (θ ) y como ⎨
dy
dy
f ´(θ ) senθ + f (θ ) cosθ
= dθ =
Entonces
dx dx
f ´(θ ) cosθ − f (θ ) senθ
dθ
Para encontrar la ecuación de la recta tangente:
Considere que la ecuación cartesiana de una recta, definida
por un punto y su pendiente, es de la forma:
y − y 0 = m ( x − x0 )
Entonces:
81
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
x0 = f (θ 0 )cosθ 0
y0 = f (θ 0 )senθ 0
dy
dy
= dθ
m=
dx dx
dθ
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
θ =θ 0
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta tangente a r = f ( θ ) = 4 sen 3θ en θ 0 =
SOLUCIÓN:
Observa la gráfica:
x0 = f ( θ 0 ) cos( θ 0 ) = f ( π ) cos( π )
En este caso
[
]
4
4
2
=4
2
y 0 = f ( θ 0 ) sen( θ 0 ) = f ( π ) sen( π )
4
= 4 sen 3 π cos π
y
4
2
2
[
x0 = 2
y0 = 2
f ´(θ) = 12 cos 3θ
Entonces:
m=
=
f ´(θ 0 ) senθ 0 + f (θ 0 ) cosθ 0
f ´(θ 0 ) cosθ 0 − f (θ 0 ) senθ 0
[12 cos 3 π4 ]sen π4 + [4sen3 π4 ]cos π4
[12 cos 3 π4 ]cos π4 − [4sen3 π4 ]sen π4
⎡
2⎤
⎢ − 12 2 ⎥
⎣
⎦
=
⎡
2⎤
⎢ − 12 2 ⎥
⎣
⎦
−6+2
=
−6−2
1
m=
2
82
⎤
2 ⎡
+ ⎢4 2 ⎥ 2
2
⎣ 2 ⎦ 2
2 ⎡
2⎤ 2
− ⎢4
⎥ 2
2
2
⎣
⎦
]
4
4
= 4 sen 3 π sen π
2
=4
2
Para la pendiente, tenemos:
π
4
2
2
4
4
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente estaría dada por:
y − y 0 = m(x − x0 )
y−2=
1
2
( x − 2)
Ejercicios propuestos 3.8
en θ 0 = π 4
r = 4sen 3θ en θ 0 = π
6
1.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r = − 4 cos 3θ
2.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
3.
Hallar la ecuación de la recta tangente a r =
4.
Hallar la ecuación de la recta tangente a
en θ 0 = π 6
r = 3 − 4 sen 3θ en θ 0 = π
3
2 sen 3θ
3.6.7 DERIVADAS DE FUNCIONES INVERSAS
3.6.7.1 Teorema de existencia de la función inversa.
Si f es una función estrictamente monótona en su
dominio entonces f tiene una inversa.
El teorema nos indica que es suficiente definir que una función es
estrictamente creciente o estrictamente decreciente para saber que es una
función que tiene inversa. Ahora nos vamos a preocupar de la derivada de
la función inversa.
3.6.7.2 Teorema de la derivada de la función inversa.
Sea f
una función derivable y estrictamente
monótona en un intervalo I . Si f ´(x) ≠ 0 en cierto
" x " en I , entonces f −1 es derivable en el punto
correspondiente " y ", y
1
⎡ d −1 ⎤
f
y
=
(
)
⎢⎣ dx ⎥⎦
f ´(x)
Lo que en esencia nos manifiesta el teorema es que la pendiente de
−1
la recta tangente a f ( m1 ) y la pendiente de la recta tangente a f ( m2 ) se
relacionan de la forma
m2 =
1
m1
. Y que se puede encontrar la derivada de
83
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
la inversa f
−1
,
trabajando con f en el punto correspondiente. Es decir,
sin necesidad de conocer la regla de correspondencia de f
−1
.
Ejemplo 1
⎡d
5
Sea f ( x ) = x + 2 x + 1 una función estrictamente monótona. Hallar ⎢
f
⎣ dx
SOLUCIÓN:
En este caso "4" es rango para
⎡d
reemplazarlo en: ⎢
f
⎣ dx
f
−1 ⎤
por tanto habrá que encontrar el correspondiente
⎥ (4 )
⎦
x
para
−1 ⎤
1
⎥ (4) = f ´(x )
⎦
5
Entonces, teniendo 4 = x + 2 x + 1 por inspección deducimos que x = 1 la satisface.
⎡d
f
Por lo tanto, ⎢
⎣ dx
−1 ⎤
1
1
1
=
⎥ (4) = f ´(1) =
4
⎦
5(1) + 2 7
No olvide que este resultado significa que la recta tangente a
m = 7 y por tanto su ecuación sería: y − 4 = 7(x − 1)
En cambio, la recta tangente a
ecuación: y − 1 =
f
−1
f
en el punto (1,4 ) tiene pendiente
en el punto correspondiente (4,1) tiene pendiente m =
1
y por
7
1
(x − 4 )
7
Ejemplo 2
Obtenga la derivada para la función inversa de f ( x) = e empleando el teorema de
la derivada de la función inversa.
SOLUCIÓN:
x
84
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
⎡d
De acuerdo al Teorema de la Derivada de la Función Inversa ⎢
f
⎣ dx
Como f ( x) = y = e
x
tenemos que f ´(x) = e
x
y f ´( y ) = e
−1 ⎤
1
⎥ (x ) = f ´( y )
⎦
y
y además al cambiar las variable
resulta x = e , lo cual nos permite decir que: f ´( y ) = x
y
⎡d
f
⎣ dx
Bien, reemplazando ⎢
−1 ⎤
1
1
⎥ ( x) = f ´( y ) = x
⎦
3.6.7.3 Derivadas de las Funciones Trigonométricas
Inversas
1
D x (arcsen x ) =
; −1 < x < 1
1− x2
1
D x (arccos x ) = −
; −1 < x < 1
1− x2
1
D x (arctg x ) =
1+ x2
1
D x (arc sec x ) =
; x >1
x x2 −1
Demostración:
Demostraremos la primera.
Planteemos el problema de la siguiente manera:
Sea f ( x ) = y = sen x hallar D x f
[
−1
]
( x) = D x [arcsen x ]
SOLUCIÓN:
Aplicando el teorema de la Derivada de la función inversa tenemos:
[
Dx f
−1
]
( x) = D x [arcsenx] =
1
f ´( y )
Entonces, f ´( y ) = cos y . Ahora habrá que encontrar cos y , sabiendo que x = seny (cambiando la
variable en la función dada).
Por trigonometría, decir que seny =
Por lo tanto, D x [arcsenx] =
x
significa que cos y = 1 − x 2 (observe la figura)
1
1
1
=
L.Q.Q.D.
cos y
1 − x2
85
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Las formulas anteriores pueden ser generalizadas para una función
u = u ( x)
D x (arcsen u ) =
1
D x (arccos u ) = −
1− u2
1
u´ ;−1 < u < 1
u´ ;−1 < u < 1
1− u2
D x (arctg u ) =
1
u´
1+ u2
1
D x (arc sec u ) =
u´ ; u > 1
u u2 −1
Ejemplo
⎛ y⎞
Hallar y´ para arc tg⎜ ⎟ = ln
⎝x⎠
x2 + y2
SOLUCIÓN:
Derivando implícitamente, tenemos:
[ (
)]
(
⎡
⎛ y ⎞⎤
Dx ⎢arc tg ⎜ ⎟⎥ = Dx 1 ln x 2 + y 2
2
⎝ x ⎠⎦
⎣
1
1
⎛ y⎞ 1
D ⎜ ⎟=
Dx x 2 + y 2
2 x⎝ x ⎠ 2 2
+
x
y2
y⎞
⎛
1+ ⎜ ⎟
⎝x⎠
1 ⎡ y´x − y (1) ⎤
1
[2 x + 2 yy´]
⎢
⎥=
2
2
2
y2 ⎣
x
⎦ 2x +y
1+
)
(
x2
)
⎡ xy´− y ⎤ 2/ (x + yy´)
1
⎢
⎥=
x 2 + y 2 ⎣ x 2 ⎦ 2/ x 2 + y 2
(
x
)
2
x 2 (xy´− y )
x + yy´
=
x2 x2 + y2
x2 + y2
xy´− y = x + yy´
xy´− yy´= x + y
(
)
y´=
x+ y
x− y
Ejercicios Propuestos 3.9
86
1.
⎛ d −1 ⎞
Si f (x ) = x 7 + 3 x 3 + 2 hallar ⎜
f ⎟(6 )
2.
Si f (x ) = x 2 − 3 x + 1 para x > 3
3.
⎛ dg ⎞ π
, si g es la función inversa de
Hallar ⎜
⎟
⎝ dx ⎠ 4
⎝ dx
()
2
⎠
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(3) .
⎝ dx
⎠
; hallar ⎜
f tal que: f (x ) = ln x + arc tg x
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
4.
Si f es una función inversible y diferenciable. Si en el punto ( 2,4) ∈ f , la recta tangente es paralela a la
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(4 ) .
⎝ dx
⎠
recta x − 3 y + 2 = 0 determine el valor de ⎜
5.
6.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la inversa de la función f ( x ) = x 3 + 2 x − 3 en el punto
(0, f
−1
( 0)
)
Determine la ecuación de la recta tangente a la función
y = f −1( x) en x = −2 donde
f ( x) = 3 x3 + 2 x + 3, x ∈ IR
7.
La ecuación de la recta normal a la inversa de f en x = 2a si se conoce que f ´(a ) = f ( a ) = 2a .
8.
Hallar
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(0) conociendo que la ecuación
⎜
⎝ dx
⎠
cos(xy ) + x − 3 y = 2 define una función
invertible ( y = f (x ) ) en un intervalo que contiene el punto x = 1 y f (1) = 0
9.
Calcular
dy
, para :
dx
a.
⎤
⎡
y = xarcsenx − ln ⎢ x + x 2 − 1 ⎥
⎦
⎣
⎛ 4senx ⎞
c. y = arctg⎜
⎟
⎝ 3 + 5 cos x ⎠
b.
⎛x⎞
y = xarctg⎜ ⎟ − ln x 2 + 4
⎝2⎠
d.
(
)
(
3
y = e arctg x + senx
)
3.6.8 DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Cuando las reglas de correspondencia de los lugares geométricos son
un tanto complicadas o cuando son funciones potenciales de la forma
y = f ( x) g ( x ) , lo mejor será aplicar logaritmo y derivar implícitamente
Ejemplo 1
Hallar
dy
para y =
dx
x 2 + 2 3 1 + arctg x
4
1 + ex
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
⎡ x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎤
⎥
ln[ y ] = ln ⎢
4
x
⎢
⎥
1
+
e
⎣
⎦
(
)
(
ln y = 12 ln x 2 + 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x
)
Ahora derivando implícitamente, resulta:
87
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Dx (ln y ) = Dx
( ln(x
1
2
2
)
(
))
(e )
+ 2 + 13 ln (1 + arctg x ) − 14 ln 1 + e x
1
1 1
(2 x ) + 1 1 ⎛⎜⎜ 1 2 ⎞⎟⎟ − 1 1 x
y´=
2
2 x +2
3 1 + arctg x ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e
y
x
( )
⎡1 1
⎤
(2 x ) + 1 1 ⎛⎜⎜ 1 2 ⎞⎟⎟ − 1 1 x e x ⎥
y´= y ⎢ 2
3 1 + arctg x ⎝ 1 + x ⎠ 4 1 + e
⎣2 x + 2
⎦
( )
⎤
x 2 + 2 3 1 + arctg x ⎡ 1 1
(2 x ) + 1 1 ⎛⎜⎜ 1 2 ⎞⎟⎟ − 1 1 x e x ⎥
⎢ 2
4
x
+
x
2
3
1
arctg
4
+
+
+
x
e
x
2
1
1
⎠
⎝
⎣
⎦
1+ e
y´=
Ejemplo 2
Hallar
dy
para y = x x
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
ln y = ln x x
ln y = x ln x
Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx (ln y ) = Dx (x ln x )
1
⎛1⎞
y´= (1) ln x + x⎜ ⎟
y
⎝x⎠
y´= y[ln x + 1]
y´= x x [ln x + 1]
Ejemplo 3
Hallar
dy
para y = [sen 2 x ]arctg x
dx
SOLUCIÓN:
Primero, aplicando logaritmo, tenemos:
(
)
ln y = ln [sen 2 x ]arctg x
ln y = arctg x ln (sen 2 x )
Ahora derivando implícitamente, resulta:
Dx ln y = Dx [arctg x ln (sen 2 x )]
1
1
⎡ 1
y´=
(cos 2 x )(2)⎤⎥
ln (sen 2 x ) + arctg x ⎢
2
y
x
sen
2
1+ x
⎣
⎦
⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤
+
y´= y ⎢
⎥
sen 2 x
⎣ 1 + x2
⎦
arctg x ⎡ ln (sen 2 x ) 2 arctg x cos 2 x ⎤
y´= [sen 2 x ]
+
⎢
⎥
2
sen 2 x
⎣ 1+ x
⎦
Ejemplo 4
Hallar
dy
dx
para
SOLUCIÓN:
y = xx
x
Ahora, hay que aplicar dos veces logaritmo.
88
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Primero, aplicando logaritmo tenemos:
( )
ln y = ln x x
x
ln y = x x ln x
Luego, volvemos a aplicar logaritmo:
(
ln(ln y ) = ln x x ln x
)
ln(ln y ) = ln x x + ln(ln x)
ln(ln y ) = x ln x + ln(ln x)
Y ahora sí, derivamos implícitamente:
D x [ln(ln y )] = D x [x ln x + ln(ln x)]
1 1
1
1 1
y´= (1) ln x + x +
x ln x x
ln y y
1 ⎤
⎡
y´= y ln y ⎢ln x + 1 +
x ln x ⎥⎦
⎣
x
x ⎡
1 ⎤
y´= x x ln x x ⎢ln x + 1 +
x
x ⎥⎦
ln
⎣
x
1 ⎤
⎡
y´= x x x x ln x ⎢ln x + 1 +
x ln x ⎥⎦
⎣
Ejercicios Propuestos 3.10
1. Calcular
a.
b.
c.
y=
dy
, para :
dx
sec 5 x
2.
tgx + 1
e.
y = xnnx
f.
⎡ arcsen sen 2 x ⎤
y=⎢
⎥
2
⎢⎣ arccos cos x ⎥⎦
g.
y = arcsen 1 + e 2 x
csc x 3 − 4
4
y = x 3 cos 4 x
3
1− x2
(4x − x )
3 5
x −1
y=
3
d.
3
2
(x + 2) (x + 3)
2
y = x3
arcsen(e x )
3
(
(
)
)
arctg 2 x
))
sec x
i.
y = (ln(sen(3x)))arctg(cos(3x))
(x + y ) y = x 2 + y 2
j.
y ( x) = 1 + x 2
h.
x
(
(
(
)x
( x )ln(x+1) en el
Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y = 1 + e
punto (0,1)
y
x
3. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación. x + y = 2 en el punto (1,1) .
4. Determine
d2y
dx 2
(1,2) , si existe, para
x y + xy = 3
89
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7
FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
Existen funciones especiales que se definen a partir de la función
exponencial.
3.7.1 FUNCIÓN SENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es
Por tanto su grafica sería:
e x − e− x
y = f ( x) = senhx =
2
3.7.2 FUNCIÓN COSENOHIPERBÓLICO
Su regla de correspondencia es:
Por tanto su grafica sería:
90
e x + e −x
y = f (x) = cosh x =
2
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
3.7.3 FUNCIÓN TANGENTEHIPERBÓLICA
Su regla de correspondencia es:
senhx e x − e − x
y = f ( x) = tghx =
=
cosh x e x + e − x
Se puede demostrar que
cosh 2 x − senh 2 x = 1
3.7.3 DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS.
D x (senh x ) = cosh x
D x (cosh x ) = senh x
D x (tgh x ) = sec h 2 x
D x (c tgh x ) = − csc h 2 x
D x (sec hx ) = − sec hx tgh x
D x (csc hx ) = − csc hxc tgh x
¡Demuéstrelas!
91
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
Misceláneos
1.
Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique formalmente su respuesta.
a)
⎛ d( f o g)⎞
Si f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ⎜
⎟(2) = 4
⎝ dx ⎠
b)
La función f ( x ) = sen x no es derivable en x = 0
c)
Si
d)
3
La ecuación de la recta tangente a la curva y = x en el punto (1,1) es y − 1 = 3(x − 1) .
e)
f y g son derivables en x = c y f ´(c) = g (c) = 0 y h( x) = f ( x) g ( x) entonces
h´(c ) = 0 .
La expresión lim
x→
sen x − 1
x− π
π
2
es la derivada de f ( x ) = sen x cuando x = π .
2
2
f)
3
La función f ( x) = 6 x + 5 x − 3 no tiene rectas tangentes con pendiente 4.
g)
Si y ( x) = x
h)
Si g (x) = f e
i)
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b ] y f (a ) = f (b ) entonces en algún punto
x
1⎞
⎛
entonces y´(x ) = x x x x ⎜ ln x + ln 2 x + ⎟
xx
⎝
x⎠
( f ( x) ) tal que f (0) = ln 2 , f ´(0) = −2 y f ´(2) = 3 entonces g´(0) = −12
del intervalo abierto (a, b ) , la función f tiene una recta tangente que es paralela al eje x .
j)
1
⎛ d −1 ⎞
f ⎟( x ) =
Si f es una función invertible entonces ⎜
.
dx
f
´(
x)
⎝
⎠
k)
Si
f ,
g
y
h
son funciones tales que
( f o g o h)´(2) = 4 ,
g (1) = g´(1) = −1 y
h( 2) = h´(2) = 1 entonces f ´(−1) = 0
l)
Si
f
es una función inversible y derivable tal que
f ´(1) = 4 y
f (1) = −2 entonces
⎛ d −1 ⎞
f ⎟(−2) = 1 .
⎜
⎝ dx
⎠
m) Si h ( x ) = f (1 + f (1 + f ( x )) ) , f (1) = 1 , f ( 2) = −1 , f ´(1) = 5 , f ´(2) = −2 y f ´(0) = 3
entonces h´(1) = −30
⎧2 x − 1; x ≥ 1
⎪
n) La función de variable real f con regla de correspondencia f ( x) = ⎨ x ; 0 ≤ x < 1 es derivable
⎪ 3x ; x < 0
⎩
en todo su dominio.
;x ≤ 0
⎧ g ( x)
⎪⎪ 2
o) Existen funciones g (x ) y h (x ) tales que la función f ( x) = ⎨3 x − 5 x + 4 ;0 < x < 1 es
⎪ h( x )
;x ≥1
⎪⎩
derivable en todo R .
92
f ( x) = x 2 + ax + b y g ( x) = x3 + cx . Entonces no existen valores
a, b, c ∈ IR , tales que ellas posean una recta tangente común en el punto ( 2,2) .
p)
Si tenemos las curvas
q)
Si la ecuación x
y
= y x define una función y = f (x ) entonces la ecuación de la recta tangente a f
en el punto (1,1) es y = x − 1 .
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
r)
Si g es la función inversa de f ( x ) = 2 x + ln x entonces g´(2) = 2 .
5
s)
Si f es una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨
⎪ 2
;x ≤1
⎧⎪ 3x
⎩x + 2 ; x > 1
entonces f ´(1) existe.
f ´(2) = g´(2) = g ( 2) = 2 entonces ( f o g )´(2) = 4 .
t)
u)
Si f (c ) = g (c ) = 0 y h( x ) = f ( x ) g ( x ) entonces h´(c) = 0
v)
Si
C es
x
2
y
+
a2
2
b2
un
lugar
geométrico
en
el
plano
cuyos
puntos
satisfacen
la
ecuación:
= 1 ; a, b ∈ R − {0} , entonces la recta tangente a C en cualquier punto P(x0 , y0 ) ∈ C ,
x0 y
tiene por ecuación
a2
y y
+ 0 =1
b2
w) Si f y g son funciones de R en R tales que f ´= g´ entonces f = g
2.
dy
para
dx
Encuentre
a.
x 2 y 2 + ecos(x + y ) = x cos y
b.
ln x
y ( x) = x 2 + 1
c.
y ( x) = sen ln 2 cos x + e3x
( (
d.
x
y arctg⎛⎜ 1 ⎞⎟ = 1 −
y
⎝ ⎠
y2
e.
y ( x) = x
ex
f.
y ( x) = x cos x + x
g.
⎛
sen x
⎜
⎛
⎞ ⎛ ⎞
y ( x) = arctg⎜ 7 ln⎜ x 4 + 2 ⎟ + ⎜ x 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
⎜
⎝
3.
2
)
(
Hallar
2
+e
)
xx
[
⎞ x sec⎛⎜ x3 ⎞⎟
⎟
⎝ ⎠
⎟.
⎟ 1 + (cot gx )2
⎠
2 + 3x
2 − 3x
h.
y ( x) = ln
i.
y (x) =
j.
y (x) = (sen3 x )arctg (x
k.
2
y ( x) = arcsen(ln x ) + earctg x
l.
ln (x + y ) = arctg⎛⎜ x ⎞⎟
⎝ y⎠
m.
y ( x) = e tg x tg e x
n.
(x + y ) y = x 2
x2 + 2
4
3 1 + arctg x
1 + ex
2
)
( )
]
d
[ f ( x)]2 + 1
dx
⎧ 4
⎛ 1 ⎞
⎪ x sen ⎜⎝ x 4 ⎟⎠
⎪
4. Determine los valores para " a ", " b " y " c " de modo que la función f ( x ) = ⎨ ax + b
⎪
2
⎪ cx + d
⎩
Sea
continua
[ f ´(−2)].[ f (
5.
en
x=0
)]− f ´(π + 1)
y
derivable
en
;0 ≤ x ≤ 1
;x > 1
x = 1 . Además determine, de ser posible,
⎧ x = 2 sec t
⎩ y = 2tant
Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
en t = −
6.
1
2
;x < 0
π
6
2
Si f ´(x) = x3e x , f (1) = 0 y g ( x) =
(x + 1)2 + 3
determine el valor de (g o f )´(1) .
93
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
7.
Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = cos t
en el punto (0,0) .
⎨
⎩ y = sen t cos t
8.
Determine la ecuación de la recta tangente a la función f en x = 1 donde f , g y h son funciones
(
)
2
diferenciables en todo IR . f tiene como regla de correspondencia a f ( x) = h x g ( x) y se conoce que
g (1) = 2 , g´(1) = −2 , h´(2) = −3 y h ( 2) = −1
9.
[ ]
Determine los puntos del intervalo [−1,2] donde la función f (x ) = x + x − 1 sea derivable.
1
⎛ d −1 ⎞
. Considere que
f ⎟(1) = 2
k + 5k
⎝ dx
⎠
10. Determine los valores reales que puede tomar " k " para que ⎜
f ( 4) = 1 y f ´(x) = − x 2 + 10 x .
⎧ x = arccos t
, t ∈ (−1,1) determine
⎩ y = arcsen t − t
11. Para la función y = f (x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
d3y
dx3
.
⎧⎪ x = 1 + t 2
d3y
, t > 0 determine
en el
dx3
⎩⎪ y = t ln t
12. Para la función y = f (x ) cuyas ecuaciones paramétricas son ⎨
punto ( 2,0)
2
2
13. Determine a, b y c conociendo que las curvas y = x + ax + b y y = cx − x tienen una recta tangente
común en el punto (1,0) .
(
)
y
14. La ecuación de la recta tangente a la curva cuya ecuación es ln x 2 − y − tg = xy en el punto (1,0) .
x
15. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva C en el punto (1, 2) . Donde C está definida por las
⎧x =
⎪
ecuaciones paramétricas ⎨
⎪y =
⎩
16. Hallar
17. Hallar
2t 2
t +1 ,
t ∈ IR − {−1,0}
3−t
t
d2y
⎧⎪ x = et cos t
dx
⎪⎩ y = et sen t
para ⎨
2
, t ∈ IR
dy
2
en el punto (0, π ) donde x e y satisfacen la ecuación xy + sen (x + y ) − x = 0 .
dx
18. Sea y = f (x ) función tal que h = f
−1
. Sea y ≥ 0 si h( y ) =
y
2
−
calcular f ´(1)
y +1 y + 2
19. Determine la ecuación de la recta tangente y normal a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
3
3
⎧⎪ x = a cos3 t
⎛ ⎛
⎛
⎞ ⎞
2⎞
, a⎜ 2 ⎟ ⎟ .
; t ∈ [0,2π] ; a > 0 en el punto ⎜ − a⎜
⎟
⎨
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟
3
⎪
⎩ y = a sen t
⎝
⎠
20. Determine los valores de a, b, c para que las funciones f y f ´ sean continuas en todo su dominio; donde f
⎧⎪sen x + a ; x ≥ 0
.
⎪⎩ be x + c ; x < 0
es una función tal que f ( x ) = ⎨
21. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧ x = (1 + cos t )cos t
en t = π .
⎨
2
(
)
y
=
1
+
cos
t
sen
t
⎩
94
Cap. 3 La derivada
Moisés Villena Muñoz
( 2 )+ 3x2 = 4 ; en el
22. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación y + cos xy
punto (1,0) .
23. Hallar le ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecuación xy + ln y = 1 ; en el punto (1,1) .
⎧⎪ x = 2t − t 2
24. Determine la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas ⎨
⎪⎩ y = 3t − t 3
en el punto (1,2 ) .
25. Demuestre que la derivada de F ( x ) = sen x[ f (cos x)]
26. Determine el valor de k
es una función Par.
de manera que la recta definida por 3 x − y + k = 0 sea tangente a la parábola
definida por y = 2 x − 5 x + 1 .
2
27. Hallar
d 50 ⎡1 − x ⎤
⎢
⎥
dx50 ⎣1 + x ⎦
28. Determine
la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas
⎧⎪ x = e 2t − 1
cuando t = 0
⎨
⎪⎩ y = e − 2t + 2
29. Determine
la ecuación de la recta tangente a la función
f cuya regla de correspondencia es
f ( x ) = x − 6 x + 6 , y además dicha recta es paralela a la recta que contiene al origen y al vértice de la
2
parábola.
30. Si f
es una función de R en R inversible y con regla de correspondencia f ( x ) = x 3 + 3 x − 10
⎡ d −1 ⎤
entonces determine ⎢
f ⎥ (4 )
⎣ dx
⎦
95