OPERADOR NABLA E INVARIANTES DE

DEFINICIONES
Los campos vectoriales con divergencia nula se llaman SOLENOIDALES.
Los campos vectoriales cuyo rotacional es el vector cero se llaman IRROTACIONALES
Sea
v ( x, y, z ) el campo de velocidades de un fluido. Si:
div v = 0
div v < 0
el fluido es INCOMPRESIBLE
el fluido se COMPRIME
div v > 0
rot v ≠ 0
rot v = 0
el fluido se EXPANDE
el fluido es TURBULENTO
el fluido es NO TURBULENTO
EL OPERADOR NABLA ∇
El operador nabla tiene carácter vectorial e implica obtener ordenadamente todas las derivadas parciales indicadas. En coordenadas
cartesianas, se representa como:
 ∂ ∂ ∂ 

∇ = 
,
,
∂
x
∂
y
∂
z


Cuando se aplica a una función escalar φ(x,y,z), funciona como el producto de un escalar por un vector.
∂φ ∂φ ∂φ  ∂φ
 ∂ ∂ ∂ 
∂φ
∂φ
 =
 φ = 
∇ φ = 
,
,
,
,
i+
j+
k
∂y
∂z
∂ x ∂ y ∂ z ∂ x
∂ x ∂ y ∂ z
Cuando se aplica a una función vectorial
columna y una matriz renglón.
F = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k , funciona como el producto de una matriz
∂ P

P
∂ x
[F ][∇] = Q   ∂ , ∂ , ∂  =  ∂ Q
∂ x ∂ y ∂ z
∂x
 R  
∂ R

 ∂ x
∂P
∂y
∂Q
∂y
∂R
∂y
∂ P

∂z
∂ Q
∂z
∂ R

∂ z 
Para la divergencia se puede observar que:
 ∂ ∂ ∂ 
∂P ∂Q ∂R
 • (P, Q, R ) =
divF = ∇ • F = 
+
+
,
,
∂x ∂y ∂z
∂ x ∂ y ∂ z
Y para el rotacional:
i
∂
rotF = ∇ × F =
∂x
P
j
∂
∂y
Q
k
∂ R ∂Q ∂ P ∂ R ∂Q ∂ P
∂
i + 
 j+
k
= 
−
−
−
∂ z  ∂ y ∂ z   ∂ z ∂ x   ∂ x ∂ y 
R
PROPIEDADES DEL OPERADOR NABLA
Sea c una constante, φ(x,y,z) y ψ(x,y,z) dos funciones escalares y u ( x, y , z ) y v ( x, y , z ) dos funciones vectoriales.
∇(φ ψ ) = φ ∇ψ + ψ ∇φ
∇ × (φ u ) = φ ∇ × u + ∇φ × u
∇(c φ ) = c ∇φ
∇(φ + ψ ) = ∇φ + ∇ψ
∇ • (u + v ) = ∇ • u + ∇ • v
∇ • (c u ) = c∇ • u
∇ • (φ u ) = φ ∇ • u + u ∇φ
∇ • (u × v ) = v • (∇ × u ) − u • (∇ × v )
∇ × (u + v ) = ∇ × u + ∇ × v
∇ × (c u ) = c ∇ × u
INVARIANTES DE SEGUNDO ORDEN
Sea φ(x,y,z) una función escalar cuyo gradiente es:
∇φ =
∂φ
∂φ
∂φ
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
la divergencia del gradiente de φ es:
 ∂ ∂ ∂   ∂ φ ∂ φ ∂ φ  ∂2 φ ∂2 φ ∂2 φ
 =
 • 
,
,
,
,
+
+
= ∇2 φ
∇ • (∇ φ ) = 
2
2
2
∂y
∂z
∂ x ∂ y ∂ z ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x
A esta función escalar se le conoce como LAPLACIANO de φ(x,y,z). Cuando se φ cumple con la ecuación de LAPLACE ∇2φ = 0, se dice
que φ es una FUNCIÓN ARMÓNICA.
El rotacional del gradiente de φ es:
i
∂
∇ × (∇ φ ) =
∂x
∂φ
∂x
j
∂
∂y
∂φ
∂y
k
 ∂2 φ
∂2 φ 
∂2 φ   ∂2 φ
∂2 φ   ∂2 φ
∂
k = 0
 j+
i − 
−
−
−
= 
∂ z  ∂ y ∂ z ∂ z ∂ y   ∂ x ∂ z ∂ z ∂ x   ∂ x ∂ y ∂ y ∂ x 
∂φ
∂z
Cuando se cumple el teorema de Schwarz, podemos afirmar que el rotacional de un gradiente siempre es el vector nulo. Esto significa
que:
si ∇ × F = 0 entonces F = ∇φ
es decir, si el campo vectorial F es irrotacional se puede afirmar que existe una función escalar φ de la cual el campo F es su
gradiente. La función escalar φ recibe el nombre de función POTENCIAL del campo vectorial F . La forma de calcular la función
potencial de un campo irrotacional se estudiará en el tema 3.