antecedentes operador del.

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfgh
jklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvb
nmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer
ANTECEDENTES DE ELECTRICIDAD Y
tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas
MAGNETISMO “OPERADOR NABLA”.
dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx
cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq
wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuio
pasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghj
klzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmrty
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdf
ghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc
vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw
Contenido
OPERADOR NABLA. ........................................................................................................................ 2
GRADIENTE DE UN VECTOR. ........................................................................................................... 3
DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. .................................................... 5
ROTACIONAL DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES. ................................................................... 8
LAPLACIANO DE UN ESCALAR. ..................................................................................................... 12
EJERCICIOS. .................................................................................................................................. 14
Gradiente de un escalar. .......................................................................................................... 14
Divergencia de un vector.......................................................................................................... 15
[1]
OPERADOR NABLA.
r
El operador NABLA, el cual se escribe ∇ , es el operador diferencial del vector. En
coordenadas cartesianas,
r
∂
∂
∂
∇=
a +
a + a
∂x x ∂y y ∂z z
Este operador diferencial del vector, también llamado operador gradiente, no es un
vector en sí mismo, pero cuando, por ejemplo, opera sobre una función escalar, genera
un vector. Este operador es útil para definir:
r
•
•
•
El gradiente de un escalar V, el cual se escribe ∇V .
r
r r
La divergencia de un vector A , la cual se escribe ∇ ⋅ A.
r
r r
El rotacional de un vector A , el cual se escribe ∇ × A.
•
El laplaciano de un escalar V, el cual se escribe ∇ 2V .
r
Para obtener ∇ en términos de ρ, ϕ y z, se debe recordar que:
ρ = x2 + y2 ,
tan φ =
y
x
De ahí que
∂
∂
senφ ∂
= cos φ
−
∂x
∂ρ
ρ ∂φ
∂
∂ cos φ ∂
= senφ
−
∂y
∂ρ
ρ ∂φ
r
De lo anterior se obtiene ∇ , en coordenadas cilíndricas.
r
∇=a
∂
1 ∂
∂
ρ ∂ρ + aφ ρ ∂φ + a z ∂z
De igual forma, para obtener ∇ en términos de términos de r, θ y ϕ, usamos
r = x2 + y2 + z 2 ,
tan θ =
x2 + y2
z
tan φ =
y
x
Para obtener
[2]
∂
∂ cos θ cos φ ∂
senφ ∂
= senθ cos φ
+
−
ρ ∂φ
∂x
∂r
r
∂θ
∂
∂ cos θ senφ ∂ cos φ ∂
= senθ senφ
+
−
∂y
∂r
r
∂θ
ρ ∂φ
∂
∂ senθ ∂
= cos θ
−
∂z
∂r
ρ ∂θ
De lo anterior se obtiene como resultado que ∇ en coordenadas esféricas
r
∇=a
∂
1 ∂
1
∂
+a
+a
r ∂r
θ r ∂θ
φ r senθ ∂φ
GRADIENTE DE UN VECTOR.
El gradiente de un vector escalar V es un vector que representa tanto la magnitud
como la dirección de la máxima rapidez de incremento espacial de V.
Una expresión matemática para este gradiente puede obtenerse evaluando la
diferencia en el campo dV entre los puntos P1y P2 , donde V1, V2y V3 son contornos en
los que V es constante. Con base en el cálculo,
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
 ∂V

∂V
∂V
dV = 
a +
a +
a  ⋅  dxa + dya + dza 
x
y
z
 ∂x x ∂y y ∂z z  
De donde obtenemos
G=
∂V
∂V
∂V
a +
a +
a
x
y
∂x
∂y
∂z z
∴
dV = G ⋅ dl = G cos θ dl
dV
= G cos θ
dl
Donde dl es el desplazamiento diferencial de P1 a P2 y θ es el ángulo entre G y dl. De
dV
dV
es máximo cuando θ=0; esto es, cuando dl está en la
= G cosθ se deduce que
dl
dl
dirección de G. En consecuencia,
dV
dl
=
max
dV
G
dn
[3]
Donde
dV
es la derivada normal. Así, la magnitud y dirección de G son las de la
dn
máxima rapidez de cambio de V. Por definición tenemos que G es el gradiente de V. De
este modo:
r
∂V
∂V
∂V
grad V = ∇V =
ax +
ay +
az
∂x
∂y
∂z
El gradiente de V puede expresarse en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
De esta forma podemos obtener lo siguiente:
En coordenadas cartesianas:
r
∂V
∂V
∂V
∇V =
ax +
ay +
az
∂x
∂y
∂z
En coordenadas cilíndricas:
r ∂V
∂V
1 ∂V
∇=
a +
a +
a
ρ
φ
∂ρ
∂z z
ρ ∂φ
En coordenadas esféricas:
r ∂V
1 ∂V
1 ∂V
∇=
a +
a +
a
∂r r r ∂θ θ r senθ ∂φ φ
Basándonos en el cálculo, el gradiente se puede aplicar de la siguiente forma:
r
r
r
a) ∇(V + U ) = ∇V + ∇U
r
r
r
b) ∇(VU ) = V∇U + U∇V
r
r
r  V  U ∇ V − V∇ U
c) ∇   =
U2
U 
r
r
d) ∇ V n = nV n − 1∇ V
Donde U y V son escalares y n es un entero.
Las propiedades fundamentales del gradiente son las siguientes:
r
1. La magnitud de ∇ V equivale a la máxima rapidez de cambio en V por unidad
de distancia.
r
r
3. ∇ V en cualquier punto es perpendicular a la superficie constante V que pasa
2. ∇ V apunta en la dirección de la máxima rapidez de cambio en V.
por ese punto.
r
4. La proyección o componente de ∇ V en la dirección de un vector unitario a es
r
∇V ⋅ a y se llama derivada direccional de V a lo largo de a. Ésta es la rapidez de
cambio de V en la dirección de a.
r
r r
5. Si A = ∇V , se dice que V es el potencial escalar de A .
[4]
DIVERGENCIA DE UN VECTOR Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.
r
La divergencia de A en un punto dado P es el flujo hacia afuera por unidad de volumen
a medida que el volumen se contrae alrededor de P.
Por tanto
r
r r r
div A = ∇ ⋅ A =
r
∫ A ⋅ dS
S
lím
∆v → 0
∆v
Donde ∆v es el volumen encerrado por la superficie cerrada S en la que se ubica P.
r
Físicamente la divergencia del campo vectorial A en un punto dado puede
considerarse una medida del grado en que ese campo diverge o emana de tal punto.
La divergencia de un campo vectorial en un punto P es positiva cuando el vector
diverge o se aparta de P. Por lo contrario cuando el vector converge hacia el punto P,
tenemos un campo vectorial con divergencia negativa. También podemos obtener un
campo vectorial con divergencia cero hacia un punto P.
r
r
r r
De la definición div A = ∇ ⋅ A =
r
∫ A ⋅ dS
lím
∆v → 0
S
∆v
se puede obtener una expresión para
r r
∇ ⋅ A en coordenadas cartesianas. Supóngase que se desea evaluar la divergencia de un
campo vectorial A en el punto P(x0, y0, z0); sea que ese punto esté encerrado por un
volumen diferencial, como se muestra en la figura1.
Figura1.
[5]
La integral de superficie se obtiene de
r r
r r 

A
⋅
d
S
=
+
+
+
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

 A ⋅ dS
S
 Anterior Posterior Izquierdo Derecho sup erior inf erior 
Un desarrollo tridimensional en series de Taylor DE Ax alrededor de P es:
(
)(
)
∂A
x
A ( x, y , z ) = A x , y , z + x − x
x
x 0 0 0
0 ∂x
(
+ y−y
P
)0 ∂∂Ayx
(
+ z−z
P
)0 ∂∂Azx
+ termonos de orden sup erior
P
respecto del lado anterior:
dx
x=x +
0 2
y dS = dydza
x
Así ,

r r
dx ∂Ax 

A
⋅
d
S
=
dydz
A
x
+
y
+
z
+
+ ter min os de orden sup erior
∫
x 0
0
0

2
∂
x

Anterior
P

(
)
Respecto al lado posterior:
dx
x=x −
0 2
( x)
y dS = dydz − a
Así ,

r r
dx ∂Ax 

A
⋅
d
S
=
−
dydz
A
x
+
y
+
z
−
+ ter min os de orden sup erior
∫
x 0
0
0

2
∂
x

Anterior
P

(
)
En consecuencia
∂A
r r
r r
x + ter min os de orden sup erior
∫ A ⋅ dS +
∫ A ⋅ dS = dxdydz
∂x
Anterior
Posterior
P
Siguiendo pasos análogos, obtenemos:
∂A
r r
r r
y
A
⋅
d
S
+
A
⋅
d
S
=
dxdydz
+ ter min os de orden sup erior
∫
∫
∂y
Izquierdo
Derecho
P
Y
∂A
r r
r r
z + ter min os de orden sup erior
∫ A ⋅ dS +
∫ A ⋅ dS = dxdydz
∂z
Superior
Inferior
P
Considerando las ecuaciones anteriores y sustituyéndola en
[6]
r
r r
∇⋅ A =
r
∫ A ⋅ dS
S
lím
∆v → 0
∆v
Y considerando que ∆v=dxdydz, obtenemos
∫
r r
A ⋅ dS
S
lím
∆v → 0
∆v
∂Ay ∂Az 
 ∂A

=  x +
+
∂y
∂z 
 ∂x
en P
Puesto que los términos de orden superior tienden a cero conforme ∆v → 0 . En un
sistema cartesiano, así, la divergencia de A en un punto P(x0, y0, z0) está dada por:
∂Ay ∂Az 
r r  ∂A

∇ ⋅ A =  x +
+
∂y
∂z 
 ∂x
Para coordenadas cilíndricas la divergencia de A en un punto P, resulta:
r r 1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
(
∇⋅ A =
+
ρAρ ) +
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
En Coordenadas esféricas:
∂Aφ
r r 1 ∂ 2
1
∂
∇⋅ A = 2
r Ar +
( Aθ senθ ) + 1
r senθ ∂θ
r senθ ∂φ
r ∂r
(
)
Las siguientes son las propiedades de la divergencia de un campo vectorial:
1. Produce un campo escalar (ya que está implicado el producto escalar)
2. La divergencia de un escalar V, div V, carece de sentido.
r r r r r r r
3. ∇ ⋅ (A + B ) = ∇ ⋅ A + ∇ ⋅ B
4. ∇ ⋅ (VA) = V∇ ⋅ A + A ⋅ ∇V
r
Con
r
base
r r r
div A = ∇ ⋅ A =
∫
r r
en
la
r r
definición
∫
lím
∆v → 0
de
la
divergencia
r
de A en
la
ecuación
r r
A ⋅ dS
S
∆v
, cabe esperar que:
r r
r r
A ⋅ dS = ∫v ∇ ⋅ A dv
S
Esto se conoce como teorema de la divergencia, o teorema de Gauss-Ostrogradsky.
[7]
El teorema de la divergencia establece que el flujo total hacia afuera de un campo
vectorial A a través de la superficie cerrada S, equivale a la integral de volumen de la
divergencia de A.
Para comprobar el teorema de la divergencia, el volumen “v” se subdivide en gran
número de pequeñas celdas. Si la celda de orden “k” tiene un volumen ∇v k y está
circunscrita por la superficie Sk.
r r
∫S A ⋅ dS =
r
r
∑ ∫S A ⋅ dS = ∑
k
k
r r
∫S k A ⋅ dS
∆vk
∆vk
Puesto que el flujo hacia afuera de una celda es para algunas celdas vecinas un flujo
hacia adentro, hay anulación en la superficie interior, de modo que la suma de las
integrales de superficie sobre la de Sk es igual a la integral de superficie sobre la
superficie S. La adopción del límite del miembro derecho de la ecuación
r r
∫S A ⋅ dS =
∑
r r
∫S A ⋅ dS =
k
r r r
div A = ∇ ⋅ A =
∫
S
∑
k
∫
lím
∆v → 0
r r
∫S k A ⋅ dS
∆vk y la incorporación de la ecuación
∆vk
r r
A ⋅ dS
S
∆v
resulta en:
r r
r r
A ⋅ dS = ∫v ∇ ⋅ A dv
Es decir, el teorema de la divergencia. Este teorema se aplica a todo volumen “v”
r
r
circunscrito por la superficie cerrada S, siempre que A y ∇ ⋅ A sean continuos en la
región.
ROTACIONAL DE UN VECTOR Y TEOREMA DE STOKES.
r
Se ha definido a la circulación de un campo vectorial A alrededor de una trayectoria
cerrada “L” como la integral
∫
r r
A ⋅ dl
L
r
r
El rotacional de A es un vector axial cuya magnitud es la circulación máxima de A
por unidad de área conforme el área tiende a cero y cuya dirección es la dirección
normal de área cuando el área se orienta de tal forma que de ello resulta la circulación
máxima.
[8]
Esto es:
r r

A
⋅ dl 
r r r 
L
rotA = ∇ × A =  lím
 an
 ∆S →0 ∆S  max


∫
Donde el área ∆S está circunscrita por la curva L y an es el vector unitario normal a la
superficie ∆S, el cual se determina aplicando la regla de la mano derecha.
Figura 2.
r
r
A fin de obtener una expresión para ∇ × A a partir de la definición
r r
A ⋅ dl 
r r r 
rotA = ∇ × A =  lím L
 an , considérese el área diferencial en el plano “yz”
 ∆S →0 ∆S  max


∫
de la figura 2. La integral de línea, de la definición, se obtiene de la siguiente forma:
(
)
r r
r r
∫ L A ⋅ dl = ∫ab + ∫bc + ∫cd + ∫da A ⋅ dl
Se desarrollan entonces las componentes del campo en desarrollo en series de Taylor
alrededor del punto central P(x0, y0, z0) y se evalúa la ecuación. En el lado ab, dl=dy ay
y z=z0 -dz/2, de modo que :

r r
dz ∂Ay
A ⋅ dl = dy  Ay (x0 , y0 , z 0 ) −
ab
2 ∂z

∫



P
En el lado bc, dl=dz az y y=y0 +dy/2, de modo que :

r r
dy ∂Az
A ⋅ dl = dz  Az (x0 , y0 , z 0 ) +
bc
2 ∂y

∫


P

[9]
En el lado cd, dl=dy ay y z=z0 +dz/2, de modo que :

r r
dz ∂Ay
A ⋅ dl = − dy  Ay (x0 , y 0 , z 0 ) +
cd
2 ∂z



P

∫
En el lado da, dl=dz az y z=y0 -dy/2, de modo que :

r r
dy ∂Az
A ⋅ dl = −dz  Az (x0 , y0 , z 0 ) −
da
2 ∂y




P
∫
La
sustitución
(
de
las
)
ecuaciones
anteriores
en
r r
r r
∫ L A ⋅ dl = ∫ab + ∫bc + ∫cd + ∫da A ⋅ dl y considerando ∆S=dy dz, resulta que:
r r
∂A ∂A
A ⋅ dl ∂Az ∂AY
lím
=
−
o (rot A) x = z − Y
∆S →0 L ∆S
∂y
∂z
∂y
∂z
∫
r
Las componentes “y” y “x” del rotacional de A pueden hallarse de la misma manera,
Así obtenemos:
∂Ax ∂Az
−
∂z
∂x
∂Ay ∂Ax
(rot A) z =
−
∂x
∂y
(rot A) y =
r
La definición de ∇X A es independiente del sistema de coordenadas. En coordenadas
r
cartesianas, el rotacional de A se encuentra fácilmente mediante:
ax
r r
∂
∇× A =
∂x
Ax
ay
∂
∂y
Ay
az
∂
∂z
Az
o
r r  ∂A ∂Ay 
 ∂Ay ∂Ax 
 ∂Ax ∂Az 
∇× A =  z −
−
a
+
−
ax + 
y

 az

∂
y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y






[10
]
En coordenadas cilíndricas:
ρaφ
aρ
r r 1 ∂
∇× A =
ρ ∂ρ
Aρ
az
∂
∂z
Az
∂
∂φ
ρAφ
o
r r  1 ∂Az ∂Aφ 
 ∂Aρ ∂Az  1  ∂ (ρAφ ) ∂Aρ 
∇× A = 
−
−
−
 aρ + 
 aφ + 
az
ρ
∂
φ
∂
z
∂
z
∂
ρ
ρ
∂
ρ
∂
φ






En coordenadas esféricas:
ar
r r
1
∂
∇× A = 2
r senθ ∂r
Ar
r r
∇× A =
1  ∂ (Aφ senθ ) ∂Aθ
−

rsenθ 
∂θ
∂φ
raθ
∂
∂θ
rAθ
rsenθaφ
∂
∂φ
rsenθAφ
o

1  1 ∂Ar ∂ (rAφ )
1  ∂ (rAθ ) ∂Ar 
−
−
 ar + 
 aθ + 
 aθ
r
sen
∂
r
r
∂
r
∂
θ
∂
φ
θ





Las siguientes son las propiedades del rotacional:
1. El rotacional de un campo vectorial es otro campo vectorial.
2. El rotacional de un campo escalar V,
r
∇ × V , carece de sentido.
r r
( r) r
r r
r r r
r r r
r
r r r
r rr
∇ × ( A × B ) = A(∇ ⋅ B ) − B (∇ ⋅ A) + (B ⋅ ∇A) − ( A ⋅ ∇ )B
r
r
r
r r r
∇ × (VA) = V∇ × A + ∇V × A
r
r
r
3. ∇ × A + B = ∇ × A + ∇ × B
4.
5.
6. La divergencia del rotacional de un campo vectorial tiende a cero, esto es:
r
r
∇ ⋅ (V × A) = 0
7. El rotacional del gradiente de un campo escalar tiende a cero, esto es,
r r
∇ × ∇V = 0
El significado físico del rotacional de un campo vectorial proporciona el valor máximo
de la circulación del campo por unidad de área (o densidad de circulación) e indica la
dirección a lo largo de la que ocurre este valor máximo. El rotacional de un campo
[11
]
r
vectorial A en un punto P puede considerarse una medida de la circulación o del
grado en que el campo gira alrededor de P.
r
Así mismo, de la definición del rotacional de A , cabe esperar que:
r r
r
r r
(
)
⋅
=
∇
×
⋅
A
d
l
A
d
S
∫L
∫S
Esto se conoce como el teorema de STOKES.
r
El teorema de Stokes establece que la circulación de un campo vectorial A alrededor
r
de una trayectoria (cerrada) L es igual a la integral de superficie del rotacional de A
r
sobre la superficie abierta S circunscrita por L, siempre que A y
continuos en S.
r r
∇ × A sean
LAPLACIANO DE UN ESCALAR.
El laplaciano de un campo escalar V, el cual se escribe ∇2V, es la divergencia del
gradiente de V.Así en coordenadas cartesianas, laplaciano
r r
r
∂
∂
∂   ∂V
∂V
∂V 
V = ∇ ⋅ ∇V = ∇ 2V =  a x + a y + a z  ⋅ 
ax +
ay +
az 
∂y
∂z   ∂x
∂y
∂z 
 ∂x
Esto es,
 ∂ 2V
r
∂ 2V
∂ 2V 
∇ 2V =  2 a x + 2 a y + 2 a z 
∂y
∂z
 ∂x

Nótese que el laplaciano de un campo escalar es otro campo escalar.
El laplaciano de V en coordenadas cilíndricas es:
r
1 ∂  ∂V  1 ∂ 2V ∂ 2V
ρ
+
+
∇ 2V =
ρ ∂ρ  ∂ρ  ρ 2 ∂φ 2 ∂z 2
Y en coordenadas esféricas:
r
1 ∂  2 ∂V
∇ 2V = 2
r
r ∂r  ∂r
1
∂V 
∂V 
1
∂ 2V

+ 2
 senθ
+ 2
∂θ  r sen 2θ ∂φ 2
 r senθ ∂θ 
Se dice que un campo escalar V es armónico en una región dada si su laplaciano tiende
a cero en esa región, es decir, si
r
∇ 2V = 0
r
La ecuación ∇ 2V = 0 se llama ecuación de LAPACE.
[12
]
r
Como el operador ∇ 2 es un operador escalar, también es posible definir el laplaciano
r
r r
de un vector A . En este contexto ∇ 2 A no debe interpretarse como la divergencia del
r
gradiente de A , lo cual carece de sentido, sino como el gradiente de la divergencia de
r
r
A menos el rotacional del rotacional de A .
Es decir:
r r r r r r r r
∇ 2 A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × ∇ × A
r r
Esta ecuación puede aplicarse al cálculo de ∇ 2 A en cualquier sistema de coordenadas,
2
en el sistema cartesiano, y solo en él, la ecuación ∇ A = ∇(∇ ⋅ A) − ∇ × ∇ × A se
r r
r r r
r
r
r
convierte en:
r r r
r
r
∇2 A = ∇2 A a + ∇2 A a + ∇2 A a
x x
y y
z z
[13
]
EJERCICIOS.
Gradiente de un escalar.
1.- Halle el gradiente de los siguientes campos escalares.
r
a) V = e − z sen2 x cosh h
r
b) U = ρ 2 z cos 2φ
r
c) W = 10rsen 2θ cosφ
Solución:
a)
r r ∂V
∂V
∂V
a +
a +
a
∇V =
∂x x ∂y y ∂z z
r r
∇V = 2e − z cos 2 x cosh ya + e − z sen2 xsenhya − e − z sen2 x cosh ya
x
y
z
b)
r r ∂U
1 ∂U
∂U
∇U =
a +
a +
a
∂ρ ρ ρ ∂φ φ ∂z z
r r
∇U = 2 ρ z cos 2φ a − 2 ρ z sen2φ a + ρ 2 cosφ a
ρ
φ
z
c)
r r ∂W
1 ∂W
1 ∂W
∇W =
a +
a +
a
∂r r r ∂θ θ rsenθ ∂φ φ
r r
∇W = 10sen 2θ cosφ a + 10sen2θ cosφ a − 10senθ s enφ a
r
θ
φ
r
2.- dado W =x2y2+xyz calcule
3ax+4ay+12az en (2,-1,0).
r
∇ W y la derivada direccional dW/dl en la dirección
Solución.
[14
]
r r ∂W
∂W
∂W
∇W =
a +
a +
a
x
y
∂x
∂y
∂z z
r r
∇W =  2 xy 2 + yz a +  2 x 2 y + xz a + ( xy )a
z

 x 
 y
r r
En (2,-1,0) , ∇ W =4ax -8ay -2az
Por tanto,
dW r r
(3,4,12) = − 44
= ∇W ⋅ al = (4,−8,−2) ⋅
dl
13
13
Divergencia de un vector.
1.- Determine la divergencia de estos campos vectoriales.
r
2
a) P = x yz a + xz a
x
z
r
b) Q = ρ senφ a + ρ 2 z a + z cos φ a
ρ
φ
z
r 1
c) T = 2 cosθ a + r senθ cosφ a + cosθ a
r
θ
φ
r
Solución.
a)
r r ∂
∂
∂
∇⋅ P = P + P + P
∂x x ∂y y ∂z z
r r ∂
∂
∂
∇ ⋅ P =  x 2 yz  + (0) + ( xy )
 ∂y
∂z
∂x 
r r
∇ ⋅ P = 2 xyz + x
b)
r r 1 ∂ 
 1 ∂ Q  + ∂ Q
∇ ⋅Q =
 ρQρ  +
 
 ρ ∂φ  φ  ∂z z
ρ ∂ρ 
r r 1 ∂  2
1 ∂ 2
∂
∇ ⋅Q =
ρ z + ( z cosφ )
 ρ senφ  +
 ρ ∂φ
∂z
ρ ∂ρ 
r r
∇ ⋅ Q = 2senφ + cosφ
[15
]
c)
r r 1
∇ ⋅T =
r2
r r 1
∇ ⋅T =
r2
(
)
∂ 2 
1 ∂
1 ∂  
T senθ +
 r Tr  +
T 
 rsenθ ∂θ θ
∂r 
rsenθ ∂φ  φ 
∂
(cosθ ) + 1 ∂  rsen2θ cosφ  + 1 ∂ (cosθ )
 rsenθ ∂φ
∂r
rsenθ ∂θ 
r r
1
∇ ⋅T = 0 +
2rsenθ cosθ cosφ + 0
rsenθ
r r
∇ ⋅ T = 2 cosθ cosφ
r
− 2 z  ρ a + a  , determine el flujo de G hacia afuera de la superficie
2.- Si G (r ) = 10e
 ρ
z 

entera del cilindro ρ=1 , 0 ≤ z ≤ 1.
Solución.
Si ψ es el flujo de G a través de la superficie dada como se muestra en la figura,
entonces:
r r
Ψ = ∫ G ⋅ dS = Ψ + Ψ + Ψ
t
b
s
Donde Ψt + Ψb + Ψs son los flujos a través de la parte superior, inferior y superficie
curva del cilindro.
r
Respecto de Ψt , z = 1, dS = ρ dρ dφ a z . Así
[16
]
r r
ρ2
Ψ = ∫ G ⋅ dS = ∫1ρ = 0 ∫φ2π= 010e − 2 ρdρdφ = 10e − 2 (2π )
t
2
1
0
Ψ = 10πe − 2
t
r
Respecto de Ψb , z = 0, dS = ρ dρ dφ (− a z ) . Así
2
r r
2π 10e 0 ρdρdφ = 10(2π ) ρ
Ψ = ∫b G ⋅ dS = ∫1
ρ = 0 ∫φ = 0
b
2
Ψ = 10π
b
1
0
r
Respecto de Ψs , ρ = 1, dS = ρ dz dφ a ρ . Así
− 2z
r r
2π 10e − 2 z ρ 2 dzdφ = 10(1)2 (2π )e
Ψ = ∫s G ⋅ dS = ∫1
∫
z=0 φ =0
s
−2
1
0
Ψ = 10π 1 − e − 2 
b


En consecuencia:
Ψ = Ψ + Ψ + Ψ = 10πe − 2 − 10π − 10π 1 − e − 2  = 0
t
b
s


[17
]