Serie9.pdf

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Trabajo Práctico nº 9: Operadores Vectoriales
Un campo escalar se determina por una función U = f(x, y, z) donde P(x, y, z) es un punto
del espacio corriente.
Un campo vectorial queda determinado por una función vectorial: 𝑎 = 𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘 ,
donde 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 son funciones escalares de (x, y, z). Por esta función vectorial, a cada
punto del espacio le corresponde un vector 𝑎 .
Los campos escalares y vectoriales tienen gran importancia en aplicaciones físicas.
GRADIENTE
𝜕𝑈
𝜕𝑈
𝜕𝑈
El vector 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈= 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑧 𝑘 recibe el nombre de gradiente del campo escalar U.
También se usa la notación 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑈 = ∇ 𝑈, donde ∇ ( nabla) es el operador de Hamilton,
que aplicado al campo escalar U nos dá el gradiente .
El operador vectorial “nabla” (∇ ) , es un símbolo (parecido a una delta invertida) que
indica una secuencia de operaciones que se aplican ordenadamente a una función y están
definidas por la expresión:
𝜕
𝜕
𝜕
∇ = 𝜕𝑥 𝑖 +𝜕𝑦 𝑗 +𝜕𝑧 𝑘
El vector gradiente en cada punto (x, y) está dirigido según la normal en ese punto a la
superficie de nivel de U, en el sentido del crecimiento de la función U, y nos indica la
dirección de máximo crecimiento de la función U en cada punto P (x, y, z) de su dominio.
DIVERGENCIA
Se llama divergencia de un campo vectorial 𝑎 = 𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘, al escalar:
div 𝑎 =
𝜕𝑎 1
𝜕𝑥
𝜕𝑎
𝜕𝑎
+ 𝜕𝑦2 + 𝜕𝑧3
Usando el operador nabla, la divergencia puede interpretarse como un producto escalar:
𝜕
𝜕
𝜕
div 𝑎 = ∇ x 𝑎 = (𝜕𝑥 𝑖 +𝜕𝑦 𝑗 +𝜕𝑧 𝑘 ) x (𝑎1 𝑖 +𝑎2 𝑗+𝑎3 𝑘 )
Si bien, esta definición es artificiosa en Matemática, surge naturalmente en problemas
físicos. Ej: Indica la variación de un fluído con respecto al tiempo por unidad de volumen.
En cada punto la divergencia es un escalar.
ROTOR
Rotor de un campo vectorial 𝑎 es otro vector:
Rot 𝑎 = ∇˄ 𝑎 =
𝑖
𝑗
𝑘
𝜕
𝜕
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑎1
𝑎2
= 𝑎3 𝑦 − 𝑎2 𝑧 𝑖 + 𝑎1 𝑧 − 𝑎3 𝑥 𝑗 + 𝑎2 𝑥 − 𝑎1 𝑦 𝑘
𝑎3
El rotor se interpreta como la medida del efecto local de la rotación de una corriente de
fluído cuya velocidad es 𝑎 . En cada punto el rotor es un vector.
Ejercicios:
1) Hallar el gradiente de U= 𝑥 3 +𝑦 3 +𝑧 3 − 3𝑥𝑦𝑧 en P ( 2, 1, 1).
2) Siendo U= f(x, y, z) = 3𝑥 3 -y𝑧 2 ; 𝑎 = 2xy𝑧 2 𝑖 + 2x𝑦 3 𝑗 + (xy)/z 𝑘
Calcular en P ( 1, -1, 1):
a) Grad U
b) Rot 𝑎
c) Div 𝑎
d) Div ( U. 𝑎 )
3) Si la densidad en un punto P(x, y, z) está dada por f(x, y, z) = (𝑥 2 + 𝑦 2 ) / (1 + 𝑧 2 ).
Verificar si la dirección de máxima variación de la densidad en P(-1, 2, 3) es la
misma del vector : -0.2 𝑖 + 0.4 𝑗 - 0.3 𝑘
4) Dados:
𝑎 = 3𝑥 2 yz 𝑖 + (3x – y) 𝑗 +(5xyz - 𝑧 2 ) 𝑘 ; U = 2𝑥 2 − 3𝑦 3 −4𝑥 2 𝑦𝑧 2 .
En P(-1, -1, 2) calcular:
a) ∇ 𝑈
b) ∇ x 𝑎
c) ∇˄ 𝑎
5) Verificar que grad ( mU + nV) = m. grad U + n. grad V
6) Verificar que div ( U 𝑎 ) = ( grad U) x 𝑎 + U div 𝑎