Escuela Nacional de Náutica Manuel Belgrano ANÁLISIS MATEMÁTICO II - TRABAJO PRÁCTICO No 3 CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES - APLICACIONES 1. Trace los siguientes campos vectoriales dibujando sus correspondientes diagramas: a. V(x, y) = xi + yj b. V(x, y) = xi − yj c. V(x, y) = yi + j d. V(x, y) = −xi + 2yj yi − xj yi + xj f. V(x, y) = p g. F(x, y, z) = j h. F(x, y, z) = zj e. V(x, y) = p x2 + y 2 x2 + y 2 2. Calcule la divergencia de los siguientes campos: a. F(x, y, z) = xzi + xyzj − y 2 k c. F(x, y, z) = (x − 2z)i + (x + y + z)j + (x − 2y)k e. F(x, y, z) = xey i + yez k x y 1 g. F(x, y, z) = i + j − k z z z 3. 4. 5. 6. 7. h. Calcule el rotor de los siguientes campos: a. G(x, y, z) = (x2 − y)i + 4zj + x2 k c. G(x, y, z) = (2xy + z 2 )i + (2yz + x2 )j + (2xz + y 2 )k e. G(x, y, z) = (x − y)i + (y − z)j + (z − x)k g. G(x, y, z) = (x2 + yz)i + (y 2 + zx)j + (z 2 + xy)k F(x, y, z) = xeyz i + yexz j + zexy k b. G(x, y, z) = xi + yj + zk d. G(x, y, z) = xyzi + x2 y 2 zj + yz 3 k f. G(x, y, z) = (x2 − y)i + 4zj + x2 k h. G(x, y, z) = (x2 − y 2 )i + (x2 − z 2 )j + y 2 k Determine si el campo vectorial dado es o no conservativo. Si es conservativo, encuentre f tal que verifique que H = ∇f a. H(x, y, z) = yzi + xzj + xyk b. H(x, y, z) = 2xyi + (x2 + 2yz)j + y 2 k 2 3 2 3 2 2 2 c. H(x, y, z) = xy z i + 2x yz j + 3x y z k d. H(x, y, z) = ex i + ez j + ey k e. H(x, y, z) = yzexz i + exz j + xyexz k f. H(x, y, z) = xi + yj + zk Hallar el rotor de los siguientes campos vectoriales en el punto indicado a. Q(x, y, z) = (x2 − log y)i +√xyzj − z 2 k en (−1, 1, 0) √ b. Q(x, y, z) = 3xyi + yj + zk en (3, 4, 2) c. Q(x, y, z) = sen xi + sen yj + sen zk en (0, π2 , π) Sea f un campo escalar y F un campo vectorial. Explique si las siguientes expresiones tienen sentido y porqué. Si lo tienen, indique si el resultado es un campo escalar o vectorial. Escriba las expresiones usando el operador ∇ a. rotacional f b. grad f c. divergencia F d. rotacional(grad f ) e. gradiente F f. grad(div F) g. div( grad f ) h. grad( div f ) i. rotacional(rot F) j. div(div F) k. (grad f )×(div F) l. div(rotacional(grad f )) m. Demostrar que div(rot(F)) = 0 n. Demostrar que rot(grad(f )) = 0 Si φ(x, y, z) = 3x2 − yz y F(x, y, z) = 3xyz 2 i + 2xy 3 j − x2 yzk hallar en (1, −1, 1) a. ∇φ b. ∇ • F c. ∇ × F d. F • ∇φ e. ∇ • (φF) f. ∇ × (φF) g. ∇2 φ Rta: 7a. (6, −1, 1) 8. b. F(x, y, z) = xyi + yzj + zxk d. F(x, y, z) = xyzi − x2 yk f. F(x, y, z) = ex sen yi + ex cos yj + zk 7b. 4 7c. (−1, −8, −5) 7d. −15 7e. 1 7f. (−3, −41, −35) 7g. 6 Aplicaciones de los operadores vectoriales. a. Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie definida por 3xy + z 2 = 4 en (1, 1, 1) b. Ídem para z = x3 + y 3 − 6xy en (1, 2, −3) c. Ídem para z = cos x · cos y en (0, π2 , 0) d. Ídem para z = cos x · sen y en (0, π2 , 1) e. Hallar un vector unitario normal a la superficie dada por z = x2 + y 2 + 1 en el punto (0, 0, 1) f. Hallar las ecuaciones para el plano tangente y la lı́nea normal a la superficie x2 yz + 3y 2 = 2xz 2 − 8z en el punto (1, 2, −1) r g. En electrostática la fuerza F de atracción entre dos partı́culas de carga opuesta es F = k · 3 |r| −k donde k es una constante y r el vector posición. Mostrar que F = ∇ |r| ~ ) y rot(AP ~ ) h. Si el punto A(a,b,c) está fijo y P(x,y,z) es variable. Calcular div(AP