Problemas de campos diferenciables

Problemas Geometrı́a Diferencial, Tensores y Campos - Curso 2003/04
6. Campos diferenciables
1. Verificar las siguientes expresiones vectoriales (las letras en negrita representan campos vectoriales y
las demás, campos escalares) en R3 :
a) rot grad V = 0,
b) div rot A = 0,
c) ∆V = div grad V ,
d) rot rot A = grad div A − ∆A,
e) div (V A) = A · grad V + V div A,
f) rot (V A) = grad V × A + V rot A,
g) div (A × B) = B · (rot A) − A · rot B,
h) grad hA, Bi = ∇A B + ∇B A + A × rot B + B × rot A,
i) rot (A × B) = ∇B A − ∇A B + A div B − B div A.
2. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas cartesianas en R 3 :
∂V
∂V
∂V
a) grad V =
u1 + 2 u2 + 3 u3
∂x1
∂x
∂x
∂A1
∂A2
∂A3
b) div A =
+
+
∂x1
∂x2
∂x3
3
1
2
2
∂A
∂A
∂A
∂A3
∂A
∂A1
−
−
−
u1 +
u2 +
u3
c) rot A =
∂x2
∂x3
∂x3
∂x1
∂x1
∂x2
d) ∆V =
∂2V
∂2V
∂2V
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
∂ 2 Ax
∂ 2 Ax
∂ 2 Ax
e) ∆A = ∆A ux + ∆A uy + ∆A uz =
+
+
ux +
∂x2
∂y 2 ∂z 2
2 y
∂ 2 Ay
∂ 2 Ay
∂ 2 Az
∂ 2 Az
∂ A
∂ 2 Az
uy +
uz
+
+
+
+
2
2
2
2
2
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z 2
∂Ax
∂Ay
∂Ax
∂Ax
∂Ay
∂Ay
f) ∇B A = B x
ux + B x
uy +
+ By
+ Bz
+ By
+ Bz
∂x
∂y ∂z
∂x
∂y
∂z
∂Az
∂Az
∂Az
+ Bx
uz
+ By
+ Bz
∂x
∂y
∂z
x
y
z
3. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas polares en R 2 :
∂V
1 ∂V
a) grad V =
uρ +
uφ
∂ρ
ρ ∂φ
1 ∂V
∂V
b) rot V = −
uρ +
uφ
ρ ∂φ
∂ρ
1 ∂(ρAφ ) ∂Aρ
c) rot A =
−
ρ
∂ρ
∂φ
1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aφ
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
1 ∂
∂V
1 ∂2V
e) ∆V =
ρ
+ 2
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ2
d) div A =
4. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas esféricas en R 3 :
∂V
1 ∂V
1 ∂V
a) grad V =
ur +
uθ +
uφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
b) div A =
1 ∂(r2 Ar )
1 ∂(sin θAθ )
1 ∂Aφ
+
+
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
1
1 ∂(rAθ ) ∂Ar
∂(sin θAφ ) ∂Aθ
1 ∂Ar
1 ∂(rAφ )
1
ur +
uθ +
uφ
−
−
−
c) rot A =
r sin θ
∂θ
∂φ
r sin θ ∂φ
r ∂r
r
∂r
∂θ
1 ∂
∂V
1
∂V
1
∂
∂2V
d) ∆V = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
5. Deducir las siguientes expresiones para los operadores diferenciales en coordenadas cilı́ndricas en R 3 :
1 ∂V
∂V
∂V
uρ +
uφ +
uz
a) grad V =
∂ρ
ρ ∂φ
∂z
1 ∂(ρAρ ) 1 ∂Aφ
∂Az
b) div A =
+
+
ρ ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
ρ
z
φ
1 ∂A
∂A
1 ∂(ρAφ ) ∂Aρ
∂A
∂Az
uρ +
uφ +
uz
c) rot A =
−
−
−
ρ ∂φ
∂z
∂z
∂ρ
ρ
∂ρ
∂φ
1 ∂
∂V
1 ∂2V
∂2V
d) ∆V =
ρ
+ 2
+
ρ ∂ρ
∂ρ
ρ ∂φ2
∂z 2
6. Obtener una expresión general para los operadores gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en
R3 en un sistema ortogonal de coordenadas cualquiera , {x1 , x2 , x3 }, es decir, coordenadas en las que
la métrica es diagonal,
g = h21 dx1 ⊗ dx1 + h22 dx2 ⊗ dx2 + h23 dx3 ⊗ dx3 ,
donde h1 , h2 , h3 son funciones cuyo dominio es el abierto U ⊂ R3 en el que están definidas las coordenadas, {x1 , x2 , x3 }.
7. Obtener una expresión general para los operadores gradiente, divergencia, laplaciano y rotacional en
R2 en un sistema ortogonal de coordenadas cualquiera, {x1 , x2 }, es decir, coordenadas en las que la
métrica es diagonal,
g = h21 dx1 ⊗ dx1 + h22 dx2 ⊗ dx2 ,
donde h1 , h2 son funciones cuyo dominio es el abierto U ⊂ R2 en el que están definidas las coordenadas,
{x1 , x2 }.
8. Sea ν ∈ R. Consideramos el abierto U = R3 \{(0, 0, 0)} y la forma diferencial ων ∈ Ω1 (U ) definida por
ω(x, y, z)ν =
x
y
z
dx + ν dy + ν dz,
ν
r
r
r
r=
p
x2 + y 2 + z 2
¿Para qué valores de ν son ων , ∗ων formas cerradas? Para dichos valores encontrar una primitiva de
ων .
9. La derivada de Lie, Lv , respecto a un campo vectorial, v, se puede escribir como Lv := d ◦ iv + iv ◦ d,
en términos de la derivada exterior, d, y la contracción con el campo v,
iv f ≡ 0, f ∈ Ω0 (U ),
iv :
iv ω(x) :
a)
E p−1
v1 , . . . , vp−1
iv ω(x) = [ω(x)](v(x)), ω ∈ Ω1 (U ),
Ωp (U ) → Ωp−1 (U )
,
ω
7→
iv ω
→
R
, x ∈ U, p > 1
7→ [ω(x)](v(x), v1 , . . . , vp−1 )
Demostrar que la derivada de Lie es una derivación de grado cero, es decir, L v ω ∈ Ωp (U ) si
ω ∈ Ωp (U ) y Lv (α ∧ β) = (Lv α) ∧ β + α ∧ (Lv β).
2
b)
Demostrar que la derivada de Lie conmuta con la derivada exterior, d ◦ L v = Lv ◦ d.
c) Demostrar que Lv f = Dv f para f ∈ Ω0 (U ).
d ) Obtener la expresión analı́tica de Lv df , f ∈ Ω0 (U ). Particularizar para Lv dxi .
e)
Obtener la expresión analı́tica de Lv ω para ω ∈ Ω1 (U ).
f ) Obtener la expresión analı́tica de Lv ω para ω ∈ Ωp (U ).
g)
h)
i)
j)
Demostrar que la derivada de Lie conmuta con el retroceso de funciones, es decir, L v h∗ f =
h∗ Lh∗ v f , para h : U 0 → U ⊂ E, v ∈ X(U 0 ), f ∈ Ω0 (U ).
Demostrar que la derivada de Lie conmuta con el retroceso de formas, es decir, L v h∗ ω = h∗ Lh∗ v ω,
para ω ∈ Ωp (U ).
Imponiendo que la derivada de Lie conmuta con la contracción, es decir, omitiendo por comodidad
la dependencia en el punto, Lv (ω(w)) = (Lv ω)(w) + ω(Lv w), obtener la expresión analı́tica de
la derivada de Lie de un campo vectorial, que denotaremos corchete de Poisson, L v w := [v, w].
Demostrar que la derivada de Lie es compatible con el avance de campos, es decir, L h∗ v h∗ w =
h∗ Lv w.
10. Deducir la expresión de los sı́mbolos de Christoffel en una base coordenada.
11. Demostrar las siguientes propiedades de la derivada covariante, siendo g la métrica y f un campo
escalar arbitrario,
∇g = 0,
∇η = 0,
∇∇f es simétrico.
12. Deducir las siguientes expresiones para la divergencia de un campo vectorial, A, y el laplaciano de un
campo escalar, V , usando bases adaptadas a las coordenadas,
√
1 ∂ det g Ai
1
∂ p
ij ∂V
.
det gg
div A = √
∆V = √
∂ξ i
∂ξ j
det g
det g ∂ξ i
13. Hallar la expresión de los sı́mbolos de Christoffel en una base adaptada a un sistema de coordenadas
ortogonal de R3 .
14. Hallar la expresión de los sı́mbolos de Christoffel y el gradiente vectorial en una base ortonormal
obtenida a partir de la base adaptada a un sistema de coordenadas ortogonal de R 3 .
15. Calcular la expresión del operador gradiente vectorial en coordenadas polares, cilı́ndricas y esféricas.
16. Obtener las ecuaciones de cambio de base de los sı́mbolos de Christoffel de una base de campos
{v1 , . . . , vn } a una base {w1 , . . . , wn }. Particularizar para el caso en el que la segunda base es la base
cartesiana. Caracterizar las bases en las cuales los sı́mbolos de Christoffel son nulos.
3