CARACTERISTICAS DE LOS CAMPOS CONSERVATIVOS

CARACTERISTICAS DE LOS CAMPOS CONSERVATIVOS
Para los intereses de la Física, los Campos Vectoriales se clasifican en dos grupos:
-CAMPOS VECTORIALES CONSERVATIVOS
.CAMPOS VECTORIALES NO CONSERVATIVOS
Los de más interés en la Física son los primeros. Por ello iniciamos definiéndolos:
Los Campos Vectoriales Conservativos, son aquéllos para los cuales la Integral de Línea del Campo
Vectorial vale cero para una trayectoria cerrada.
Los Campos Vectoriales Conservativos, son aquéllos para los cuales la Integral de Línea del Campo
Vectorial tiene el mismo valor para trayectorias que tienen los mismos puntos límites
Una condición suficiente para que la integral de línea tenga las propiedades anteriores, es que el campo
vectorial sea
derivable de una Función Escalar “Potencial”, es decir, si
CampoVectorial,
existe
una
función
r
F (x, y, z) = − ∇ ϕ (x, y, z) .
escalar
φ ( x, y, z ) que
r
F(x, y, z) es
cumple
la
el
relación:
r r
∇× F = 0.
Un Campo Vectorial será derivable de una Función Potencial si se cumple que su Rotacional es nula, es
decir se cumple que:
En la jerga de las Matemáticas, se demuestra que el hecho de aseverar que Un Campo Vectorial es
Conservativo, es equivalente a decir que ese campo es IRROTACIONAL.
r r
Y un campo es Irrotacional cuando se cumple: ∇ × F = 0 .
Realicemos un pequeño recordatorio:
El Campo Vectorial VECTOR DE POSICION, es el Campo vectorial que a cada punto del espacio le asocia
el vector cuyo origen se encuentra anclado al origen del sistema coordenado, y donde el extremo está
colocado en el punto al que está relacionado.
Se dice que este vector dá la posición de cualquier punto respecto al observador, a quien se le considera
anclado en el origen del sistema coordenado.
Si el punto P: (x,y,z) es un punto cualquiera del espacio, su vector de posición es dado por la expresión:
r
r = xiˆ + yˆj + zkˆ
La Figura 24 presenta ese vector de posición para el punto P:(x,y,z) cualquiera.
La función Vector de Posición puede derivarse y diferenciarse. La diferencial de esa función es dada según el
Cálculo Vectorial por:
r
d r = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ
y su interpretación es la de un desplazamiento infinitesimal hacia cualquier dirección a partir del punto
P: (x,y,z,), la Figura 25 muestra a ese vector.
El Operador Nabla o Del , dado por ∇ = iˆ
∂
∂
∂
+ ˆj + kˆ , se puede aplicar a Campos Vectoriales o
∂z
∂x
∂y
Escalares.
Cuando se aplica a Campos Escalares se obtiene la función GRADIENTE DE LA FUNCION ESCALAR.
Si se tiene el Campo Escalar
ϕ ( x, y, z) , al aplicarle el operador Nabla, se obtiene la función Gradiente
de φ, dada por:
∇ϕ =
∂φ
∂φ ˆ
∂φ
ˆj +
iˆ +
k
∂x
∂y
∂z
La aplicación del Operador Nabla nos interesa cuando se efectúa sobre Campos Vectoriales. La aplicación es
a través de las operaciones “producto escalar” y “producto vectorial”.
La aplicación por medio del producto escalar da como resultado la Función Divergencia.
La aplicación por medio del producto vectorial da como resultado la Función Rotacional.
Si la Función que da el Campo Vectorial es
r
F(x, y, z) , entonces la Divergencia resulta de la Operación:
r ∂ F ( x, y, z ) ∂ F2 ( x, y, z ) ∂ F3 ( x, y, z )
∇⋅F= 1
+
+
∂x
∂y
∂z
cuando la Función
r
F(x, y, z) cumple:
r
F(x, y, z) = F1 ( x, y, z ) iˆ + F2 ( x, y, z ) ˆj + F3 ( x, y, z ) kˆ
donde las funciones F1, F2, F3, son las Funciones Escalares Componentes de la Función
r
∇
⋅
F
En los países Europeos, en lugar del símbolo
r
div ( F ).
utilizan el símbolo
r
F(x, y, z) .
Del mismo modo, si la Función que da el Campo Vectorial es
la Operación:
iˆ
r ∂
∇×F =
∂x
F1
ˆj
∂
∂y
F2
r
F(x, y, z) , entonces la Rotacional resulta de
kˆ
∂
∂z
F3
En los países Europeos, se usa la notación:
r
-rot ( F(x, y, z) ), para representar
r
∇× F .
También se utiliza:
r
-curl( F(x, y, z) ).
INTERPRETACION FISICA DEL GRADIENTE.
¡UN PRODUCTO MUY INTERESANTE!
La clave de la interpretación Física del Gradiente se encuentra en el producto:
r
d r ⋅ ∇φ
en donde φ es un Campo Escalar.
Al realizar ese producto encontramos:
∂φ
∂φ
∂φ ˆ
r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d r ⋅ ∇φ = (dx i + dy j + dz k ) ⋅ ( i +
j + k)
∂x
∂y
∂z
al desarrollar el producto escalar tenemos:
∂φ
∂φ
∂φ
r
d r ⋅ ∇φ = dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
Para una función Escalar de tres variables independientes y una dependiente como la función φ(x,y,z), es
bien conocido que su diferencial cumple:
dφ =
∂φ
∂φ
∂φ
dx + dy +
dz
∂x
∂y
∂z
En consecuencia, se obtiene la siguiente relación:
r
d φ = d r ⋅ ∇φ
Esta última expresión será de vital importancia para la interpretación Física del Gradiente que daremos más
adelante.
¡Hagamos antes un poco más de matemáticas!
Una Función ψ (x, y), es una función escalar de dos variables independientes y una dependiente. La
gráfica de ella es una Superficie en el espacio de tres dimensiones, algunos ejemplos son:
Para ψ
(x, y) = x2 + y2
tenemos:
Que es la gráfica para un dominio rectangular de 20 unidades por lado. Esta figura fue creada con el paquete
DERIVE para Windows 95, así como todas las siguientes.
Para ψ
(x, y) = sin(x) sin(y) la Figura 27 da la gráfica.
El dominio en este caso es un rectángulo de 10 unidades por lado.
Cuando
Ψ ( x, y ) =
sin( x 2 + y 2 )
x2 + y2
gráfica es dada en la figura 28:
Las funciones del tipo anterior, φ
(x, y ), tienen la propiedad siguiente:
Al igualarlas con una constante, se obtiene una ecuación de la forma:
φ (x, y) = C
que constituye una “ECUACION IMPLICITA DE DOS VARIABLES”.
Este tipo de Ecuaciones permite a primera instancia despejar la variable “y” en términos de la variable “x”,
originando una función de la forma
y = f (x)
La cual constituye la “ecuación de la gráfica” de la función f (x ) , la Geometría Analítica nos permite
recordar que la Gráfica respectiva, es el lugar geométrico de una curva en el plano cartesiano.
Es evidente que para cada valor elegido de la constante C, la ecuación
bien determinada.
φ (x, y) = C , genera una curva
φ (x, y) para el valor C. Esta denominación está
fundada en el hecho (muy importante), que la función φ (x, y) toma el mismo valor C para todos los puntos
(x, y) existentes en la curva de nivel.
Esa curva se denomina “curva de nivel” de la función
Consideramos prudente ejemplificar este hecho con funciones concretas:
Sea φ(
x, y) = x2 + y2
A esta función la podemos igualar con una constante C positiva para que tenga sentido la búsqueda de la
gráfica, en especial podemos pensar que esa constante es el cuadrado de un número k
φ( x, y) = x2 + y2 = k2
Esa ecuación se convierte en la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio k.
Grafiquemos las ecuaciones resultantes cuando k toma los valores enteros 1, 2, 3 y 4 , es decir busquemos las
curvas de nivel de las siguientes ecuaciones:
φ(x, y) = x2 + y2 = 12
φ(x, y) = x2 + y2 = 22
φ(x, y) = x2 + y2 = 32
φ(x, y) = x2 + y2 = 42
Las curvas de nivel obtenidas, para esos valores se representan gráficamente en la Figura 29:
En la siguiente figura se ha desarrollado la gráfica de la función
cartesiano comprendido por el círculo de radio r=3.
φ ( x, y)
dentro del dominio del plano
Al mismo tiempo se dan 3 curvas de nivel correspondientes a los valores de la constante k = 1, 2, y 3.
Esa Figura se generó con ayuda del paquete de CAD Cadwin Stratégies. Para hacerlo, se trazó la parábola
generatriz de la Gráfica de φ
superficie de gráfica.
( x, y) en el plano ZX, enseguida por rotación alrededor del eje Z se generó la
Las curvas de nivel, se proyectaron sobre la gráfica, utilizando la propiedad que ellas tienen la misma imagen
para todos los puntos de la curva de nivel.
Para el caso de la curva caracterizada por k=1, se usó la elevación de proyección z=1, para la curva con k=2,
se usó la elevación z=4, y finalmente para k=3, se usó z=9.
Esta altura de elevación se eligió, porque por ejemplo, para k=1, la curva de nivel contiene al punto (1,0), el
cual tiene la imagen φ (1,0) = 1 + 0 =1 + 0 =1 y como todos los puntos de esa curva tienen la
misma imagen, entonces la elevación aconsejada es precisamente z=1.
2
2
Evidentemente, para k=2, la curva de nivel pasa por el punto (2,0) cuya imagen es
φ (2,0)= 22 + 02 =
4, provocando una altura de elevación de z=4. Mientras que para k=3, uno de los puntos de la curva es (3,0)
cuya imagen es φ (3,0) = 9, siendo ésta la elevación elegida.
Este proceso, nos permite demostrar que las curvas de nivel, constituyen otra forma de caracterizar las
funciones φ ( x, y ) , sin necesidad de recurrir a la gráfica en 3 dimensiones, haciéndolo en el espacio de 2
dimensiones (el plano Cartesiano).
φ ( x, y) por
medio de una familia de curvas del Plano Cartesiano. Ellas representan zonas en las que la función φ ( x, y)
Las Curvas de Nivel permiten representar de una manera muy conveniente, las funciones
toma valores constantes, y donde además, todos los puntos de una misma curva de nivel, tienen la misma
imagen, es decir tienen asociado el mismo escalar.
REPRESENTACION DE CAMPOS ESCALARES
En el caso de las funciones de “tres variables independientes univaluadas”, que hemos llamado Campos
Escalares, y son funciones de la forma φ (x, y, z ) , aparece un problema interesante, su gráfica está en el
espacio de 4 dimensiones, no pudiendo representarse esquemáticamente.
Este problema de representación, se puede rebasar por medio de un artificio:
Generalizar lo que sucede con las funciones φ
(x, y) de dos variables independientes univaluadas.
En efecto, las curvas de nivel constituyen una representación en el espacio de dos dimensiones de una función
cuya gráfica es un subconjunto del Espacio Tridimensional.
El artificio consiste en lo siguiente:
Primero, la gráfica de una función
φ (x, y, z)
es una hipersuperficie subconjunto del espacio
4
tetradimensional R , no se puede dibujar porque simplemente, no podemos representar 4 ejes
perpendiculares entre sí.
Segundo, si generalizamos el concepto de Curvas de Nivel en el Plano Cartesiano, debemos tener las
Hipercurvas de Nivel de la función φ
(x, y, z) en el espacio de Tres dimensiones, que no son otra cosa que
3
superficies en el espacio R .
Podría pensarse que la generalización de una curva en el Plano Cartesiano sería otra curva pero en el espacio
de tres dimensiones, sin embargo, una curva en el espacio es representada por un conjunto de tres ecuaciones
⎧ x = x (t )
⎪
paramétricas ⎨ y = y (t ) , las cuales son la generalización lógica, del conjunto de 2 ecuaciones paramétricas,
⎪ z = z (t )
⎩
que representan un curva en el plano, ellas tienen la forma:
⎧ x = x (t )
.
⎨
⎩ y = y (t )
Las funciones φ
(x, y, z) tienen asociadas para su representación, SUPERFICIES DE NIVEL, las cuales
se obtienen al igualar con una constante la función φ (x, y, z) , es decir, se obtienen de las ecuaciones:
φ (x, y, z) = C
donde C puede tomar valores dentro del intervalo
]− ∞ , + ∞[
, es decir, toma valores cualesquiera dentro
del conjunto de los números reales R. Por ello, el número de Superficies de Nivel es infinito.
Se asevera que las Superficies de Nivel son en realidad, superficies del espacio tridimensional, porque a
partir de la ecuación φ (x, y, z) = C, podemos despejar la variable z, ya que esa ecuación es en realidad
una Función Implícita de tres variables del tipo F ( x, y , z ) = 0 , y de la teoría de funciones implícitas, se
sabe que al tener una de esas funciones, es posible despejar una de esas variables en términos de las otras dos.
Es decir, se pueden obtener las ecuaciones:
x = x( y , z )
y = y ( x, z )
z = z ( x, y )
Nuestro interés va dirigido hacia la última ecuación, z
función f (x , y), donde
tres dimensiones.
= z(x , y), que es la ecuación de la gráfica de una
z = f (x , y), y resulta como vimos ya antes, una superficie en el espacio de
Por simple generalización, todos los puntos de una superficie de nivel tienen el mismo valor de imagen, y ese
valor es precisamente la constante C a la que se iguala φ
(x, y, z) para obtener la ecuación:
φ (x, y, z) = C
que es la ecuación de la superficie de nivel.
Así, un Campo Escalar φ (x, y,
ecuación general toma la forma:
z) , puede representarse por una familia de “Superficies de Nivel”, cuya
φ (x, y, z) = C
y la cual, sobre todos los puntos de cada superficie de nivel, la función φ
(x, y, z)
tiene el mismo valor.
Demos un ejemplo para concretar estas propiedades:
Sea φ
(x, y, z) = x2 + y2 + z2 mostremos que forma tienen sus Superficies de Nivel:
Igualemos φ
(x, y, z) = x2 + y2 + z2 con una constante C. Obligatoriamente ella debe ser positiva, ya
que el despeje nos daría
z = C − x 2 − y 2 , y cuando C es negativa, se trata de buscar la raíz de un número
negativo real, el cual no existe.
En consecuencia, sólo son permisibles los valores positivos de la constante C, de ahí que podemos suponer
que esa constante es el resultado de elevar al cuadrado una constante k, es decir se permite el despeje:
z = k 2 − x2 − y2
En la Figura 31 se muestran las Superficies de Nivel para los valores de k = 10, 20, 30 y 40, cuando k es la
constante que cumple:
φ ( x, y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 = k 2
donde se ha substituido por la constante C, la constante k2.
Desde luego, las ecuaciones φ ( x, y, z ) = x + y + z = k
centradas en el origen del sistema coordenado con radio k.
2
2
2
2
corresponden a esferas tridimensionales
Nota: Las flechas amarillas indican los radios de las generatrices que originaron las superficies de nivel en el paquete Cadwin Stratégies.
INTERPRETACION DE LA FUNCION GRADIENTE
Pasaremos ahora a analizar la Función Gradiente de un Campo Escalar:
∇ φ ( x, y , z ) =
∂φ
∂φ
∂φ ˆ
ˆj +
iˆ +
k
∂x
∂y
∂z
para ello, partiendo de un punto P:
obtenemos:
(x0, y0, z0),
∇ φ ( x0 , y 0 , z 0 ) =
y si en ese punto evaluamos la función gradiente,
∂φ ( x 0 , y 0 , z 0 )
∂φ ( x 0 , y 0 , z 0 )
∂φ ( x 0 , y 0 , z 0 )
ˆj +
iˆ +
kˆ
∂z
∂x
∂y
esa función evidentemente le asocia al punto P: (x0, y0, z0), un vector, de ese vector nos interesarán sus
atributos principales, a saber, magnitud, dirección y sentido.
Para ayudarnos a encontrar esos atributos, es necesario utilizar la expresión fundamental:
r
d φ = d r ⋅ ∇φ
donde
dφ
y, z), bajo la función φ (x, y, z), cuando
( x + dx , y + dy , z + dz) , es decir es el valor
es el cambio sufrido por la imagen del punto (x,
nos desplazamos del punto
de la siguiente diferencia:
( x , y , z ) , hacia el punto
φ ( x + dx , y + dy , z + dz) − ϕ ( x, y, z )
dφ .
la cual se identifica con
Como ya hemos analizado, φ (x, y, z) es tal que, sobre una superficie de nivel, φ tiene al mismo valor
para todos los puntos de ella. Así, si nos desplazamos sobre una de las superficies de nivel, tenemos:
ϕ ( x + dx , y + dy , z + dz) − ϕ ( x, y, z ) = 0
porque el punto inicial
imagen.
( x , y , z)
y el punto final
El vector de desplazamiento que va del punto
vector:
( x + dx , y + dy , z + dz)
( x , y , z)
al punto
tienen ambos, la misma
( x + dx , y + dy , z + dz) , es el
r
d r = dx iˆ + dy ˆj + dz kˆ
En consecuencia, como
r
d φ = d r ⋅ ∇φ
Superficie de Nivel, se cumple que
a cero, es decir:
dφ
, entonces para un desplazamiento sobre la superficie de una
es nula, implicando a su vez que el producto
r
d r ⋅ ∇φ
sea igual
r
d r ⋅ ∇φ = 0
r
Por otro lado, tanto d r como ∇φ no son vectores nulos, como se ve en la Figura 32, entonces, el hecho
que su producto escalar sea cero, significa que ellos son perpendiculares.
Además como el desplazamiento es sobre la superficie,
r
d r es paralelo a la superficie, por ello está sobre un
∇ϕ
plano tangente a la Superficie de Nivel en el punto (x, y, z). Y como
es perpendicular a los vectores
∇ϕ , es obligatoriamente perpendicular al plano tangente a la Superficie de
Nivel, esto significa que ∇ϕ es perpendicular a la Superficie de Nivel en el Punto (x, y, z).
r
dr
escogidos, entonces
Esto da un significado de gran interés para el Gradiente de una función:
El Gradiente de una Función da un Vector Normal a la superficie de Nivel, en el punto exacto donde se da el
valor de esa función gradiente.
Es decir, si en el punto
P de Coordenadas (x0, y0, z0), se calcula el gradiente
∇ϕ
Vector resultante es un Vector Normal a la Superficie de Nivel que pasa por el punto P:
cual pertenece a la familia de superficies que representa a la función φ
∇ϕ
de la función
ϕ , el
(x0, y0, z0), y la
(x, y, z).
para diferentes puntos sobre una Superficie de Nivel.
En la Figura 33 se muestran los vectores
Siempre este vector es perpendicular a la superficie.
Figura 33