2.8. Rotacional y Divergencia de un campo vectorial F y sus

2.8. Rotacional y Divergencia de un campo vectorial F y sus propiedades.
2.8.1. Rotacional: Definición y propiedades.
Definición.
Sea
F
un
campo
vectorial
dado
por
F : D ⊂ ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , donde F1 , F2 y F3
tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. El rotacional del campo F está
dado por
 ∂F ∂F   ∂F ∂F 
 ∂F ∂F 
rot ( F ) = ∇ × F =  3 − 2  iˆ +  1 − 3  ˆj +  2 − 1  kˆ
∂z   ∂z ∂x 
 ∂y
 ∂x ∂y 
Para recordar mejor el vector del rotacional de F, se puede considerar el desarrollo del
siguiente determinante
iˆ
∂
rot ( F ) = ∇ × F =
∂x
F1
ˆj
∂
∂y
F2
kˆ
∂  ∂F3 ∂F2  ˆ  ∂F1 ∂F3  ˆ  ∂F2 ∂F1  ˆ
=
−
−
j+
−
i +
k
∂z  ∂y
∂z   ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
F3
Propiedades del Rotacional.
1. Si el campo escalar f ( x, y, z ) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
G
entonces el rot ( ∇f ) = 0 .
G
2. Si F ( x, y, z ) es un campo vectorial conservativo entonces rot ( F ) = 0 .
3. Si el campo vectorial F ( x, y, z ) es una función definida sobre todo ℜ3 cuyas
G
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot ( F ) = 0 entonces F es un
campo vectorial conservativo.
El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la
función vectorial F ( x, y, z ) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se
interpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto ( x0 , y0 , z0 ) .
G
Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot ( F ) = 0 entonces se dice
que el fluido es irrotacional.
EJEMPLO 63. Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( 0, cos ( xz ) , − sen ( xy ) ) determine
su rotacional.
Solución. Al aplicar la definición del rotacional se obtiene el siguiente vector que lo
representa
 ∂
  ∂
 ∂

∂
∂
∂

rot ( F ) =  ( − sen ( xy ) ) − ( cos ( xz ) )  iˆ +  ( 0 ) − ( − sen ( xy ) )  ˆj +  ( cos ( xz ) ) − ( 0 )  kˆ
∂
y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y


 


ˆ
ˆ
ˆ
= ( − x cos ( xy ) + xsen ( xz ) ) i + ( y cos ( xy ) ) j + ( − zsen ( xz ) ) k
= x ( sen ( xz ) − cos ( xy ) ) iˆ + y cos ( xy ) ˆj − zsen ( xz ) kˆ
EJEMPLO
Determine
64.
si
el
campo
vectorial
definido
por
F ( x, y, z ) = ( 2 xy, x 2 + 2 yz, y 2 ) es un campo conservativo.
Solución. Por propiedades del rotacional, un campo vectorial es conservativo si
G
rot ( F ) = 0 , para demostrarlo aplicamos la definición del rotacional para calcularlo.
 ∂
 ∂
 ∂

∂
∂
∂

rot ( F ) =  ( y 2 ) − ( x 2 + 2 yz )  iˆ +  ( 2 xy ) − ( y 2 )  ˆj +  ( x 2 + 2 yz ) − ( 2 xy )  kˆ
∂z
∂x
∂y

 ∂y
  ∂z
 ∂x

= ( 2 y − 2 y ) iˆ + ( 0 − 0 ) ˆj + ( 2 x − 2 x ) kˆ
= 0iˆ + 0 ˆj + 0kˆ
En donde queda demostrado que F ( x, y, z ) = ( 2 xy, x 2 + 2 yz, y 2 ) es un campo
conservativo.
EJEMPLO
65.
Demuestre
que
cualquier
campo
vectorial
definido
por
F ( x, y, z ) = ( f ( x ) , g ( y ) , h ( z ) ) , donde f , g y h son funciones derivables, es
irrotacional.
Solución. Se dice que un campo vectorial es irrotacional si se de muestra que
G
rot ( F ) = 0 , al aplicar la definición el rotacional se obtiene
 ∂
 ∂
 ∂

∂
∂
∂

rot ( F ) =  ( h ( z ) ) − ( g ( y ) )  iˆ +  ( f ( x ) ) − ( h ( z ) )  ˆj +  ( g ( y ) ) − ( f ( x ) )  kˆ
∂z
∂x
∂y

 ∂y
  ∂z
 ∂x

ˆ
= 0iˆ + 0 ˆj + 0k
Por lo que se puede afirmar que el campo es irrotacional.
2.8.2. Divergencia: Definición y propiedades.
Definición.
Sea
F
un
campo
vectorial
definido
por
F : ℜ3 → ℜ3 / F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , donde, F1 , F2 y F3
tienen derivadas parciales continuas en alguna región R. La divergencia de F se denota
por div F, o por ∇ ⋅ F , y esta dado por
div ( F ) = ∇ ⋅ F =
∂F1 ∂F2 ∂F3
+
+
∂x ∂y
∂z
Propiedades de la Divergencia.
1. Si F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y , z ) , F2 ( x, y , z ) , F3 ( x, y, z ) ) es un campo vectorial sobre ℜ3 , y
F1 , F2 y F3 tienen derivadas parciales continuas de segundo orden entonces la
div ( rot ( F ) ) = 0 .
2. Si f ( x, y, z ) es un campo escalar, la divergencia de su campo vectorial gradiente
div ( ∇f ) , está dado por
∂2 f ∂2 f ∂2 f
div ( ∇f ) = ∇ ⋅∇f = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
2
Expresión que se suele abreviar por ∇ f , en donde al operador ∇ 2 f , se le denomina
como operador de Laplace. Este operador también puede ser empleado a un campo
vectorial F ( x, y, z ) = ( F1 ( x, y, z ) , F2 ( x, y, z ) , F3 ( x, y, z ) ) , aplicándolo a cada una de sus
funciones componentes, esto es
∇ 2 F = ( ∇ 2 F1 , ∇ 2 F2 , ∇ 2 F3 )
En la mecánica de los fluidos si el campo de velocidades del fluido viene dado por el
campo vectorial F, se la div ( F ) = 0 se dice que el fluido es incompresible.
EJEMPLO 66. Sea el campo vectorial F ( x, y, z ) = ( e x sen ( y ) , e x cos ( y ) , z ) determine
su divergencia.
Solución.
div ( F ) =
∂ x
∂
∂
e sen ( y ) ) + ( e x cos ( y ) ) + ( z )
(
∂x
∂y
∂z
= e x sen ( y ) − e x sen ( y ) + 1
=1
EJEMPLO
67.
Demuestre
que
cualquier
campo
vectorial
F ( x, y, z ) = ( f ( y, z ) , g ( x, z ) , h ( x, y ) ) , es incompresible.
Solución.
∂
∂
∂
f ( y , z ) ) + ( f ( x, z ) ) + ( f ( x , y ) )
(
∂x
∂y
∂z
=0
div ( F ) =
EJERCICIOS PROPUESTO 2.8
1)
2)
3)
definido
por