Tema 12: Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial Definición

Definición
El operador nabla
Tema 12:
Teoremas de Integración del Cálculo Vectorial
Se conoce como operador nabla al pseudo-vector
→
−
∇ =
Juan Ignacio Del Valle Gamboa
Sede de Guanacaste
Universidad de Costa Rica
Ciclo I - 2012
Gradiente de un campo escalar
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z
I
Es un operador vectorial, que se aplica sobre campos escalares y
campos vectoriales.
I
En la forma definida anteriormente, sólo se puede utilizar sobre
campos escalares y vectoriales definidos en coordenadas
cartesianas.
I
Existen otras expresiones para el operador nabla en coordenadas
cilíndricas, esféricas, etc.
Rotacional de un campo vectorial
Definición
El gradiente de un campo escalar w = f (x, y, z) se define como el
vector:
−→
∇w =
∂w ∂w ∂w
,
,
∂x ∂y ∂z
I
El gradiente de un campo escalar es el campo vectorial que
indica la dirección y magnitud de la máxima derivada direccional
para los puntos del dominio de w = f (x, y, z).
I
El vector gradiente de una función de dos dimensiones
z = f (x, y) es perpendicular a las curvas de nivel de f .
I
El vector gradiente de una función de tres dimensiones
w = f (x, y, z) es perpendicular a las superficies de nivel de w.
Definición
Se define como el rotacional del campo vectorial
−−−−−→
F(x, y, z) = (Fx , Fy , Fz ) al vector
−−−−−→
~ × ~F
rot F(x, y, z) = ∇
~i ~j ~k −−−−−→
∂
∂
∂ rot F(x, y, z) = ∂x
∂y
∂z F F F x
y
z
−−−−−→
∂Fz ∂Fy ∂Fx ∂Fz ∂Fy ∂Fx
rot F(x, y, z) =
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
Intepretación del rotacional
Divergencia de un campo vectorial
El valor del rotacional de un campo vectorial en un punto indica la
circulación del campo por unidad de área en ese punto. En otras
palabras, describe si las líneas de campo describen remolinos en ese
punto, y en qué dirección sería el sentido de ese giro.
Definición
Se define a la divergencia de un campo vectorial
−−−−−→
F(x, y, z) = (Fx , Fy , Fz ) a la expresión
−−−−−→
−
~ ·→
div F(x, y, z) = ∇
F
−−−−−→
∂Fx ∂Fy ∂Fz
div F(x, y, z) =
+
+
∂x
∂y
∂z
Interpretación de la divergencia
Laplaciano de un campo escalar
La divergencia de un campo vectorial en un punto dado es positiva si
ese punto es una fuente de líneas de campo, y será negativa si el punto
es un sumidero de líneas de campo.
Definición
Se define como el Laplaciano de un campo escalar w = f (x, y, z) a la
cantidad
→
~ ·−
∇2 w = ∇
∇w
∂ 2 w ∂ 2 w ∂z2
∇2 w =
+ 2 + 2
∂x2
∂y
∂z
Campo magnético
Campo eléctrico
Orientación de superficies y sus curvas frontera
El Teorema de Stokes o del Rotacional
Teorema
Convención: curvas y superficies orientadas
Sea δS una curva cerrada simple que es la frontera de una superficie S.
Si se recorre a δS en el sentido contrario a las manecillas del reloj, el
lado positivo de S quedará al lado izquierdo, siguiendo la regla de la
mano derecha.
Aplicación del Teorema de Stokes
−−−−−→
La integral de línea de un campo vectorial F(x, y, z) a lo largo de una
curva cerrada, simple y orientada δS es igual a la integral de superficie
del rotacional del campo vectorial sobre una superficie orientada S
para la cual δS es su frontera.
I
δS
~ =
~F · ds
Z Z
S
~
(∇ × ~F) · dS
El Teorema de Green
Ley de Ampère
Si la densidad de corriente eléctrica está descrita
por un campo vectorial ~J y el campo magnético
~ entonces la circulación de H
~
inducido es H,
alrededor de la frontera C de una superficie S es
igual a la integral de ~J sobre S.
~ ×H
~ = ~J
∇
Teorema
El Teorema de Green es la simplificación del Teorema de Stokes para
las curvas, superficies y campos vectoriales en el plano R2 .
I
Z Z
~ × ~F) · dS
~
(∇
I
Z Z ∂F
∂F
y
x
~ =
~F · ds
−
dA
∂x
∂y
C
D
C
~ =
~F · ds
D
El Teorema de Gauss o de la Divergencia
Aplicaciones del Teorema de Gauss en Electromagnetismo
Teorema
El flujo neto de un campo vectorial ~F a través de una superficie
cerrada δR orientada con sus normales hacia afuera, es igual a la
integral triple de la divergencia de ~F evaluada sobre el volumen R
encerrado por la superficie.
Z Z
δR
~ =
~F · dS
Z Z Z
~ · ~F)dV
(∇
R
Las Leyes de Maxwell: forma integral
1. Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de superficie cerrada es igual a la
carga
{
S
E · dA
=
Q
0
~ · ~E =
∇
ρ
0
~ ·H
~ = 0
∇
La divergencia del campo magnético
es cero: no existen los monopolos
magnéticos
La divergencia del campo eléctrico es
la densidad de carga por unidad de
volumen
Las Leyes de Maxwell: forma diferencial
1. Ley de Gauss: La divergencia del campo eléctrico es la densidad de carga
∇·E
=
ρ
0
2. Ley de Gauss: La divergencia del campo magnético es nula
2. Ley de Gauss: El flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es cero
{
S
B · dA
=
3. Ley de Faraday: Campos magnéticos variables inducen campos eléctricos.
{
δS
E · ds
=
−
x ∂B
· dA
∂t
S
4. Ley de Ampère: La corriente eléctrica induce campos magnéticos
I
dS
B · dS
=
µ0 I + µ0 0
∇·B
0
x ∂E
· dA
∂t
S
=
0
3. Ley de Faraday: El rotacional del campo eléctrico es la variación temporal del campo
magnético.
∇×E
=
−
∂B
∂t
4. Ley de Ampère: El rotacional del campo magnético es la densidad de corriente eléctrica
más la corriente de desplazamiento
∇×B
=
µ0 J + µ0 0
∂E
∂t
Anexo: Identidades básicas del análisis vectorial1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
1
∇(f + g) = ∇f + ∇g
∇cf = c∇f , para c ∈ R.
∇(fg) = f ∇g + g∇f
∇(f /g) = (g∇f − f ∇g)/g2 , para todo x tal que g(x) 6= 0
~ = div ~F + div G
~
div (~F + G)
~ = rot ~F + rot G
~
rot (~F + G)
div (f ~F) = f div~F + ~F · ∇f
~ =G
~ · rot ~F − ~F · rot G
~
div (~F × G)
~ · (∇
~ × ~F) = 0
div rot ~F = ∇
rot (f ~F) = f rot ~F + ∇f × ~F
rot ∇f = ~0
∇2 (fg) = f ∇2 g + g∇2 f + 2(∇f · ∇g)
div (∇f × ∇g) = 0
div (f ∇g − g∇f ) = f ∇2 g − g∇2 f
Marsden, J. y Tromba, A. Cálculo Vectorial. 4 edición, Prentice-Hall
Anexo: Divergencia en coordenadas cilíndricas3
Anexo: Vector gradiente en coordenadas cilíndricas2
Definición
Sea w = f (r, θ, z) un campo escalar definido en función de las
coordenadas cilíndricas. Entonces,
~ =
∇w
2
∂w
∂r
1
er +
r
∂w
∂θ
eθ +
∂w
∂z
ez
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delcyl.pdf
Anexo: Rotacional en coordenadas cilíndricas4
Definición
Definición
~ = [Wr (r, θ, z), Wθ (r, θ, z), Wz (r, θ, z)] un campo vectorial
Sea W
definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces,
~ =
∇·W
3
~ = [Wr (r, θ, z), Wθ (r, θ, z), Wz (r, θ, z)] un campo vectorial
Sea W
definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces,
∂W
∂W
1
z
θ
~ =
∇×W
−
ez
r ∂θ
∂z
∂Wr
∂Wz
+
−
eθ
∂z
∂r
1 ∂
1 ∂Wr
+
ez
(rWθ ) −
r ∂r
r ∂θ
1 ∂Wθ
∂Wz
1 ∂
(rWr ) +
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delcyl.pdf
4
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delcyl.pdf
Anexo: Vector gradiente en coordenadas esféricas5
Definición
Definición
Sea w = f (ρ, φ, θ) un campo escalar definido en función de las
coordenadas cilíndricas. Entonces,
~ =
∇w
5
∂w
∂ρ
1
eρ +
ρ
∂w
∂φ
1
eφ +
ρ sin(φ)
∂w
∂θ
eθ
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delsph.pdf
Anexo: Rotacional en coordenadas esféricas7
Definición
~ = [Wρ (ρ, θ, z), Wφ (ρ, φ, θ), Wθ (ρ, φ, θ)] un campo vectorial
Sea W
definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces,
∂A
1
∂(A
sin(φ)
φ
θ
~ =
∇×W
−
eρ
ρ sin(φ)
∂φ
∂θ
∂Aρ
1
∂(ρAθ )
+
− sin(φ)
eφ
ρ sin(φ) ∂θ
∂ρ
1 ∂(ρAφ ∂Aρ
+
−
eθ
ρ
∂ρ
∂φ
7
Anexo: Divergencia en coordenadas esféricas6
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delsph.pdf
~ = [Wρ (ρ, θ, z), Wφ (ρ, φ, θ), Wθ (ρ, φ, θ)] un campo vectorial
Sea W
definido en función de las coordenadas cilíndricas. Entonces,
~ =
∇·W
6
∂[Wφ sin(φ)]
1 ∂(ρ2 Wρ )
1
1
∂Aθ
+
+
2
r
∂ρ
ρ sin(φ)
∂φ
ρ sin(φ) ∂θ
http://www.csupomona.edu/~ajm/materials/delsph.pdf