Campos vectoriales.

Campos vectoriales.
Un campo vectorial en Rn es una función F : D ⊂ Rn → Rn que asigna a cada punto
x = (x1 , . . . , xn ) ∈ D un vector F (x). Ası́ pues, todo campo vectorial en Rn tiene n
componentes
F (x) = (F1 (x), . . . , Fn (x)),
cada una de las cuales es un campo escalar.
Ejemplos de campos vectoriales son:
a) Si un fluido se mueve en un recipiente, cada partı́cula tiene una velocidad v(x, y, z),
la cual es un vector que depende de la posición (x, y, z) de la partı́cula en cada
momento.
b) Si en un recipiente se aplica una fuente de calor, la temperatura en cada punto
(x, y, z) es un campo escalar T (x, y, z). El flujo de calor viene dado por un campo
vectorial de ecuación J(x, y, z) = −k · ∇T (x, y, z), donde k > 0 es una constante,
llamada conductividad (el signo negativo indica que el calor fluye desde la parte
más caliente hacia la más frı́a).
c) El campo de fuerzas gravitacional que producen dos masas m y M sobre un punto
m·M ·G
· (x, y, z), donde
(x, y, z) es un campo vectorial de ecuación F = −
|(x, y, z)|3
G es la constante de gravitación universal. En este caso, F = −∇V , donde
m·M ·G
V =−
.
|(x, y, z)|
d) El campo vectorial F (x, y) = (−y, x) representa el movimiento giratorio de un
punto (x, y) en el plano.
En los ejemplos (b) y (c), los campos vectoriales son campos gradientes de funciones
escalares. En general, si F = ∇f , decimos que f es el potencial del campo vectorial F .
En un campo vectorial F , se llama lı́nea de flujo a cualquier trayectoria σ(t) tal que
σ 0 (t) = F (σ(t)).
De este modo, F representa el campo de velocidad de la trayectoria σ(t).
Operadores divergencia y rotacional.
Si F = (F1 , F2 , F3 ) es un campo vectorial en R3 , se define el rotacional de F al campo
vectorial
rot F = ∇ × F.
Un campo vectorial se llama irrotacional cuando rot F = 0.
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Análogamente, se define la divergencia de F al campo escalar
div F = ∇ · F.
Si div F = 0, se dice que F es un campo vectorial incompresible.
Propiedades. a) Si f es un campo escalar de clase C (2) , entonces rot(∇f ) = 0. Recı́procamente, si rot F = 0, entonces F es conservativo, es decir existe un campo escalar f
tal que ∇f = F .
b) Si F es un campo vectorial de clase C (2) , entonces div(rot F ) = 0. Recı́procamente,
si div F = 0, entonces existe un campo vectorial G tal que rot G = F .
La primera parte del apartado (a) es consecuencia del teorema de Schwarz de la igualdad de las derivadas de segundo orden cruzadas. Para la segunda parte, basta resolver
∂f
∂f
∂f
el sistema
= F1 ,
= F2 ,
= F3 .
∂x
∂y
∂z
La primera parte del apartado (b) también es trivial y, para la segunda parte, basta
definir
Z z
Z y
G1 (x, y, z) =
F2 (x, y, t) dt −
F3 (x, t, 0) dt,
0
0
Z z
F1 (x, y, t) dt,
G2 (x, y, z) = −
0
G3 (x, y, z) = 0.
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