Teorema de Helmholtz

Teorema de Helmholtz
El teorema de Helmholtz demuestra que el conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo vectorial es condición suficiente para conocer el campo vectorial en todo el espacio. Ası́mismo, el campo puede
descomponerse en una parte irrotacional y una parte solenoidal, o bien longitudinal y transversal, respectivamente.
Para demostrar el teorema vamos a hacer uso de una relación vectorial conocida y el teorema de unicidad del
potencial. Este teorema se demostrará en el capı́tulo “Teorı́a del Potencial”, tema 12 del presente programa.
Sea la función auxiliar F (r), continua, definida en todo el espacio. Apliquemos la conocida relación vectorial:
∇ × ∇ × F = ∇(∇ · F ) − ∇2 F
(1)
a esta función. Definamos
V = −∇2 F
,
U =∇·F
,
W =∇×F
(2)
Podemos reescribir la ecuación (1) como:
V = −∇U + ∇ × W
(3)
Hemos escrito el vector V como la suma de una parte irrotacional y una parte solenoidal. Hallemos la divergencia
de V :
∇ · V = −∇2 U
(4)
Pero esta es la ecuación de Poisson. Si el vector V está definido en todo el espacio y tiende a cero en el infinito, la
solución de esta ecuación es:
Z
1
∇0 · V (r 0 )
U (r) =
d3 r 0
(5)
4π
|r − r 0 |
Si hallamos el rotacional,
∇ × V = −∇2 W
(6)
ya que la divergencia de W es cero a partir de su definición. Nuevamente obtenemos la ecuación de Poisson. La
solución para W es:
Z
1
∇0 × V (r 0 )
W (r) =
(7)
d3 r 0
4π
|r − r 0 |
con lo que el teorema queda demostrado. Conociendo la divergencia y el rotacional de V en todo el espacio
es posible obtener el campo vectorial V en todo el espacio y éste consiste de dos partes, una irrotacional y una
solenoidal.
¿En qué punto hemos utilizado el teorema de unicidad del potencial? Dicho teorema se refiere a la ecuación
de Poisson (o Laplace) y nos garantiza que si conocemos la laplaciana de una función (U o W en nuestro caso),
la solución integral que hemos escrito nos garantiza que dicha solución es única. Es decir, tanto U como W están
unı́vocamente definidas y por tanto el campo vectorial V está unı́vocamente definido a partir de su divergencia y
rotacional. No hay otra solución posible.
Andrés Cantarero, octubre de 2004.