1 Prob - Departamento de Matemáticas

Universidad de los Andes
Departamento de Matemáticas
MATE1207 Cálculo Vectorial
Solución Examen Final — (29/11/2006) 1
Prob.
Valor
1
8
2
10
3
10
4
10
5
12
Total
50
Puntos
Nombre:
Código:
Sección:
1. Encuentre las dimensiones de la caja rectangular (con tapa) de máximo volumen si su área
superficial es de 64 cm2 .
Solución
Sean x, y, y z las dimensiones de los lados de la caja, v el volumen de la caja y a el área
superficial. Entonces
v = f (x, y, z) = xyz
a = 2xy + 2xz + 2yz = 64
g(x, y, z) = xy + xz + yz = 32
Usando el método de multiplicadores de Lagrange tenemos,
∇f = hyz, xz, xyi ∇g = hy + z, x + z, x + yi

yz = λ(y + z),
entonces xyz = λx(y + z) (1);



xz = λ(x + z),
entonces xyz = λy(x + z) (2);
xy
=
λ(x
+
y),
entonces xyz = λz(x + y) (3);



xy + xz + yz = 32, entonces xy + xz + yz = 32 (4);
Si λ = 0, entonces el volumen serı́a cero (no tendrı́amos ninguna caja), por lo tanto
supondremos que λ 6= 0
p
De (1), (2) y (3) se obtiene x = y = z y de (4) se obtiene 3x2 = 32 ⇒ x = 32/3
p
p
Respuesta: x = y = z = 32/3 = 4 2/3 cm.
2. Considere el sólido E dentro de la esfera x2 + y 2 + z 2 = 4 que está sobre el plano z = 1,
es decir E = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 ≤ 4, z ≥ 1}.
[6 puntos ] Plantee la integral triple para calcular el volumen del sólido E en:
(a) Coordenadas cartesianas.
(b) Coordenadas cilı́ndricas.
(c) Coordenadas esféricas.
[4 puntos ] Escoja una de las integrales anteriores y calcule el volumen de E.
Solución.
1
El juramento del uniandino dice: “Juro solemnemente abstenerme de copiar o de incurrir en actos que pueden
conducir a la trampa o al fraude en las pruebas académicas, o en cualquier otro acto que perjudique la integridad
de mis compañeros o de la misma Universidad”
[6 puntos ]
Z √3 Z
(a)
√
(b)
Z √4−x2 −y2
3−x2
√
− 3 − 3−x2 1
√
Z 2π Z 3 Z √4−r2
0
(c)
√
Z
0
Z
0
rdzdrdθ
1
0
2π
dzdydx
π/3 Z 2
ρ2 sin φ dρdφdθ
sec φ
[4 puntos ]
Z
Respuesta:
2π
0
Z
0
√
3Z
√
4−r 2
rdzdrdθ = 2π
1
Z
√
3
(r
0
p
4 − r 2 − r)dr =
5π
3
5π
3
3. Considere la superficie S definida por z = f (x, y) = 4 − x2 − y 2 ,
arriba (sentido positivo del eje z). Sea F el campo vectorial
z ≥ 0, orientada hacia
F(x, y, z) = hx, z, xyzi
Calcule,
ZZ
rot(F) · dS
S
Nota:
La superficie S no tiene tapa inferior.
Solución.
Sea D el disco, x2 + y 2 ≤ 4, z = 0. Sea S ⋆ = S ∪ D, entonces
ZZ
ZZ
ZZ
rot(F) · dS =
rot(F) · dS −
rot(F) · dS
S
S⋆
D
Aplicando el teorema de Gauss la primera integral es cero pues la divergencia del rotacional
es cero, ∇ · (∇ × F) = 0. La segunda integral también es cero pues la tercera componente
del rotacional es cero y el vector normal n al disco es n = −k, por lo tanto su producto
punto es cero.
ZZ
Respuesta:
rot(F) · dS = 0
S
4. Cierta región montañosa tiene por función altura
h(x, y) = x2 y para, 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 4, ambas coordenadas en kilómetros. Se dibuja
la curva r(t) = ht, (10/3)t3 i, sobre el plano xy, en el mapa topográfico de la región (curvas
de nivel de la altura) y se pretende construir una carretera en la montaña cuya proyección
sobre el plano xy sea esta curva.
[6 puntos ] Cuál es la pendiente de la carretera en el punto (1, 10/3, 10/3). (Ayuda: Use
la derivada direccional.)
2
[4 puntos ] En cuál dirección habrı́a que moverse desde el punto (1, 10/3, 10/3) para
descender lo más rápido posible?. Justifique.
Solución.
Sea P (1, 10/3)
[6 puntos ] La pendiente pedida es la derivada direccional en la dirección de la carretera.
u=
1
1
20
10
50
r′ (1)
=√
h1, 10i ⇒ Du h(P ) = ∇h(P )·u = h , 1i·h √
,√
i= √
′
|r (1)|
3
101
101
101
3 101
Respuesta:
50
√
3 101
[4 puntos ] La dirección pedida es la dirección contraria a la del gradiente.
v = −ah
Respuesta: v = −ah
20
, 1i
3
20
, 1i
3
a>0
a>0
5. La siguiente gráfica muestra las curvas de nivel de una función f que tiene primeras y
segundas derivadas parciales contı́nuas, además f (0, 0) = 4 y f (1, 1) = 3. Considere las
siguientes curvas C1 , C2 , y el campo vectorial F: C1 es la parte de la parábola y = x2 que
va desde (0, 0) hasta (1, 1), C2 es el borde del cuadrado con vértices en (0, 0), (1, 0), (1, 1)
y (0, 1), orientado positivamente, y F(x, y) = yj.
2
y
–2
0
1
2
3.2
3.7
0
3.7
3.2
4
4.2
2
5 x
6
–2
3
Responda en las casillas en blanco y justifique en hoja de respuestas, usando la gráfica
cuando corresponda. Respuesta sin justificación se invalidará..
(a) Dibuje sobre el mismo gráfico, la dirección (no tenga en cuenta su magnitud) del
gradiente de f , ∇f , en varios puntos de las curvas de nivel: 3.2 y 4.2.
(b) El punto (0, 0) es: (llene con una de las opciones: máximo local, mı́nimo local, punto
Punto de silla
de silla, no se puede decidir.)
Z
∇f · dr es igual a:
(c)
-1
C1
(d)
Z
(e)
Z
(f)
Z
C2
∇f · dr es igual a:
C2
F · dr es igual a:
C2
F · n ds es igual a:
0
0
1
Solución.
(a) Hay dos curvas de nivel 3.2 y una 4.2. El gradiente es perpendicular a ellas en la
dirección hacia donde la función crece.
(b) En la dirección del eje y = x es un máximo y en la dirección del eje y = −x es in
mı́nimo.
(c) Por el teorema fundamental del cálculo para integrales de lı́nea la integral pedida es
la diferencia de potenciales: f (1, 1) − f (0, 0) = 3 − 4 = −1
(d) Por el teorema fundamental del cálculo para integrales de lı́nea la integral pedida es
cero, pues la curva es cerrada.
(e) Aplicando el Teorema de Green (Primera forma vectorial), dado que ∇ × F = 0,
entonces la integral pedida es cero.
(f) Aplicando el Teorema de Green (Segunda forma vectorial), dado que ∇ · F = 1,
entonces la integral pedida es igual al área del cuadrado, es decir 1.
Tiempo: 120 minutos
Buena Suerte!
4