Curso 2008-09

Análisis no Lineal
Posgrado en Investigación Matemática
(Curso 2008-09)
Profesores: Julián López-Gómez, Rosa Pardo San Gil
1 Notas
escritas por Rosa Pardo, extraı́das en su mayor parte del libro de Evans [2]
1
Índice general
I
Teorı́a para Ecuaciones en Derivadas Parciales lineales.
1. Problemas de valores de contorno lineales de tipo elı́ptico.
Existencia de soluciones
1.1. Interpretación fı́sica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. El término de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. El término de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. El término de orden cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Soluciones débiles. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Dominios suaves y dominios Lipschitz . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2. Fórmula de integración por partes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3. Definición de derivada débil. Espacios de Sobolev . . . . . . .
1.2.4. Valores en la frontera. Teorı́a de Trazas . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Definición de solución débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.6. Generalizando la solución débil. Otros espacios de funciones .
1.3. Existencia de soluciones débiles. Teorema de Lax-Milgram. . . . . . .
1.3.1. Estimaciones de energı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Compacidad del operador Resolvente. Inmersiones de Sobolev.
de Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Regularidad de las soluciones.
2.1. Introducción . . . . . . . . . . .
2.1.1. Cocientes en diferencias.
2.2. Regularidad en el interior . . .
2.3. Regularidad en la frontera . . .
II
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Alternativa
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Teorı́a para Ecuaciones en Derivadas Parciales no lineales.
3. Minimización de funcionales. Lema del paso de la montaña.
3.1. Introducción. Sistemas lineales como problemas variacionales .
3.2. Cálculo de variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1. Primera variación, ecuación de Euler-Lagrange . . . . .
3.2.2. Segunda variación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. Existencia de minimizadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Coercitividad, semicontinuidad inferior . . . . . . . . .
3.3.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Soluciones débiles de la ecuación de Euler-Lagrange . . . . . .
3.5. Puntos crı́ticos. Lema del paso de la Montaña . . . . . . . . .
1
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4. Principio del máximo. Método de sub y supersoluciones.
4.1. Principio del máximo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Principio del máximo débil. . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Principio del máximo fuerte. . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Método de sub y supersoluciones. . . . . . . . . . . . . . . .
2
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Parte I
Teorı́a para Ecuaciones en Derivadas
Parciales lineales.
3
Capı́tulo 1
Problemas de valores de contorno
lineales de tipo elı́ptico.
Existencia de soluciones
Consideremos el problema de valores de frontera
L u = f, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω,
(1.1)
donde Ω ⊂ RN es un abierto, acotado y u : Ω −→ R es la incógnita u = u(x). La función
f : Ω −→ R es un dato y L denota un operador diferencial de segundo orden dado por
Lu = −
N
X
i,j=1
o bien
Lu = −
∂
∂xj
N
X
µ
∂u
aij (x)
∂xi
¶
+
N
X
bi (x)
i=1
∂u
+ c(x) u,
∂xi
(1.2)
N
aij (x)
i,j=1
X
∂2u
∂u
+
bi (x)
+ c(x) u.
∂xi ∂xj
∂x
i
i=1
(1.3)
con coeficientes aij , bi , c ∈ L∞ (Ω). Diremos que el operador (1.2) está dado en forma de divergencia
y el operador (1.3) está dado en forma no divergente.
Observación 1.0.1. Si aij ∈ C 1 (Ω), entonces (1.2) se convierte en
N
N
X
X
∂u
∂ 2u
+
b̃i (x)
+ c(x)u,
Lu = −
aij (x)
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
i,j=1
(1.4)
N
X
∂aij
b̃i = bi −
.
∂xj
j=1
(1.5)
donde
Y recı́procamente, si aij ∈ C 1 (Ω), entonces (1.3) se convierte en
Lu = −
N
X
i,j=1
∂
∂xj
µ
∂u
aij (x)
∂xi
4
¶
+
N
X
i=1
bi (x)
∂u
+ c(x)u,
∂xi
(1.6)
donde
N
X
∂aij
.
∂x
j
j=1
bi = bi +
(1.7)
La formulación (1.2) es más natural en los métodos de energı́a, basados en integración por
partes,
(1.3) es más apropiado para el principio del máximo.
Supondremos
aij = aji
Definición 1.0.2. L es (uniformemente) elı́ptico si existe una constante θ > 0 tal que
N
X
aij (x)ξi ξj ≥ θ|ξ|2 ,
a.e. x ∈ Ω, ξ ∈ RN .
(1.8)
i,j=1
1.1.
Interpretación fı́sica.
1.1.1.
El término de segundo orden
Vamos a justificar que el término de segundo orden en el operador elı́ptico (1.2) ó (1.3)
N
X
i,j=1
∂
∂xj
µ
∂u
aij (x)
∂xi
¶
representa la difusión dentro de Ω.
Comenzamos analizando las ecuaciones de conservación, en fluidos representan la conservación
de la masa, en teorı́a electromagnética la conservación de la carga, en conducción del calor la
conservación de la energı́a, etc.
Sea ρ = ρ(x1 , x2 , x3 , t) una función de clase C 1 con valores reales, que representa la densidad.
La masa en una región Ω ⊂ R3 vendrá dada por
Z
ρ(x, t) dx.
Ω
Sea V = V(x1 , x2 , x3 , t) un campo vectorial de clase C 1 en las variables espaciales x = (x1 , x2 , x3 ) ∈
R3 , para cada t que representa la velocidad, la masa fluyendo hacia afuera de Ω que atraviesa la
superficie ∂Ω será
J ·ν
donde J = ρV y ν es el vector normal exterior.
La ley de conservación de la masa dice que para todas las regiones Ω ⊂ R3 la tasa de cambio
de la masa en esa región Ω será igual a la tasa a la cual la masa cruza su frontera hacia dentro
∂Ω, i.e.
Z
Z
d
ρ(x, t) dx = −
J · ν,
(1.9)
dt Ω
∂Ω
5
por el teorema de la divergencia,
Z
Z
J ·ν =
∂Ω
div J
(1.10)
Ω
para todas las regiones Ω ⊂ R3 , luego podemos decir que la ley de conservación de la masa se
escribe como
dρ
+ div J = 0,
(1.11)
dt
dρ
donde div J se calcula para t fija, y
para x = (x1 , x2 , x3 ) fijos. Esta ecuación se conoce a veces
dt
como ecuación de la continuidad.
Supongamos ahora que u = u(x1 , x2 , x3 , t) representa la temperatura de un cuerpo en el tiempo
t, o bien la densidad (por ejemplo de una concentración quı́mica), entonces ∇u es el gradiente de
la temperatura: el calor ’fluye’ según el campo vectorial
F := −∇u.
El menos se debe a que el calor (o la densidad) fluye de regiones de mayor concentración a menor
concentración, en la dirección opuesta al gradiente. El vector de flujo de energı́a J es proporcional
al gradiente,
J := −a∇u
donde a representa una constante que si u es la temperatura recibe el nombre de conductividad.
∂u
Supongamos que el sistema está en equilibrio, entonces
= 0, y que hay un aporte exterior
∂t
de masa dado por un término f . El término
divJ = −div(a∇u)
representa la densidad de flujo difusivo según
1. la ley de Fick,
2. ó la ley de Fourier de difusión del calor,
3. ó la ley de Ohm de conducción eléctrica.
Si hay anisotropı́a, entonces la densidad de un flujo que se difunde en un medio anisotrópico
vendrá dada por
N
X
∂u
J := −
aij (x)
,
(1.12)
∂xi
i,j=1
luego
div(J) := −
N
X
i,j=1
∂
∂xj
µ
∂u
aij (x)
∂xi
¶
representará la difusión de u en un medio anisotrópico Ω. La ecuación
µ
¶
N
X
∂u
∂
aij (x)
=f
−
∂xj
∂xi
i,j=1
(1.13)
(1.14)
representará la difusión cuando hay un término fuente, i.e. un aporte de masa, o de energı́a dado
por f.
6
1.1.2.
El término de primer orden
Vamos a justificar que el término de primer orden en el operador elı́ptico (1.2)
N
X
bi (x)
i=1
∂u
∂xi
representa el transporte dentro de Ω. Para justificarlo, vamos a enunciar el teorema del transporte
de Reynolds. En [5] se puede ver un análisis básico y en [4, Teorema 1.11] una demostración
avanzada.
Teorema 1.1.1. Teorema del transporte de Reynolds.
1
Sea Ω ⊂ RN un dominio de clase Cunif
y sea
h : (−t∗ , t∗ ) × Ω −→ RN ,
1
h ∈ Cunif
con h(0, ·) = iΩ . Sean también
u : R × RN → R,
y
∂u
∂t
aplicaciones continuas (en un entorno de t = 0), con soporte compacto.
Denotaremos por Ωt = h(t, Ω).
Entonces la aplicación
Z
t→
u(t, x) dx
(1.15)
Ωt
es de clase C 1 en un entorno de t = 0 y además
Z
Z
Z
∂u
d
u(t, x) dx =
dx +
uV · ν dσ
dt Ωt
Ωt ∂t
∂Ωt
(1.16)
donde V es el campo de velocidades, i.e.
∂h
(t, x) = V(h(t, x)),
∂t
y ν es la normal exterior unitaria.
Observación 1.1.2. Teniendo en cuenta el teorema de la divergencia, la ecuación anterior (1.16)
se puede escribir del siguiente modo
Z
Z
Z
d
∂u
u(t, x) dx =
+
div (uV) dx
dt Ωt
Ωt ∂t
Ωt
Z
Z
∂u
=
+
(V · ∇u + div V u) dx.
(1.17)
Ωt ∂t
Ωt
siempre que
∂2h
sea continua y u ∈ C 1 .
∂t∂x
7
Para un sistema en equilibrio, i.e. tal que
d
dt
Z
∂u
= 0, resultará que
∂t
Z
u(x) dx =
(V · ∇u + div V u) dx.
Ωt
(1.18)
Ωt
Teniendo en cuenta que las anteriores igualdades se verifican sobre dominios cualesquiera Ωt (suficientemente regulares), gracias a (1.9)-(1.10), a la definición de J, (1.12) y a la de su divergencia,
ver (1.13), e incorporando un término fuente, dado por f, ver (1.14), podemos escribir la ecuación
−
N
X
i,j=1
∂
∂xj
µ
∂u
aij (x)
∂xi
¶
+ V · ∇u + div V u = f
para representar una difusión en un medio con anisotropı́a, que se está moviendo con una velocidad
V (de ahı́ el término transporte).
1.1.3.
El término de orden cero
Finalmente el término de orden cero c(x) u representa la creación (o extracción) de u.
1.2.
Soluciones débiles. Espacios de Sobolev.
Supondremos que L viene dado en forma de divergencia, ver (1.2), que los coeficientes
aij , bi , c ∈ L∞ (Ω)
y que
f ∈ L2 (Ω).
Vamos a definir una solución débil.
Suponiendo que u es una solución, multiplicamos la EDP Lu = f por una función test v ∈
Cc∞ (Ω) e integramos en Ω, resulta
N Z
X
i,j=1
Ω
∂u ∂v
aij (x)
∂xi ∂xj
+
N Z
X
i=1
Ω
∂u
v+
bi
∂xi
Z
Z
cuv =
Ω
∀v ∈ Cc∞ (Ω),
f v,
Ω
(1.19)
el primer término lo hemos obtenido integrando por partes (teorema de la divergencia). No hay
integral de frontera ya que v = 0 sobre la frontera ∂Ω.
Tenemos que dar sentido a esta definición y a estas integrales.
1. Hemos de elegir dominios Ω en los que se verifique el teorema de la divergencia, lo analizamos
en la siguiente subsección 1.2.1.
2. ¿Cuándo se puede aplicar la fórmula de integración por partes?, ver la subsección 1.2.2.
8
3. El primer término tiene sentido si
∂u
∂v
,
∈ L2 (Ω),
∂xi ∂xj
en la subsección 1.2.3 definimos los espacios de funciones adecuados.
4. ¿Cómo asignar valores de frontera a funciones definidas para casi todo x ∈ Ω.? Desarrollamos
la teorı́a de trazas para responder, ver subsección 1.2.4
Esta subsección y las tres siguientes contienen resultados técnicos.
1.2.1.
Dominios suaves y dominios Lipschitz
Necesitamos distinguir dominios Ω ⊂ RN de acuerdo con el grado de suavidad de su frontera
∂Ω.
Definición 1.2.1. Diremos que Ω es un dominio de clase 1, ó dominio C 1 si para cada punto
x ∈ ∂Ω, existe un sistema de coordenadas (y1 , · · · , yN −1 , yN ) =: (y 0 , yN ) con origen en x, una bola
B(x) y una función γ definida en un entorno N ⊂ RN −1 de y 0 = 00 tal que
γ ∈ C 1 (N ),
γ(00 ) = 0
y
1. ∂Ω ∩ B(x) = {(y 0 , yN ) : yN = γ(y 0 ), y 0 ∈ N },
2. Ω ∩ B(x) = {(y 0 , yN ) : yN > γ(y 0 ), y 0 ∈ N }.
La primera condición expresa el hecho de que la frontera ∂Ω parcialmente coincide con el grafo
de una función C 1 . La segunda condición exige que Ω esté localmente colocado a un lado de su
frontera.
La frontera de un dominio C 1 no tiene esquinas ni cuñas y para cada punto x ∈ ∂Ω una lı́nea
tangente (N = 2), un plano tangente (N = 3), o un hiperplano tangente (N > 3), está bien
definida junto con su vector normal unitario exterior e interior. Además estos vectores varı́an
continuamente en la frontera.
Los pares (γ, N ) se llaman cartas locales. Si todas son funciones son de clase C k , se dice que
Ω es de clase C k . Estos son los dominios que denominaremos suaves.
La transformación uno a uno (difeomorfismo)
y → (y 0 , yN − γ(y 0 ))
(1.20)
transforma ∂Ω ∩ B(x) en un subconjunto del hiperplano yN = 0 de forma que ∂Ω ∩ B(x) se
endereza.
Los dominios poligonales que se obtienen mediante procedimientos de triangulación a partir
de dominios regulares y con el fin de calcular aproximaciones numéricas son muy importantes. No
son C 1 pero son dominios Lipschitz, su frontera es localmente el grafo de una función Lipschitz.
Definición 1.2.2. Diremos que u : Ω → R es una función Lipschitz si existe una constante L tal
que
|u(x) − u(y)| ≤ L|x − y|,
∀ x, y ∈ Ω
el número L se llama la constante de Lipschitz de u.
9
Hablando sin rigor, una función es Lipschitz si los cocientes incrementales en todas las direcciones están acotados. Las funciones Lipschitz son diferenciables en casi todo punto.
Teorema 1.2.3. (Rademacher) Sea u una función Lipschitz en un dominio ω ⊂ RN . Entonces
u es diferenciable en cada punto de ω excepto en un conjunto de medida de Lebesgue cero.
Decimos que un dominio es Lipschitz si en la definición 1.2.1, las funciones γ son Lipschitz, o
de modo equivalente si la aplicación (1.20) es tal que tanto ella como su inversa son Lipschitz.
1.2.2.
Fórmula de integración por partes
Sea Ω ⊂ RN un dominio C 1 . Para campos vectoriales F = (F1 , · · · , FN ) : Ω → RN ’de clase
1’, F ∈ C 1 (Ω) se verifica la fórmula de la divergencia de Gauss
Z
Z
div F dx =
F · ν dσ
(1.21)
Ω
∂Ω
N
X
∂F
donde div F =
, ν denota la normal unitaria exterior y dσ es el elemento diferencial de
∂x
j
j=1
superficie en ∂Ω dado en términos de cartas locales por
q
dσ = 1 + |∇γ(y 0 )|2 dy 0 .
Se pueden derivar algunas identidades muy útiles a partir de (1.21).
Lo aplicamos a vF con v : Ω → R, v ∈ C 1 (Ω). Recordando que
div (vF ) = v div F + ∇v · F
se obtiene la fórmula de integración por partes
Z
Z
Z
v div F dx =
v F · ν dσ −
∇v · F.
Ω
∂Ω
(1.22)
Ω
Elegimos ahora F = ∇u con u ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), recordando las identidades
div ∇u = ∆u,
obtenemos la identidad de Green
Z
Z
v∆u dx =
Ω
∂Ω
∇u · ν =
∂u
v
dσ −
∂ν
∂u
∂ν
Z
∇v · ∇u dx.
(1.23)
Ω
Si además v ∈ C 2 (Ω) ∩ C 1 (Ω), obtenemos la segunda identidad de Green
¶
Z
Z µ
∂u
∂v
(v∆u − u∆v ) dx =
v
−u
dσ.
∂ν
∂ν
Ω
∂Ω
(1.24)
Observación 1.2.4. Todas las fórmulas anteriores se verifican también para dominios Lipschitz.
El teorema de Rademacher implica que en cada punto de la frontera de un dominio Lipschitz,
excepto en un conjunto de puntos de medida superficial cero, existe un plano tangente bien definido.
Esto es suficiente para extender las fórmulas anteriores, en concreto la fórmula de la divergencia
de Gauss, (1.21), la fórmula de integración por partes (1.22), y las dos fórmulas de Green (1.23)(1.24).
10
1.2.3.
Definición de derivada débil. Espacios de Sobolev
Consideremos el espacio de funciones γ : Ω −→ R de clase infinito y de soporte compacto,
denotado por Cc∞ (Ω), diremos que ψ ∈ Cc∞ (Ω) es una función test. Sea u ∈ C 1 (Ω) entonces
Z
Z
∂ψ
∂u
u
=−
ψ,
∀ψ ∈ Cc∞ (Ω),
∀i = 1, · · · , N
∂xi
Ω
Ω ∂xi
Definición 1.2.5. Sean u, v ∈ L1loc (Ω). Diremos que v es la derivada parcial débil de u,
∂u
=v
∂xi
si se verifica
Z
Ω
∂ψ
u
=−
∂xi
Z
∀ψ ∈ Cc∞ (Ω),
vψ,
Ω
∀i = 1, · · · , N
Definición 1.2.6. Definimos el espacio de Sobolev
½
¾
∂u
1,p
p
W (Ω) := u : Ω −→ R : u,
∈ L (Ω)
∂xi
Se pone
H 1 (Ω) := W 1,2 (Ω).
El espacio W 1,p (Ω) está dotado de la norma
kukW 1,p (Ω)
°
N °
X
° ∂u °
°
°
:= kukLp (Ω) +
° ∂xi °
i=1
Lp (Ω)
o a veces de la norma equivalente
Ã
kukW 1,p (Ω) =
kukpLp (Ω)
°
N °
X
° ∂u °p
°
°
+
° ∂xi ° p
!1/p
.
L (Ω)
i=1
El espacio H 1 (Ω) está dotado del producto escalar
Z
Z
(u, v) :=
∇u · ∇v +
uv
Ω
y la norma asociada
Ω
µZ
¶1/2
Z
2
kukH 1 (Ω) =
|∇u| +
Ω
u
2
.
Ω
El espacio W 1,p (Ω) es un espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞.
El espacio W 1,p (Ω) es reflexivo para 1 < p < ∞. Recordemos que en los espacios de Banach reflexivos, las sucesiones acotadas son convergentes en la topologı́a débil (ver la siguiente
definición).
11
Definición 1.2.7. Sea X un espacio de Banach, diremos que una sucesión {uk }∞
k=1 ⊂ X converge
débilmente hacia u ∈ X y lo escribiremos
uk * u,
cuando
k→∞
si
hu∗ , uk i → hu∗ , ui,
para todo
k→∞
u∗ ∈ X ∗
donde X ∗ es el conjunto de los funcionales lineales y acotados definidos sobre X.
Observación 1.2.8. La convergencia débil uk * u,
cuando k → ∞ no implica que uk → u
puntualmente, o en casi todo punto, podrı́a ocurrir que la sucesión oscilara muy rápidamente.
Además, el espacio W 1,p (Ω) es un espacio separable para 1 ≤ p < ∞. Recordemos que los
espacios de Banach son separables si contienen un subconjunto numerable y denso.
El espacio H 1 (Ω) es un espacio de Hilbert.
1.2.4.
Valores en la frontera. Teorı́a de Trazas
¿Cómo asignar valores de frontera a funciones definidas en W 1,p (Ω)?
Supondremos que ∂Ω es C 1 , si u ∈ C(Ω), entonces u tiene valores en ∂Ω en sentido usual.
Pero en general, una función de W 1,p (Ω), no es continua, sólo está definida para casi todo x ∈ Ω.
Como ∂Ω tiene una medida de Lebesgue N-dimensional cero, no hay un significado inmediato que
podamos dar a la frase u |∂Ω . La noción de operador traza resuelve ese problema.
Teorema 1.2.9. Teorema de trazas. Supongamos que Ω es acotado y que ∂Ω es C 1 . Entonces
existe un operador lineal y acotado
γ : W 1,p (Ω) −→ Lp (∂Ω)
tal que
(i) γu = u |∂Ω para todo u ∈ W 1,p (Ω) ∩ C(Ω),
(ii) y existe una constante C que sólo depende de p y de Ω tal que
kγukLp (∂Ω) ≤ CkukW 1,p (Ω) ,
(iii)
u ∈ W01,p (Ω)
si y sólo si
para todo u ∈ W 1,p (Ω)
γu = 0
sobre
∂Ω
Decimos que γu es la traza de u en la frontera ∂Ω. El apartado iii) dice que el núcleo del
operador traza es W01,p (Ω), luego claramente el operador traza no es inyectivo. Tampoco es sobreyectivo, ver [6].
Observación 1.2.10. De hecho se puede demostrar que el operador traza
γ : W 1,p (Ω) −→ W 1−1/p,p (∂Ω) ,→ Lp (∂Ω)
con inmersión compacta, luego
γ : W 1,p (Ω) −→ Lp (∂Ω)
es un operador compacto.
12
1.2.5.
Definición de solución débil
Volvemos a la igualdad (1.19). Esa misma igualdad se verifica si reemplazamos cualquier función suave v ∈ Cc∞ (Ω) por cualquier función v ∈ H01 (Ω), y esa igualdad tiene sentido si la solución
u ∈ H01 (Ω), de este modo incorporamos la condición de frontera u = 0 en ∂Ω a la definición del
espacio.
Definición 1.2.11.
1. La forma bilineal asociada con el operador L en forma de divergencia
1
1
a : H0 (Ω) × H0 (Ω) → R viene dada por
a(u, v) :=
N Z
X
i,j=1
N
Ω
X
∂u ∂v
aij (x)
+
∂xi ∂xj
i=1
Z
Ω
∂u
bi
v+
∂xi
Z
cuv,
Ω
∀u, v ∈ H01 (Ω)
(1.25)
2. Diremos que u es una solución débil de (1.1) si
∀v ∈ H01 (Ω)
a(u, v) = (f , v),
donde
(1.26)
Z
(f, v) :=
f v.
Ω
Diremos que (1.26) es la formulación variacional del problema de contorno elı́ptico (1.1).
1.2.6.
Generalizando la solución débil. Otros espacios de funciones
Sea H un espacio de Hilbert real con producto escalar (·, ·) y norma k · k. Sea h·, ·i el producto
escalar de dualidad de H ∗ con H, donde H ∗ es el espacio dual de los funcionales lineales y acotados
definidos en H, i.e. escribiremos
hu∗ , ui = u∗ (u),
u∗ ∈ H ∗ , u ∈ H
para denotar el número real u∗ (u).
Este teorema y el siguiente contienen resultados técnicos.
Teorema 1.2.12. Teorema de representación de Riesz.
Para cada u∗ ∈ H ∗ existe un único elemento u ∈ H tal que
hu∗ , vi = (u , v),
para todo v ∈ H.
(1.27)
La aplicación
H ∗ −→ H
u∗ −→ u
es un isomorfismo lineal de H ∗ en H, que permite identificar canónicamente H ∗ con H.
13
(1.28)
Consideremos el espacio dual de H01 (Ω) denotado por H −1 (Ω), i.e. f ∈ H −1 (Ω) si f es un
funcional lineal y acotado definido sobre H01 (Ω). Se denota el producto escalar de dualidad de
H −1 (Ω) en H01 (Ω) por h·, ·i.
Se define la norma
n
o
kf kH −1 (Ω) := sup hf, viv∈H01 (Ω) : kvkH01 (Ω) ≤ 1
(1.29)
Teorema 1.2.13. Caracterización de H −1 (Ω).
f ∈ H −1 (Ω) si y sólo si existen fi ∈ L2 (Ω), i = 0, 1, · · · , N tales que
Z
hf, vi =
f0 v −
Ω
N Z
X
i=1
fi
Ω
∂v
,
∂xi
∀v ∈ H01 (Ω)
(1.30)
Además, dados fi ∈ L2 (Ω), i = 0, 1, · · · , N que verifican (1.30), podemos escribir
Ã
!1/2 
N Z
 X

|fi |2
kf kH −1 (Ω) = ı́nf


Ω
i=0
Consideremos el problema de valores de frontera más general
L u = f0 −
u = 0,
N
X
∂fi
, en Ω,
∂x
i
i=1
sobre ∂Ω,
(1.31)
donde fi ∈ L2 (Ω) con i = 0, 1, · · · , N.
Definición 1.2.14. Diremos que u es una solución débil de (1.31) si
a(u, v) = hf, vi,
∀v ∈ H01 (Ω)
(1.32)
donde hf, vi viene definido por (1.30)
Observación 1.2.15. Supongamos que ∂Ω es C 1 y que u ∈ H 1 (Ω) es una solución débil de
L u = f, en Ω,
u = g, sobre ∂Ω,
(1.33)
Esto significa que u = g sobre ∂Ω en el sentido de las trazas y que se verifica (1.26) en el espacio
H01 (Ω). Para poder interpretar estos datos, (ver [6]), es necesario que g sea la traza de una función
de H 1 , digamos w y entonces v = u − w ∈ H01 (Ω) es una solución débil de
L v = f˜, en Ω,
v = 0, sobre ∂Ω,
donde f˜ := f − L w ∈ H −1 (Ω).
14
(1.34)
1.3.
Existencia de soluciones débiles. Teorema de LaxMilgram.
Teorema 1.3.1. Teorema de Lax-Milgram. Supongamos que
a:H ×H →R
es una forma bilinear continua, i.e. existe una constante C > 0 tal que
(i)
|a(u , v)| ≤ Ckuk kvk,
para todo
u, v ∈ H,
y además coercitiva, i.e. existe una constante α > 0 tal que
(ii)
|a(u, u)| ≥ αkuk2 ,
para todo
u ∈ H.
Sea f : H → R un funcional lineal y acotado sobre H.
Entonces existe un único elemento u ∈ H tal que
a(u , v) = hf, vi
para todo v ∈ H.
(1.35)
Demostración. Para cada u ∈ H fijo la aplicación
v −→ a(u , v)
es un funcional definido sobre H lineal y acotado. Por el teorema de representación de Riesz, existe
un único elemento w ∈ H que verifica
a(u , v) = (w , v),
para todo v ∈ H.
(1.36)
Diremos que
Au = w
cuando se verifique (1.36), y podremos escribir
(Au , v) = a(u , v)
para todos u, v ∈ H.
Vamos a ver que este operador A : H → H es un operador lineal y acotado.
1. A es lineal,
(A(λ1 u1 + λ2 u2 ), v) = a (λ1 u1 + λ2 u2 ), v) = · · · = (λ1 Au1 + λ2 Au2 , v)
2. A es acotado,
kAuk2 = (Au, Au) = a(u, Au) ≤ Ckuk kAuk
3. A es inyectivo,
αkuk2 ≤ a(u , u) = (Au , u) ≤ CkAuk kuk
en consecuencia αkuk ≤ CkAuk y por tanto A es inyectivo
4. el rango de A, R(A), es cerrado y R(A)⊥ = {0}.
15
(1.37)
a) el rango de A, R(A), es cerrado.
Sea w ∈ R(A) entonces existe una sucesión Avm → w in H,
kAvm − Avn k ≥ αkvm − vn k
luego {vn } es una sucesión de Cauchy en H. Un espacio de Hilbert por definición es un
espacio de Banach completo, luego
vm → v
en H
y como A es un operador continuo, entonces
Avm → Av
en H
y por unicidad del lı́mite
w = Av ∈ R(A).
b) R(A)⊥ = {0}.
Sea v0 ∈ R(A)⊥ , entonces
0 = (Av0 , v0 ) = a(v0 , v0 ) ≥ αkv0 k2 ,
luego v0 = 0.
Como el rango de A, R(A), es cerrado, y su ortogonal R(A)⊥ = {0}, esto equivale a que el
R(A) = H, dicho de otro modo: A es sobreyectivo.
Además A es inyectivo, luego A es biyectivo.
5. Por el teorema de representación de Riesz, ver el teorema 1.2.12, existe un elemento w ∈ H
tal que
hf, vi = (w , v)
para todo v ∈ H.
(1.38)
Ahora, dado w ∈ H, por ser A biyectivo, existe un único u ∈ H tal que Au = w. En resumen
hf, vi = (w , v) = (Au , v) = a(u , v)
para todo v ∈ H.
y esto es precisamente la definición de solución débil (1.35).
6. Unicidad: si hubiera dos soluciones, u1 y u2 tales que
a(u1 , v) = hf, vi
a(u2 , v) = hf, vi,
para todo v ∈ H
,
entonces u = u1 − u2 verificarı́a
a(u , v) = 0,
para todo v ∈ H,
pero
αkuk2 ≤ a(u , u) = 0,
luego u = 0.
Observación 1.3.2. Si la forma bilineal a(·, ·) es simétrica, i. e.,
a(u , v) = a(v , u),
para todos
u, v ∈ H,
entonces, podemos definir un nuevo producto escalar
((u , v)) := a(v , u),
para todos
u, v ∈ H,
y por el teorema de representación de Riesz, ver teorema 1.2.12, existe una única solución.
El teorema de Lax Milgram es significativo porque no exige simetrı́a en a.
16
1.3.1.
Estimaciones de energı́a
Vamos a verificar las hipótesis del teorema de Lax-Milgram, teorema 1.3.1, sobre la forma
bilineal a : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R definida por
a(u, v) :=
N Z
X
i,j=1
N
Ω
X
∂u ∂v
aij (x)
dx +
∂xi ∂xj
i=1
Z
Ω
∂u
bi
v dx +
∂xi
Z
cuv dx,
(1.39)
Ω
para todos u, v ∈ H01 (Ω).
Teorema 1.3.3. Supondremos que los coeficientes
aij , bi , c ∈ L∞ (Ω).
Entonces existen constantes α, C > 0 y M ≥ 0 tales que
(i)
para todos u, v ∈ H01 (Ω),
|a(u , v)| ≤ CkukH01 (Ω) kvkH01 (Ω) ,
y además
(ii)
|a(u , u)| + Mkuk2L2 (Ω) ≥ αkuk2H 1 (Ω) ,
para todo
0
u ∈ H01 (Ω).
Demostración Es inmediato comprobar que
|a(u, v)| ≤
Z
N
X
kaij kL∞ (Ω)
|∇u||∇v| dx
Ω
i,j=1
+
N
X
Z
Z
kbi kL∞ (Ω)
|∇u| |v| dx + kckL∞ (Ω)
Ω
i=1
|u| |v| dx
Ω
≤ CkukH01 (Ω) kvkH01 (Ω) ,
∀u, v ∈ H01 (Ω)
(1.40)
donde si B = (bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n es una matriz, se denota por
|B| :=
à m n
XX
!1/2
|bij |2
i=1 j=1
y la última desigualdad se verifica para alguna constante C.
Además y gracias a la condición de elipticidad, ver (1.8), podemos afirmar que
Z
2
α
|∇u| dx ≤
Ω
N Z
X
i,j=1
aij (x)
Ω
∂u ∂u
∂xi ∂xj
(1.41)
N Z
X
Z
∂u
bi
u−
cu2 ,
= a(u, u) −
∂x
i
Ω
i=1 Ω
Z
Z
N
X
≤ a(u, u) +
kbi kL∞ (Ω)
|∇u| |u| dx + kckL∞ (Ω)
u2 dx
Ω
i=1
17
Ω
Tenemos ahora en cuenta la desigualdad de Cauchy
ab < εa2 +
podemos escribir
b2
,
4ε
para todos a, b > 0, ε > 0,
Z
Z
|∇u| |u| dx ≤ ε
Ω
1
|∇u| dx +
4ε
Z
2
Ω
u2 dx
(1.42)
Ω
ahora insertando esta desigualdad en la anterior (1.41), y eligiendo ε > 0 suficientemente pequeño
para que
N
X
α
ε
kbi kL∞ (Ω) < ,
2
i=1
obtenemos
α
2
Z
Z
2
u2 dx
|∇u| dx ≤ a(u, u) + C
Ω
Ω
para alguna constante C.
La desigualdad de Poincaré establece que existe una constante C = C(p, N, Ω) > 0 tal que
para todo u ∈ W01,p (Ω).
kukLp (Ω) ≤ Ck∇ukLp (Ω) ,
En particular, existe una constante C que sólo depende de N y de Ω, tal que
kukL2 (Ω) ≤ Ck∇ukL2 (Ω)
i.e. kukH01 (Ω) ≤ Ck∇ukL2 (Ω) y en consecuencia podemos escribir que existen constantes α > 0 y
M ≥ 0 tales que
|a(u, u)| + Mkuk2L2 (Ω) ≥ αkuk2H 1 (Ω) ,
0
para todo u ∈ H01 (Ω).
Observación 1.3.4. Si M ∈ R entonces a no verifica la hipótesis de coercitividad en el teorema
de Lax-Milgram, aunque si la verifica a(·, ·) + M(·, ·)
Teorema 1.3.5. Primer Teorema de existencia de soluciones débiles
Existe un número M > 0 tal que para cada µ ≥ M y para cada f ∈ L2 (Ω) existe una única
solución u del problema de contorno
L u + µ u = f, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω,
(1.43)
Observación 1.3.6.
1. Utilizando las estimaciones de energı́a, se puede demostrar que existe
una constante C > 0 tal que
¡
¢
kukH01 (Ω) ≤ C kukL2 (Ω) + kf kL2 (Ω) ,
(1.44)
donde C depende exclusivamente de Ω y de los coeficientes de L. Analizaremos resultados
de este tipo posteriormente, en el teorema 1.3.16.
18
2. Teniendo en cuenta la definición de la norma en el espacio dual, ver(1.29), se podrı́a escribir
¡
¢
kukH01 (Ω) ≤ C kukL2 (Ω) + kf kH −1 (Ω) ,
(1.45)
Demostración
1. Sea M > 0 el valor que nos proporciona el teorema 1.3.3, elegimos µ ≥ M y definimos la
forma bilineal
aµ (u , v) := a(u , v) + µ(u , v),
para todos u, v ∈ H01 (Ω)
que corresponde al operador Lµ u := Lu + µu, y donde (·, ·) es el producto escalar en L2 (Ω).
La forma bilineal aµ verifica las hipótesis del teorema de Lax-Milgram.
2. Ahora fijo f ∈ L2 (Ω), sea
para todo v ∈ L2 (Ω).
hf, vi := (f , v)L2 (Ω) ,
éste es un operador lineal y acotado, definido sobre L2 (Ω) y por tanto sobre H01 (Ω).
Gracias al teorema de Lax-Milgram existe una única función u ∈ H01 (Ω) que verifica
para todo v ∈ H01 (Ω)
aµ (u , v) := hf, vi,
lo que significa que u es una solución débil de (1.43).
Observación 1.3.7. Análogamente podemos demostrar que para todas
fi ∈ L2 (Ω),
i = 0, · · · N
existe una única solución débil u de
N
X
∂fi
L u + µ u = f0 −
, en Ω,
∂x
i
i=1
u = 0,
sobre ∂Ω.
La manera de demostrarlo consiste en definir
¶
N µ
X
∂v
hf, vi := (f0 , v)L2 (Ω) +
fi ,
,
∂x
2 (Ω)
i
L
i=1
para todo
(1.46)
v ∈ H01 (Ω).
f es un funcional lineal definido sobre H01 (Ω), i.e. f ∈ H −1 (Ω), por tanto podremos decir que para
todo f ∈ H −1 (Ω), existe una única solución débil u de (1.43).
En particular se deduce que la aplicación
Lµ := L + µI : H01 (Ω) −→ H −1 (Ω),
µ≥M
es un isomorfismo
Observación 1.3.8.
1. Si Lu = −∆u, gracias a la desigualdad de Poincaré, se puede comprobar fácilmente que el teorema 1.3.5 se verifica con M = 0.
2. Si
Lu = −
N
X
i,j=1
∂
∂xj
µ
∂u
aij (x)
∂xi
¶
+ c(x) u,
también se puede comprobar fácilmente que el teorema 1.3.5 se verifica con M = 0 siempre
que c(x) ≥ 0 en Ω.
19
1.3.2.
Compacidad del operador Resolvente. Inmersiones de Sobolev.
Alternativa de Fredholm
1. El operador L∗ , el adjunto formal de L es
!
Ã
µ
¶ X
N
N
N
X
X
∂
∂v
∂v
∂b
i
L∗ v = −
aij (x)
−
bi (x)
+ c(x) −
v,
∂x
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i
i,j=1
i=1
i=1
Definición 1.3.9.
suponiendo que bi ∈ C 1 (Ω).
2. La forma bilineal adjunta a∗ : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R está definida del siguiente modo
a∗ (v, u) = a(u, v),
∀u, v ∈ H01 (Ω).
3. Diremos que v ∈ H01 (Ω) es una solución débil del problema adjunto
L∗ v = f, en Ω,
v = 0, sobre ∂Ω,
(1.47)
si
a∗ (v, u) = (f, u),
∀u ∈ H01 (Ω).
Este teorema y el siguiente contienen resultados técnicos.
Teorema 1.3.10. Teorema de compacidad de Rellich-Kondrachov
Sea Ω ⊂ RN un abierto acotado con frontera ∂Ω de clase C 1 . Se verifica lo siguiente
1
1
1
si p < N entonces W 1,p (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω) ∀q ∈ [1, p∗ ) donde ∗ = −
p
p N
si
p=N
entonces W 1,p (Ω) ⊂⊂ Lq (Ω) ∀q ∈ [1, ∞)
si
p>N
entonces W 1,p (Ω) ⊂⊂ C(Ω)
con inyecciones compactas. En particular W 1,p (Ω) ⊂⊂ Lp (Ω) con inyección compacta para todo
p.
Teorema 1.3.11. Alternativa de Fredholm
Sea K : H → H un operador lineal y compacto. Entonces
(i) N (I − K) es de dimensión finita,
(ii) R(I − K) es cerrado,
(iii) R(I − K) = N (I − K ∗ )⊥ ,
(iv) N (I − K) = {0} si y sólo si R(I − K) = H y
(v) dim N (I − K) = dim N (I − K ∗ ).
El siguiente teorema relaciona la existencia de soluciones en el problema no homogéneo, con
la invertibilidad del problema homogéneo asociado.
20
Teorema 1.3.12. Ecuaciones elı́pticas y la Alternativa de Fredholm
(i)
a) O bien para cada f ∈ L2 (Ω) existe una única solución débil u del problema de valores
de frontera
½
L u = f, en Ω,
(1.48)
u = 0, sobre ∂Ω,
b) O bien existe una solución débil u 6= 0 del problema homogéneo
½
L u = 0, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω,
(1.49)
(ii) Además, si existe una solución débil u 6= 0 del problema homogéneo (1.49), entonces la
dimensión del subespacio N ⊂ H01 (Ω) de soluciones débiles de (1.49) es finita y es igual a la
dimensión del subespacio N ∗ ⊂ H01 (Ω) de soluciones débiles de
½ ∗
L v = 0, en Ω,
(1.50)
v = 0, sobre ∂Ω,
(iii) El problema de contorno (1.48) tiene una solución débil si y sólo si
(f, v) = 0,
para todo
v ∈ N ∗.
Demostración
1. Elegimos µ = M como en el teorema 1.3.5, definimos la forma bilineal
para todos u, v ∈ H01 (Ω)
aM (u , v) := a(u , v) + M(u , v),
que corresponde al operador LM u := Lu + Mu. Entonces para cada g ∈ L2 (Ω) existe una
única función u ∈ H01 (Ω) que resuelve
para todo v ∈ H01 (Ω)
aM (u , v) = (g , v),
(1.51)
Escribiremos
u = L−1
M g.
2. Sea
K := L−1
M ,
i.e. u = Kg.
V. a d. q. K : L2 (Ω) → L2 (Ω) es un operador lineal, acotado y compacto. Utilizando las
estimaciones de energı́a, ver el apartado ii) del teorema 1.3.3, y gracias a (1.50) podemos
escribir
αkuk2H 1 (Ω) ≤ |aM (u , u)| = (g , u) ≤ kgkL2 (Ω) kukL2 (Ω) ≤ kgkL2 (Ω) kukH01 (Ω)
0
por lo tanto K : L2 (Ω) → H01 (Ω) y
kKgkH01 (Ω) ≤ CkgkL2 (Ω)
para alguna constante C. Ahora utilizamos las inmersiones de Sobolev,
H01 (Ω) ⊂⊂ L2 (Ω)
ver el teorema de compacidad de Rellich Kondrachov, teorema 1.3.10. Luego K : L2 (Ω) →
L2 (Ω) es un operador compacto.
21
3. Observemos que u ∈ H01 (Ω) es una solución débil de (1.48) si y sólo si
aM (u , v) = (Mu + f , v),
para todo v ∈ H01 (Ω)
i.e. si y sólo si
u = L−1
M (Mu + g).
Esta igualdad se puede reescribir
u − M Ku = h,
siendo h := K f.
4. Puesto que K es un operador compacto, podemos aplicar el teorema de la alternativa de
Fredholm, teorema 1.3.11
a) O bien para cada h ∈ L2 (Ω) la ecuación
(1.52)
u − M Ku = h
tiene una única solución,
b) O bien la ecuación homogénea
u − M Ku = 0
tiene soluciones no triviales en L2 (Ω)
En el caso 4a), existe un única solución débil del problema (1.48). En el caso 4b), necesariamente M 6= 0 y por la alternativa de Fredholm, sabemos que el núcleo N es de dimensión
finita, y que dim(N )=dim(N ∗ ), espacio de soluciones de
v − M K ∗v = 0
(1.53)
que es equivalente a decir que v es una solución débil de (1.50).
5. Recordamos ahora que la ecuación no homogénea (1.52) tiene solución si y sólo si
(h, v) = 0,
∀ v que resuelve v − M K ∗ v = 0.
∗
Teniendo en cuenta que, por definición, K = L−1
M , h = Kf y que v = K v resulta
(h, v) = (Kf, v) = (f, K ∗ v) =
1
(f, v),
M
en consecuencia, el problema de contorno (1.48) tiene solución si y sólo si (f, v) = 0 para
todas las soluciones débiles v de (1.50).
Teorema 1.3.13.(i) El problema de contorno
½
L u = λu, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω,
(1.54)
tiene una solución no trivial w 6= 0 si y sólo si λ está en un cierto subconjunto Σ ⊂ R, Σ es a lo
sumo numerable.
22
(ii) El problema de contorno
½
L u = λu + f, en Ω,
u = 0,
sobre ∂Ω,
(1.55)
tiene una única solución para cada f ∈ L2 (Ω) si y sólo si λ 6∈ Σ.
(iii) Si Σ es infinito, entonces Σ = {λk }∞
k=1 los valores de una sucesión no decreciente y no acotada
λ1 ≤ λ2 ≤ · · · ,
λk → +∞
Definición 1.3.14. Llamaremos a Σ ⊂ R el espectro (real) de L y diremos que λ es un autovalor
de L.
Demostración
1. Sea M la constante del teorema 1.3.5, supongamos
λ > −M
y supongamos, sin pérdida de generalidad, que M > 0.
2. Por al alternativa de Fredholm, ver teorema 1.3.11, el problema de contorno (1.55) tiene una
única solución débil para cada f ∈ L2 (Ω) si y sólo si u ≡ 0 es la única solución débil del
problema de autovalores homogéneo (1.54), i.e. si y sólo si u ≡ 0 es la única solución débil
del problema
½
L u + Mu = (λ + M)u, en Ω,
(1.56)
u = 0,
sobre ∂Ω,
y esta ecuación es equivalente al problema
donde Ku = L−1
M u.
u = (λ + M)Ku,
(1.57)
Recordemos que K : L2 (Ω) → L2 (Ω) es un operador lineal, acotado y compacto. Decir que
1
u ≡ 0 es la única solución débil del problema (1.57) es equivalente a decir que
no es
λ+M
un autovalor del operador K.
Por la alternativa de Fredholm, teorema 1.3.11, punto iv), la EDP (1.55) tiene una única
solución débil.
3. Gracias a la teorı́a del espectro de un operador compacto, los autovalores de K son o bien
un conjunto finito, o bien los valores de una suceción que convergen a 0. Sea Σ el conjunto
de autovalores. En el segundo caso, vemos que la EDP (1.55) tiene una única solución para
todo λ 6∈ Σ.
Un resultado técnico
Teorema 1.3.15. Sea X un espacio de Banach reflexivo (i.e. (X ∗ )∗ = X) y supongamos que la
sucesión {uk }∞
k=1 ⊂ X está acotada.
© ª∞
Entonces se puede extraer una subsucesión ukj j=1 ⊂ {uk }∞
k=1 tal que
ukj * u.
En particular, una sucesión acotada en un espacio de Hilbert contiene una subsucesión débilmente
convergente.
23
Teorema 1.3.16. Acotación de la inversa Supongamos que λ 6∈ Σ. Sea f ∈ L2 (Ω) y u ∈ H01 (Ω)
la única solución débil de
½
L u = λu + f, en Ω,
(1.58)
u = 0,
sobre ∂Ω,
Entonces existe una constante C > 0 tal que
kukL2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω)
(1.59)
La constante C depende exclusivamente de λ, de Ω y de los coeficientes de L.
Demostración
2
∞
1
En caso contrario, existirı́an dos sucesiones {fk }∞
k=1 ⊂ L (Ω) y {uk }k=1 ⊂ H0 (Ω) tales que
½
L uk = λuk + fk , en Ω,
(1.60)
uk = 0,
sobre ∂Ω,
en sentido débil, pero
kuk kL2 (Ω) > kkfk kL2 (Ω) ,
k = 1, · · · .
Normalizamos de modo que kuk kL2 (Ω) = 1, de este modo fk → 0 en L2 (Ω). De acuerdo con las
estimaciones de energı́a,
¡
¢
kuk kH01 (Ω) ≤ C kuk kL2 (Ω) + kfk kL2 (Ω) ,
k = 1, · · ·
1
∞
I.e. la sucesión {uk }∞
k=1 está acotada en H0 (Ω). Por tanto, existe una subsucesión {ukj }j=1 ⊂
∞
{uk }k=1 tal que
½
ukj * u, weakly in H01 (Ω),
(1.61)
ukj → u, in L2 (Ω).
ver teorema 1.3.15. Entonces u es una solución débil de
½
L u = λu, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω,
(1.62)
Como λ 6∈ Σ entonces u ≡ 0, y eso contradice el hecho de que kuk kL2 (Ω) = 1.
Observación 1.3.17.
1. La constante C de la acotación (1.59) se obtiene para λ fijo, y explota
si λ se aproxima a un autovalor.
2. Si L es un operador autoadjunto, la constante C está muy relacionada con el desarrollo en
serie de Fourier de autofunciones. Sean
½
L Φk = λk Φk , en Ω,
(1.63)
Φk = 0,
sobre ∂Ω,
El conjunto de autofunciones { Φk } normalizadas en la norma de L2 (Ω), i.e. tales que
kΦk kL2 (Ω) = 1,
se pueden elegir de modo que constituyan una base ortonormal del espacio de Hilbert L2 (Ω).
Sea f ∈ L2 (Ω) dado por
(1.64)
f = α1 Φ1 + · · · + αk Φk + · · ·
24
entonces la solución u de (1.58) viene dada por
u=
α1
αk
Φ1 + · · · +
Φk + · · ·
λ1 − λ
λk − λ
(1.65)
y por la desigualdad de Bessel-Parseval
kf k2L2 (Ω)
=
∞
X
2
kuk2L2 (Ω)
αk ,
k=1
Si f ∈ L2 (Ω) entonces
P∞
k=1
¶2
∞ µ
X
αk
=
.
λ
k −λ
k=1
αk 2 < ∞ y en consecuencia
µ
kuk2L2 (Ω)
≤ máx
k
1
λk − λ
¶2 X
∞
αk 2 ,
k=1
y puesto que λ está fijo y los autovalores λk → ∞ se obtiene la acotación (1.59).
Soluciones Complejas
La teorı́a previamente mencionada se extiende para incluir soluciones en variable compleja.
Dadas u, v : Ω → C definiremos el producto escalar
Z
Z
(∇u · Dv + uv) dx,
(u , v)H01 (Ω) :=
(u , v)L2 (Ω) :=
uv dx,
Ω
Ω
los espacios de Hilbert
½
2
L (Ω) :=
¾
Z
u : Ω → C|
uu dx < ∞
Ω
H01 (Ω)
y la forma bilineal
½
¾
Z
:= u : Ω → C |
(∇u · Du + uu) dx < ∞
Ω
a : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R
a(u, v) :=
N Z
X
i,j=1
mediante
N
Ω
X
∂u ∂v
aij (x)
+
∂xi ∂xj
i=1
Z
Ω
∂u
bi
v+
∂xi
Z
cuu,
(1.66)
Ω
donde u denota el complejo conjugado de u.
Se comprueba que existen constantes C, α > 0 y M ≥ 0 tales que
para todos u, v ∈ H01 (Ω),
|a(u , v)| ≤ CkukH01 (Ω) kvkH01 (Ω) ,
y además
Re|a(u , u)| + Mkuk2L2 (Ω) ≥ αkuk2H 1 (Ω) ,
0
para todo u ∈ H01 (Ω).
Se pueden escribir variantes complejas del teorema de Lax-Milgram y de la alternativa de Fredolm
que conducen a resultados análogos a los teoremas de existencia de las soluciones débiles 1.3.5,
1.3.12, 1.3.13 y el teorema de acotación del operador inverso 1.3.16.
25
Capı́tulo 2
Regularidad de las soluciones.
2.1.
Introducción
?Una solución débil de la EDP (1.1) es suave?
Un cálculo formal de estimaciones de las derivadas.
Consideremos el problema modelo
en RN
−∆u = f,
Supongamos que u es suficientemente suave y que se anula rápidamente cuando |x| → ∞ como
para justificar estos cálculos
Z
Z
2
2
f dx =
RN
(∆u) dx =
RN
= −
i,j=1
N Z
X
i,j=1
=
RN
N Z
X
i,j=1
N Z
X
RN
RN
∂ 2u ∂ 2u
dx
∂x2i ∂x2j
∂u ∂ 3 u
dx
∂xi ∂xi ∂x2j
∂ 2u
∂ 2u
dx =
∂xi ∂xj ∂xi ∂xj
Z
|D2 u|2
RN
y se obtiene
kD2 ukL2 (RN ) = kf kL2 (RN ) .
Análogamente, y derivando con respecto a xj podemos escribir
−∆ũ = f˜
donde ∇ũ =
∂u ˜ ∂f
,f=
, y obtenemos
∂xj
∂xj
kD3 ukL2 (RN ) ≤ CkDf kL2 (RN ) .
Este es un cálculo formal que necesita u ∈ C 3 (RN ).
No podemos justificarlo para u ∈ H01 , en su lugar, vamos a estimar cocientes en diferencias.
26
2.1.1.
Cocientes en diferencias.
Definición 2.1.1. Sea u ∈ L1loc (Ω), sea ω ⊂⊂ Ω, sea h ∈ R tal que 0 < |h| < dist(ω, ∂Ω).
1. Se define el k-ésimo cociente en diferencias de tamaño h
Dkh u(x) :=
u(x + hek ) − u(x)
,
h
k = 1, · · · , N,
para x ∈ ω.
(2.1)
¢
¡
h
u .
2. Dh u := D1h u, · · · , DN
Teorema 2.1.2. Cocientes en diferencias y derivadas débiles.
(i) Supongamos que 1 ≤ p < ∞, que u ∈ W 1,p (Ω). Entonces para cada ω ⊂⊂ Ω existe una
constante C tal que
kDh ukLp (ω) ≤ Ck∇ukLp (Ω)
(2.2)
(ii) Supongamos que 1 < p < ∞, que u ∈ Lp (Ω) y que existe una constante C tal que
kDh ukLp (ω) ≤ C
(2.3)
para todo 0 < |h| < 12 dist(ω, ∂Ω). Entonces
u ∈ W 1,p (ω),
con
k∇ukLp (ω) ≤ C
(2.4)
(iii) Supongamos que 1 < p < ∞ y que u ∈ Lp (Ω). Supongamos que existe una constante C tal
que para todo abierto ω ⊂⊂ Ω y para todo 0 < |h| < dist(ω, ∂Ω) se verifica
kDh ukLp (ω) ≤ C.
(2.5)
Entonces
u ∈ W 1,p (Ω),
con k∇ukLp (Ω) ≤ C
(2.6)
Se puede comprobar que
para v h (x) := v(x + hek ).
Dkh (vw) := v h Dkh w + wDkh v,
y que, si el soporte supp(vw) ⊂ ω ⊂⊂ Ω entonces
Z
Z
−h
wDkh v dx
vDk w dx = −
Ω
Ω
para h suficientemente pequeño, 0 < |h| < dist(ω, ∂Ω).
27
(2.7)
(2.8)
2.2.
Regularidad en el interior
Supondremos que Ω ⊂ RN es un conjunto abierto acotado, que u ∈ H01 (Ω) es una solución
débil de la EDP (1.1) con L dado en forma de divergencia y t.q. verifica la condición de elipticidad.
Necesitaremos añadir hipótesis adicionales sobre la regularidad de los coeficientes.
Teorema 2.2.1. Regularidad H 2 en el interior Supongamos que los coeficientes
aij ∈ C 1 (Ω),
bi , c ∈ L∞ (Ω)
(2.9)
y supongamos que
f ∈ L2 (Ω)
Sea u ∈ H 1 (Ω) una solución débil de la EDP
Lu = f,
en Ω,
con L dado en forma de divergencia (1.2) y t.q. verifica la condición de elipticidad 1.8.
2
Entonces u ∈ Hloc
(Ω) y para todo ω ⊂⊂ Ω se verifica la siguiente estimación
¡
¢
kukH 2 (ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukL2 (Ω) ,
(2.10)
la constante C sólo depende de ω, de Ω y de los coeficientes de L.
Observación 2.2.2.
1. No pedimos u ∈ H01 (Ω), sólo pedimos u ∈ H 1 (Ω), i.e., no estamos
fijando la condición de frontera de u.
2. Aseguramos que cualquier posible singularidad de u en la frontera no se propaga hacia el
interior.
2
(Ω) podemos decir que se verifica la EDP Lu = f en casi todo punto
3. Gracias a que u ∈ Hloc
de Ω. Efectivamente, por ser solución débil
a(u , v) = (f , v),
∀v ∈ Cc∞ ,
e integrando por partes
a(u , v) = (Lu , v),
∀v ∈ Cc∞ (Ω).
De donde se obtiene
(Lu − f , v) = 0,
∀v ∈ Cc∞ (Ω).
y en consecuencia, Lu = f en casi todo punto.
Demostración
1. Fijo cualquier conjunto abierto ω0 ⊂⊂ Ω y elijo un abierto ω tal que ω0 ⊂⊂ ω ⊂⊂ Ω.
Selecciono una función suave ζ t.q.
½
ζ ≡ 1,
x ∈ ω0 ; ζ ≡ 0 x ∈ RN \ ω;
(2.11)
0 ≤ ζ ≤ 1.
Llamaremos a ζ función de corte o función de truncamiento. Nos proponemos restringir los
cálculos al abierto ω que está a una distancia estrictamente positiva de la frontera ∂Ω.
28
2. Gracias a que u es una solución débil de (1.1), se verifica que a(u , v) = (f , v) para todo
v ∈ H01 (Ω), y por tanto
Z
N Z
X
∂u ∂v
aij
dx =
f˜v dx
(2.12)
∂x
∂x
i
j
Ω
Ω
i,j=1
donde
f˜ = f −
N
X
bi
i=1
∂u
− cu,
∂xi
(2.13)
3. Sea ahora |h| > 0 suficientemente pequeño, elegimos k ∈ {1, · · · , N } y sustituimos
¡
¢
v := −Dk−h ζ 2 Dkh u
(2.14)
en (2.12), donde Dkh u denota el cociente en diferencias
Dkh u :=
u(x + hek ) − u(x)
,
h
h ∈ R,
h 6= 0,
(2.15)
y obtenemos
−
N Z
X
i,j=1
aij
Ω
∂u ∂ £ −h ¡ 2 h ¢¤
Dk ζ Dk u dx = −
∂xi ∂xj
!
Z Ã
N
X
¡
¢
∂u
− cu Dk−h ζ 2 Dkh u dx.
f−
bi
∂xi
Ω
i=1
(2.16)
Sea I el primer término de la ecuación (2.16), i.e.
I := −
N Z
X
i,j=1
aij
Ω
∂u ∂ £ −h ¡ 2 h ¢¤
Dk ζ Dk u dx
∂xi ∂xj
y sea J el segundo término de la ecuación (2.16), i.e.
!
Z Ã
N
X
¡
¢
∂u
J := −
f−
bi
− cu Dk−h ζ 2 Dkh u dx.
∂xi
Ω
i=1
(2.17)
(2.18)
4. Estimaciones del primer término de la ecuación (2.16), denotado por I
I =
Ω
i,j=1
=
µ
N Z
X
aij
µ
N Z
X
i,j=1
Dkh
Ω
ahij
Dkh
∂u
∂xi
∂u
∂xi
¶
¶
∂ ¡ 2 h ¢
ζ Dk u dx
∂xj
∂ ¡ 2 h ¢
ζ Dk u dx
∂xj
N Z
X
¡ h ¢ ∂u ∂ ¡ 2 h ¢
Dk aij
+
ζ Dk u dx
∂x
∂x
i
j
Ω
i,j=1
donde hemos usado las fórmulas
Z
Ω
(2.19)
Z
vDk−h w dx
=−
Ω
wDkh v dx
(2.20)
y
Dkh (vw) := v h Dkh w + wDkh v,
29
para v h (x) := v(x + hek ).
(2.21)
Volvemos ahora a (2.19)
µ
¶
µ
¶
h ∂u
2
h ∂u
I =
Dk
ζ Dk
dx
∂xi
∂xj
i,j=1 Ω
µ
¶
N Z ·
X
∂ζ
h
h ∂u
+
aij Dk
2ζ
Dkh u
∂x
∂x
i
j
i,j=1 Ω
µ
¶
¸
¡ h ¢ ∂u 2
¡ h ¢ ∂u
∂ζ
h ∂u
h
+ Dk aij
ζ Dk
+ Dk aij
2ζ
D u dx
∂xi
∂xj
∂xi
∂xj k
=: I1 + I2 .
N Z
X
ahij
(2.22)
La condición de elipticidad uniforme implica
Z
I1 ≥ θ
ζ 2 |Dkh ∇u|2 dx.
(2.23)
Además por la regularidad de los coeficientes, ver (2.9), se obtiene
Z
¡
¢
|I2 | ≤ C
ζ|Dkh ∇u| |Dkh u| + ζ|Dkh ∇u| |∇u| + ζ|Dkh u| |∇u| dx
(2.24)
Ω
Ω
para alguna constante C.
Ahora la desigualdad de Cauchy,
1
1
ab ≤ a2 + b2 ,
2
2
implica que
Z
|I2 | ≤ ε
ζ
Ω
2
|Dkh ∇u|2
C
dx +
ε
ab ≤ εa2 +
Z
¡
ω
1 2
b
4ε
¢
|Dkh u|2 + |∇u|2 dx.
(2.25)
Elegimos ε = θ/2, y recordando la estimación i) del teorema 2.1.2 podemos escribir
Z
Z
θ
2
h
2
|I2 | ≤
ζ |Dk ∇u| dx + C
|∇u|2 dx.
(2.26)
2 Ω
Ω
Esta estimación junto con (2.22)-(2.23) implican
Z
Z
θ
2
h
2
ζ |Dk ∇u| dx − C
|∇u|2 dx.
|I| ≥
2 Ω
Ω
5. Estimación del segundo término de la ecuación (2.16), denotado por J
Z
|J| ≤ C
(|f | + |∇u| + |u|) |v| dx.
(2.27)
(2.28)
Ω
¡
¢
donde v = Dk−h ζ 2 Dkh u . Recordando la estimación i) del teorema 2.1.2 podemos escribir
Z
Z
¯ −h ¡ 2 h ¢¯2
¯ ¡ 2 h ¢¯2
¯
¯D
¯D ζ Dk u ¯ dx
ζ Dk u
dx ≤ C
k
Ω
ZΩ
¯
¯
¯ h ¯2
¯Dk u¯ + ζ 2 ¯Dkh ∇u¯2 dx
≤ C
Zω
¯
¯
¯ h ¯2
¯Dk u¯ + ζ 2 ¯Dkh ∇u¯2 dx.
≤ C
Ω
30
La desigualdad de Cauchy con ε nos permite escribir
Z
Z
¯
¯2
¡ 2
¢
C
2¯ h
¯
|J| ≤ ε
ζ Dk ∇u dx +
|f | + |∇u|2 + |u|2 dx.
4ε Ω
Ω
Elegimos ε = θ/4, para obtener
Z
Z
¯
¯2
¢
¡ 2
θ
2¯ h
¯
|J| ≤
ζ Dk ∇u dx + C
|f | + |∇u|2 + |u|2 dx.
4 Ω
Ω
6. Finalmente combinando I = J junto con (2.27) y (2.29), resulta
Z
Z
Z
¯ h ¯2
¯ h ¯2
¡ 2
¢
2
¯Dk ∇u¯ dx ≤
|f | + |∇u|2 + |u|2 dx.
ζ ¯Dk ∇u¯ dx ≤ C
ω0
(2.29)
(2.30)
Ω
Ω
para k = 1, · · · , N y todo h suficientemente pequeño, h 6= 0.
1
La estimación ii) del teorema 2.1.2 nos permite deducir que ∇u ∈ Hloc
(Ω) y podemos escribir
¡
¢
kukH 2 (ω0 ) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukH 1 (Ω) ,
(2.31)
7. Ahora refinamos la estimación (2.31) observando que si ω0 ⊂⊂ ω ⊂⊂ Ω, entonces el mismo
argumento muestra que
¡
¢
(2.32)
kukH 2 (ω0 ) ≤ C kf kL2 (ω) + kukH 1 (ω) ,
Selecciono una nueva función de corte ζ t.q.
½
ζ ≡ 1,
x ∈ ω; supp ζ ⊂ Ω;
0 ≤ ζ ≤ 1.
Sustituyo ahora v = ζ 2 u en la identidad (2.12) y efectuando cálculos llegamos a
Z
Z
¡ 2
¢
2
2
ζ |∇u| dx ≤ C
|f | + |u|2 dx.
Ω
de donde
(2.33)
(2.34)
Ω
¡
¢
kukH 1 (ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukL2 (Ω) ,
(2.35)
y de aquı́ se deduce (2.10).
El siguiente teorema itera el anterior argumento para deducir que si los coeficientes y el dato
f están en espacios más regulares, la solución está en espacios de Sobolev más regulares.
Teorema 2.2.3. Mayor regularidad en el interior Supongamos que los coeficientes
aij , bi , c ∈ C m+1 (Ω)
(2.36)
y supongamos que
f ∈ H m (Ω)
Sea u ∈ H 1 (Ω) una solución débil de la EDP
Lu = f,
en Ω,
con L dado en forma de divergencia (1.2) y t.q. verifica la condición de elipticidad 1.8.
m+2
(Ω) y para todo ω ⊂⊂ Ω se verifica la siguiente estimación
Entonces u ∈ Hloc
¢
¡
kukH m+2 (ω) ≤ C kf kH m (Ω) + kukL2 (Ω) ,
la constante C sólo depende de ω, de Ω, de m y de los coeficientes de L.
31
(2.37)
Teorema 2.2.4. Diferenciabilidad infinita en el interior Supongamos que los coeficientes
aij , bi , c ∈ C ∞ (Ω)
(2.38)
y supongamos que
f ∈ C ∞ (Ω)
Sea u ∈ H 1 (Ω) una solución débil de la EDP
Lu = f,
en Ω,
con L dado en forma de divergencia (1.2) y t.q. verifica la condición de elipticidad 1.8.
Entonces
u ∈ C ∞ (Ω).
2.3.
Regularidad en la frontera
Teorema 2.3.1. Regularidad H 2 en la frontera Supongamos que los coeficientes
aij ∈ C 1 (Ω),
bi , c ∈ L∞ (Ω)
(2.39)
y supongamos que
f ∈ L2 (Ω)
Sea u ∈ H01 (Ω) una solución débil del problema de contorno
½
Lu = f, en Ω,
u = 0, sobre ∂Ω
(2.40)
con L dado en forma de divergencia (1.2) y t.q. verifica la condición de elipticidad (1.8).
Supongamos también que la frontera
∂Ω es C 2 .
Entonces u ∈ H 2 (Ω) y se verifica la siguiente estimación
¡
¢
kukH 2 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukL2 (Ω) ,
(2.41)
la constante C sólo depende de Ω y de los coeficientes de L.
Observación 2.3.2.
trazas.
1. Ahora suponemos que u = 0 en la frontera ∂Ω en el sentido de las
2. Si el operador L es invertible, o de modo equivalente, si 0 6∈ Σ, entonces u ∈ H01 (Ω) es
la única solución débil del problema de contorno (2.40) y gracias al teorema 1.3.16, y a la
acotación (1.59) se obtiene que kukL2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω) de donde se deduce que la estimación
(2.41) se puede simplificar en el siguiente sentido
kukH 2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω) ,
32
(2.42)
Demostración.
1. Supondremos en primer lugar que Ω es una semibola (abierta)
Ω = B(0, 1) ∩ RN
+,
N
RN
+ := {x = (x1 , · · · , xN ) ∈ R | xN > 0}.
Sea ω := B(0, 1/2) ∩ RN
+ . Seleccionemos una función de corte ζ t.q.
½
ζ ≡ 1,
x ∈ B(0, 1/2); ζ ≡ 0 x ∈ RN \ B(0, 1);
0 ≤ ζ ≤ 1.
de forma que ζ ≡ 1 en ω y ζ se anula sobre y cerca de la parte curva de la frontera ∂Ω.
2. Puesto que u es una solución débil de (2.40), se verifica que a(u , v) = (f , v),
H01 (Ω), y por tanto
Z
N Z
X
∂u ∂v
dx =
f˜v dx
aij
∂x
∂x
i
j
Ω
Ω
i,j=1
donde
f˜ = f −
N
X
i=1
bi
∂u
− cu,
∂xi
∀v ∈
(2.43)
(2.44)
3. Sea ahora |h| > 0 suficientemente pequeño, elegimos k ∈ {1, · · · , N − 1} y sustituimos
¡
¢
v := −Dk−h ζ 2 Dkh u
(2.45)
en (2.43), donde Dkh u denota el cociente en diferencias, ver (2.15). La función v(x), para
x ∈ Ω es
¡
¢
1
v(x) = − Dk−h ζ 2 (x) [u(x + hek ) − u(x)]
(2.46)
h
1 ¡
= − 2 ζ 2 (x − hek ) [u(x) − u(x − hek )]
h
¢
−ζ 2 (x) [u(x + hek ) − u(x)] .
Teniendo en cuenta que u = 0 en {xN = 0} en sentido de las trazas, y que ζ ≡ 0 sobre
y cerca de la porción curva de ∂Ω, vemos que v ∈ H01 (Ω). Sustituyendo v en la identidad
(2.43) obtenemos
!
Z Ã
N
N Z
X
X
¢
¡
∂u
∂u ∂ £ −h ¡ 2 h ¢¤
f−
bi
Dk ζ Dk u dx = −
− cu Dk−h ζ 2 Dkh u dx.
−
aij
∂xi ∂xj
∂xi
Ω
i=1
i,j=1 Ω
(2.47)
Sea I el primer término de la ecuación (2.47), i.e.
N Z
X
∂u ∂ £ −h ¡ 2 h ¢¤
aij
Dk ζ Dk u dx
I := −
∂x
∂x
i
j
Ω
i,j=1
y sea J el segundo término de la ecuación (2.47), i.e.
!
Z Ã
N
X
¡
¢
∂u
f−
bi
J := −
− cu Dk−h ζ 2 Dkh u dx,
∂xi
Ω
i=1
vamos a estimar estos términos en un modo parecido al del teorema 2.2.1.
33
(2.48)
(2.49)
4. Estimación de los términos de la ecuación (2.47), denotados por I, J como antes para obtener
Z
Z
θ
2
h
2
|I| ≥
ζ |Dk ∇u| dx − C
|∇u|2 dx.
(2.50)
2 Ω
Ω
Z
Z
¯
¯2
¡ 2
¢
θ
2¯ h
¯
|J| ≤
ζ Dk ∇u + C
|f | + |∇u|2 + |u|2 dx.
(2.51)
4 Ω
Ω
Combinando I = J junto con (2.50) y (2.51), para k = 1, · · · , N − 1 podemos escribir
Z
Z
¯ h ¯2
¡ 2
¢
¯Dk ∇u¯ dx ≤ C
|f | + |∇u|2 + |u|2 dx.
(2.52)
ω
Ω
con h suficientemente pequeño, h 6= 0.
La estimación ii) del teorema 2.1.2 nos permite deducir que
∂u
∈ H 1 (ω),
∂xk
para k = 1, · · · , N − 1,
junto con la estimación
N
X
i,j=1
i+j ≤ 2N −1
° 2 °
° ∂ u °
°
°
° ∂xi ∂xj °
¡
¢
≤ C kf kL2 (Ω) + kukH 1 (Ω) ,
5. Nos falta una estimación de la norma en L2 (ω) de
ecuación Lu = f escrita en forma no divergencia
N
X
N
∂aij
.
∂xj
Despejando resulta
∂ 2u
. La buscamos directamente en la
∂x2N
X
∂u
∂ 2u
+
b̃i (x)
+ c(x)u = f,
−
aij (x)
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
i,j=1
donde b̃i = bi −
PN
j=1
∂ 2u
aN N (x)
=−
∂x2N
N
X
(2.53)
L2 (ω)
(2.54)
N
i,j=1
i+j ≤ 2N −1
X
∂u
∂ 2u
b̃i (x)
aij (x)
+
+ c(x)u − f,
∂xi ∂xj
∂x
i
i=1
(2.55)
Eligiendo ξ = eN = (0, · · · , 0, 1) en la condición de elipticidad uniforme (1.8) resulta
aN N (x) ≥ θ > 0,
para todo x ∈ Ω
e introduciéndolo en (2.55) y teniendo en cuenta las cotas de los coeficiente (2.39) obtenemos


¯ 2 ¯
¯ 2 ¯
N
¯ ∂ u ¯

 X
¯∂ u¯
¯

¯
¯≤C
¯
(2.56)
¯ ∂xi ∂xj ¯ + |∇u| + |u| + |f | ,
¯ ∂x2 ¯

N
i,j=1
i+j ≤ 2N −1
en Ω. Utilizando estas acotaciones en la desigualdad (2.53) concluimos que la solución débil
u ∈ H 2 (ω) y que
¡
¢
¡
¢
(2.57)
kukH 2 (ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukH 1 (Ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + kukL2 (Ω) ,
34
6. Supongamos ahora que el dominio Ω no es una semi-bola, sino que es un dominio cualquiera
con frontera ∂Ω de clase C 2 . Elegimos un punto cualquiera x0 ∈ ∂Ω, renombrando las
coordenadas si fuera necesario podemos suponer que existen una función γ : RN −1 → R de
clase C 2 y un r > 0 tales que
Ω ∩ B(x0 , r) = {(x0 , xN ) ∈ B(x0 , r) : xN > γ(x0 ), x0 ∈ N ⊂ RN −1 }.
Efectuamos un cambio de variables para ”alisar”la frontera. Definimos
½
yi = xi =: hi (x), i = 1, · · · N − 1;
yN = xN − γ(x1 , · · · , yN −1 ) =: hN (x),
(2.58)
Escribiremos
y = h(x)
y la aplicación x → y = h(x) ”allana”la frontera cerca de x0 . Observemos que
det Dh = 1.
Por tanto, la función h es biyectiva y admite una inversa h−1
½
xi = yi =: h−1
i (y), i = 1, · · · N − 1;
−1
xN = yN + γ(y1 , · · · , yN −1 ) =: hN (y),
(2.59)
y análogamente, escribiremos
x = h−1 (y),
y observemos que
det Dh−1 = 1.
Por la regularidad de γ resulta que h es un difeomorfismo local de clase C 2 , i.e. tanto h
como su función inversa h−1 son funciones de clase C 2 .
7. Elegimos δ > 0 suficientemente pequeño como para que la semi-bola
Ω0 := B(0, δ) ∩ {yN > 0}
varı́e en el conjunto
h (Ω ∩ B(x0 , r)) .
Sea
ω 0 := B(0, δ/2) ∩ {yN > 0},
introduciendo el cambio de variable espacial x = h−1 (y) definimos finalmente
u0 (y) := u(h−1 (y)).
Es inmediato comprobar que
u0 ∈ H 1 (Ω0 ),
u0 = 0,
en el sentido de las trazas.
35
sobre ∂Ω0 ∩ {yN = 0}
8. Ahora veremos que u0 es una solución débil de la EDP
L 0 u0 = f 0 ,
en Ω0 ,
(2.60)
para
f 0 (y) := f (h−1 (y))
y
N
X
0 0
L u := −
∂
∂yl
k,l=1
donde
a0kl (y)
:=
N
X
m,n=1
µ
¶ X
N
0
∂u0
0 ∂u
akl
+
b0k
+ c 0 u0 ,
∂yk
∂y
k
k=1
¡
¢ ∂hk ¡ −1 ¢ ∂hl ¡ −1 ¢
amn h−1 (y)
h (y)
h (y)
∂xm
∂xn
(2.61)
para k, l = 1, · · · , N,
b0k (y)
N
X
:=
m=1
para k = 1, · · · , N, y
¡
¢ ∂hk ¡ −1 ¢
bm h−1 (y)
h (y)
∂xm
(2.62)
¡
¢
c0 (y) := c h−1 (y)
(2.63)
para y ∈ Ω0 .
Si v 0 ∈ H01 (Ω) y a0 (·, ·) denota la forma bilineal asociada con el operador L0 tenemos
0
0
0
a (u , v ) :=
N Z
X
k,l=1
Ω0
a0kl (x)
Z
N Z
0
X
∂u0 ∂v 0
0 ∂u 0
dy +
bk
v dy +
c0 u0 v 0 dy,
∂yk ∂yl
∂y
0
0
k
Ω
k=1 Ω
(2.64)
para todos u0 , v 0 ∈ H01 (Ω).
Denotamos
v(x) := v 0 (h(x)).
Entonces, de (2.64) obtenemos
0
0
N X
N Z
X
0
a (u , v ) :=
i,j=1 k,l=1
+
Ω0
a0kl
−1
∂u ∂h−1
∂v ∂hj
i
dy
∂xi ∂yk ∂xj ∂yl
N X
N Z
X
Ω0
i=1 k=1
b0k
∂u ∂h−1
i
v dy +
∂xi ∂yk
Z
c0 uv dy.
Ω0
Ahora, gracias a (2.61) resulta que
N
X
k,l=1
−1
0 ∂hi
akl
∂yk
N
N
X
X
∂h−1
∂h−1
∂hk ∂hl ∂h−1
j
j
i
:=
= aij ,
amn
∂yl
∂xm ∂xn ∂yk ∂yl
m,n=1 k,l=1
(2.65)
gracias a que
Dh · Dh−1 = IN ,
Dh−1 · Dh = IN .
Análogamente, para i = 1, · · · N tenemos
N Z
X
k=1
N
Ω0
b0k
N
XX
∂hk ∂h−1
∂h−1
i
i
=
= bi .
bm
∂yk
∂xm ∂yk
k=1 m=1
36
(2.66)
Sustituyendo estos cálculos en (2.65), cambiando variables y teniendo en cuanta que | det Dh| =
1, obtenemos
0
0
N Z
X
0
a (u , v ) :=
i,j=1
N
aij
Ω
N
XX
∂u ∂v
dy +
∂xi ∂xj
i=1 i=1
Z
Ω
∂u
bi
v dy +
∂xi
Z
cuv dy
Ω
= a(u, v) = (f, v)L2 (Ω) = (f 0 , v 0 )L2 (Ω0 ) .
y de esta forma queda establecido (2.60).
9. Ahora comprobamos que el operador L0 es uniformemente elı́ptico en Ω0
N
X
a0kl (y)ξk ξl
k,l=1
=
N
N
X
X
amn
m,n=1 k,l=1
donde
η = ξDh,
N
X
∂hk ∂hl
ξk ξl =
amn ηm ηn ≥ θ|η|2 ,
∂xm ∂xn
m,n=1
(2.67)
N
X
∂hk
i.e. ηn =
ξk .
∂x
n
k=1
Teniendo en cuenta que Dh · Dh−1 = IN tenemos que ξ = ηDh−1 y por tanto |ξ| ≤ C|η| para
alguna constante C. En consecuencia existe un θ0 > 0 tal que
N
X
a0kl (y)ξk ξl ≥ θ0 |ξ|2 ,
∀y ∈ Ω0 ,
∀ξ ∈ RN .
(2.68)
k,l=1
Observemos también que los coeficientes a0kl son C 1 , gracias a la definición (2.64) y a que h
y h−1 son C 2 .
10. A la vista de (2.60) y de (2.68), podemos aplicar todos los resultados de los pasos 1-5 en la
demostración que nos ocupa, para afirmar que u0 ∈ H 2 (ω 0 ) y que
¡
¢
ku0 kH 2 (ω0 ) ≤ C kf 0 kL2 (Ω0 ) + ku0 kL2 (Ω0 ) ,
(2.69)
En consecuencia
¡
¢
kukH 2 (ω) ≤ C kf kL2 (Ω) + ku0 kL2 (Ω) ,
(2.70)
para ω = h−1 (ω 0 ).
Finalmente, y gracias a que ∂Ω es compacto, podemos recubrir ∂Ω con un recubrimiento
finito de conjuntos ω1 , · · · , ωm como en el caso anterior. Sumando las estimaciones realizadas
en el recubrimiento de la frontera, junto con las estimaciones en el interior, concluimos que
u ∈ H 2 (Ω) y que se verifica la acotación (2.41).
37
Parte II
Teorı́a para Ecuaciones en Derivadas
Parciales no lineales.
38
Capı́tulo 3
Minimización de funcionales. Lema del
paso de la montaña.
3.1.
Introducción. Sistemas lineales como problemas variacionales
Consideremos en sistema de ecuaciones lineales escrito de forma matricial
en RN
Ax = b,
y nos preguntamos si es posible reformular este problema en t’términos de la minimizáisón de una
cierta funicón J : RN → R.
Comencemos por calcular la función J. Para que los puntos crı́ticos de J coincidan con las
soluciones del sistema Ax = b, debemos imponer las condiciones
N
X
∂
J(x) =
aij xj − bi
∂xi
j=1
i = 1, . . . , N.
(3.1)
∂2J
Supongamos que J es una función regular de sus variables, entonces ha de verificarse que
=
∂xj ∂xi
∂ 2J
lo cual implica que
∂xj ∂xi
aij = aji ,
para todo i, j = 1, . . . , N,
i.e. necesariamente A es una matriz simétrica, situación que supondremos de ahora en adelante.
En particular, el espectro de A será real, σ(A) ⊂ R.
Integrando la ecuación (3.1) para i = 1 con respecto de x1 y repitiendo este proceso, por
inducción, podemos ver que,
1
1
J(x) = hAx, xi − hb, xi = xT Ax − bT x,
2
2
(3.2)
donde h·, ·i denota el producto escalar habitual en RN y xT es la matriz traspuesta de la matriz x.
Sea λ ∈ R un autovalor de A, sea x0 un autovector asociado de norma uno, i.e. Ax0 = λx0 .
Definimos
λ
para s ∈ R.
g(s) := J(sx0 ) = s2 − shb, x0 i,
2
39
Supongamos que J está acotada inferiormente, entonces g está acotada inferiormente y necesariamente λ > 0, independientemente de cual sea el vector b. Como consecuencia observamos que si
J está acotada inferiormente, A es una matriz definida positiva. El recı́proco también es cierto.
Proposición 3.1.1. Sea A una matriz simétrica y sea J la función J : RN → R definida por
(3.2).
Entonces J está acotada inferiormente si y sólo si A es una matriz definida positiva, es decir
m = ı́nf J(x) > −∞ ⇔ σ(A) ⊂ R+ .
x∈RN
Demostración. Supongamos que A es definida positiva y sea λ1 > 0 el menor autovalor de A.
Entonces tenemos
1
λ1
J(x) = hAx, xi − hb, xi ≥ |x|2 − |b||x|
(3.3)
2
2
y claramente está acotado inferiormente.
Nos interesa ver como ’únicamente utilizando J podemos demostrar la existencia de una única
solución. El siguiente procedimiento recibe el nombre de método directo del cálculo de variaciones
y consta de los siguientes pasos
N
a) Sea m = ı́nf x∈RN J(x) > −∞ y sea {xn }∞
una sucesión minimizante, i.e
n=1 ⊂ R
N
{xn }∞
n=1 ⊂ R ,
t.q. J(xn ) −→ m
n→∞
λ1
2
Veamos que {xn }∞
n=1 está acotada. En efecto por (3.3), J(xn ) ≥ 2 |xn | − |b||xn | y si la
sucesión no estuviera acotada el segundo término tenderı́a a infinito lo cual es absurdo.
b) Por compacidad, extrayendo una subsucesión si fuese necesario que volveremos a llamar {xn },
podemos suponer que
xn → x0 ∈ RN ,
cuando n → ∞.
c) Por la continuidad de J : RN → R, tenemos que
J(xn ) → J(x0 ),
cuando n → ∞.
y por tanto J(x0 ) = m. Es decir el ı́nfimo de J se alcanza en x0 y Ax0 = b.
De este modo queda garantizada la existencia. En cuanto a la unicidad de soluciones del sistema,
tenemos lo siguiente.
d) Sea J0 la parte cuadrática de J es decir
1
J0 (x) := hAx, xi,
2
J0 es estrictamente positiva excepto si x = 0. Puesto que el otro sumando en J es lineal en
x podemos demostrar
Proposición 3.1.2. En las condiciones anteriores la función J es estrictamente convexa,
es decir para todos x, y ∈ RN con x 6= y, ∀s ∈ (0, 1) tenemos
³
´
J sx + (1 − s)y < sJ(x) + (1 − s)J(y).
En particular J no tiene otros puntos crı́ticos distintos de su mı́nimo absoluto, x0 , y por
tanto éste es la única solución del sistema Ax = b.
40
Demostración. Basta demostrar que J0 es estrictamente convexa. En efecto, está claro que
para todos x, y ∈ RN con x 6= y
0 < J0 (x − y) = J0 (x) − 2hAx, yi + J0 (y)
i.e.
2hAx, yi < J0 (x) + J0 (y),
y podemos escribir
J0 (sx + (1 − s)y) = s2 J0 (x) + 2s(1 − s)hAx, yi + (1 − s)2 J0 (y)
³
´
³
´
< s2 + s(1 − s) J0 (x) + (1 − s)2 + s(1 − s) J0 (y)
= sJ0 (x) + (1 − s)J0 (y).
Por lo tanto J0 y J son estrictamente convexas.
Además la propiedad de convexidad impide que existan máximos locales de J. En caso
contrario el máximo local serı́a el punto medio de un segmento en el que J toma un valor
estrictamente mayor que en los extremos. Tampoco puede haber mı́nimos locales distintos de
x0 , en caso contrario en el segmento que los une habrı́a un punto en que J alcanza un valor
mayor que en los extremos. Tampoco puede haber otro minimizador absoluto distinto de x0 ,
es caso contrario en el segmento que los une J alcanzarı́a un valor estrictamente menor que
m.
Como veremos estas ideas que hemos presentado aquı́, aunque simples, nos serán de gran
ayuda tanto a la hora de resolver problemas de contorno variacionales como a la hora de buscar
procedimientos de aproximación de sus soluciones.
3.2.
Cálculo de variaciones
Supongamos que queremos resolver una EDP dada, que para simplificar denotaremos como
Au = 0
(3.4)
donde A denota un operador en derivadas parciales, posiblemente no lineal, y u es la incógnita.
No hay una teorı́a general para resolver este problema.
El cálculo de variaciones identifica una clase importante de problemas no lineales de este tipo
que se pueden resolver utilizando técnicas relativamente sencillas del análisis funcional no lineal.
Esta es la clase de los problemas variacionales, i.e. EDP de la forma (3.4) cuando el operador no
lineal A es la ”derivada”de un apropiado funcional de ”energı́a”, J. Simbólicamente escribiremos
A = J 0,
(3.5)
J 0 (u) = 0.
(3.6)
y el problema (3.4) resulta ser
La ventaja de esta nueva formulación es que podemos reconocer soluciones de (3.4) como puntos
crı́ticos de (3.6).
Además, muchas de las leyes de la fı́sica y de otras disciplinas cientı́ficas, aparecen directamente
como principios variacionales.
41
3.2.1.
Primera variación, ecuación de Euler-Lagrange
Supongamos que Ω ⊂ RN es un conjunto abierto y acotado con frontera ∂Ω suave. Sea
L : RN × R × Ω → R
una función suave que denominaremos el lagrangiano.
Notación Escribiremos
para p ∈ RN , z ∈ R, x ∈ Ω
L = L(p, z, x) = L(p1 , · · · , pN , z, x1 , · · · , xN ),
”p”será la variable para ser sustituida por ∇w(x) y ”z”será la variable para ser sustituida por
w(x). Sea

 Dp L = (Lp1 , · · · , LpN )
Dz L = Lz
(3.7)

Dx L = (Lx1 , · · · , LxN )
Supongamos que
Z
L (∇w(x), w(x), x) dx,
J(w) :=
(3.8)
Ω
para funciones w : Ω → R suaves t.q.
w = g,
on ∂Ω.
(3.9)
V. a v. q. si u minimiza J entre todas las funciones que verifican (3.9), entonces u es una
solución de cierta EDP no lineal.
Fijo v ∈ CC∞ (Ω) arbitraria, defino
j(s) := J(u + sv), ,
para s ∈ R.
(3.10)
Como u es un minimizador de J y u + sv = g en ∂Ω, entonces j(·) tiene un mı́nimo en s = 0, por
tanto
j 0 (0) = 0.
Calculamos esta derivada,
Z
j(s) =
L (∇u + s∇v, u + sv, x) dx
Ω
derivando
0
j (s) =
N Z
X
i=1
Ω
∂v
Lpi (∇u + s∇v, u + sv, x)
dx +
∂xi
Z
Lz (∇u + s∇v, u + sv, x) v dx,
Ω
y particularizando para s = 0
0
0 = j (0) =
N Z
X
i=1
Ω
∂v
dx +
Lpi (∇u, u, x)
∂xi
Z
Lz (∇u, u, x) v dx.
Ω
Gracias a que v tiene soporte compacto podemos integrar por partes
0=−
N Z
X
i=1
Ω
³
´
∂
Lp ∇u, u, x v dx +
∂xi i
42
Z
³
´
Lz ∇u, u, x v dx.
Ω
(3.11)
puesto que esta igualdad se verifica para todas las funciones test v, podemos concluir que u resuelve
la EDP no lineal
N
³
´
X
∂
−
Lpi ∇u, u, x + Lz (∇u, u, x) = 0,
∂xi
i=1
en Ω.
(3.12)
Esta es la ecuación de Euler-Lagrange asociada con el funcional de energı́a J definido por (3.8).
Es una EDP de segundo orden ”cuasi-lineal.en forma de divergencia.
En resumen cualquier minimizador suave J es una solución de la ecuación en derivadas parciales de Euler-Lagrange. Como consecuencia, podemos buscar soluciones de EDP (3.12) buscando
minimizadores de (3.8).
Ejemplo 1. Principio de Dirichlet generalizado. Sea
N
1X
L(p, z, x) =
aij (x)pi pj − zf (x),
2 i,j=1
dónde los coeficientes aij son simétricos. Entonces
Lpi =
N
X
aij (x)pj , ,
and Lz = −f (x).
i,j=1
Por tanto la ecuación de Euler-Lagrange asociada con el funcional
Z
J(w) :=
Ω
N
1X
∂w ∂w
aij (x)
− wf (x) dx,
2 i,j=1
∂xi ∂xj
es la ecuación lineal en forma de divergencia
µ
¶
N
X
∂
∂u
−
aij (x)
= f,
∂x
∂x
j
i
i,j=1
en Ω.
Ejemplo 2. Ecuación de Poisson no lineal
Dada f : R → R definimos su antiderivada
Z
z
F (z) =
f (y) dy.
0
La ecuación de Euler-Lagrange asociada con el funcional
Z
1
J(w) :=
|∇w|2 − F (w) dx,
2
Ω
es la ecuación de Poisson no lineal
−∆u = f (u), ,
43
en
Ω.
3.2.2.
Segunda variación
Puesto que u es un mı́nimo de J entonces
j 00 (0) ≥ 0
para j definida como en (3.10). Vamos a calcular esa derivada,
00
j (s) =
N Z
X
i,j=1
+2
Ω
Lpi pj (∇u + s∇v, u + sv, x)
N Z
X
∂v ∂v
dx
∂xi ∂xj
Lpi z (∇u + s∇v, u + sv, x)
Ω
Z i=1
+
Lzz (∇u + s∇v, u + sv, x) v 2 dx,
∂v
v dx
∂xi
Ω
sustituyendo s = 0 obtenemos que para todas las funciones test v ∈ CC∞ (Ω) se verifica lo siguiente
00
0 ≤ j (0) =
N Z
X
i,j=1
+2
Ω
Lpi pj (∇u, u, x)
N Z
X
Ω
∂v ∂v
dx
∂xi ∂xj
Lpi z (∇u, u, x)
∂v
v dx
∂xi
Z i=1
+
Lzz (∇u + s∇v, u + sv, x) v 2 dx,
(3.13)
Ω
Aumentamos el espacio de funciones test utilizando argumentos de aproximación, y concluimos
que la anterior desigualdad es válida para cualquier función Lipschitz continua v que se anula
sobre la frontera ∂Ω. Sea ρ : R → R la función periódica ”zig-zag”definida por
½
x,
si 0 ≤ x ≤ 12
ρ(x) :=
,
ρ(x + 1) = ρ(x), ,
para x ∈ R
1 − x, si 21 ≤ x ≤ 1
claramente
|ρ0 | = 1,
en casi todo punto
Fijando ξ ∈ RN elegimos como función test
µ
¶
x·ξ
v(x) := ερ
ζ(x), ,
ε
x ∈ R.
para x ∈ Ω
donde ζ ∈ CC∞ (Ω). Observemos que
∂v
(x) = ρ0
∂xi
µ
x·ξ
ε
¶
ξi ζ(x) + O(ε)
y sustituyendo en la desigualdad (3.13) resulta
0≤
N Z
X
i,j=1
2
Ω
Lpi pj (∇u, u, x) (ρ0 ) ξi ξj ζ 2 dx + O(ε).
44
(3.14)
Recordando (3.14) y tomando lı́mites cuando ε → 0 obtenemos la desigualdad
0≤
N Z
X
i,j=1
Ω
Lpi pj (∇u, u, x) ξi ξj ζ 2 dx.
y puesto que la desigualdad se verifica para cualquier función test ζ ∈ CC∞ (Ω) deducimos
N
X
para ξ ∈ RN ,
Lpi pj (∇u, u, x) ξi ξj ≥ 0,
x ∈ Ω.
(3.15)
i,j=1
Esta desigualdad es una condición necesaria, y contiene una clave para la hipótesis básica de
convexidad del Lagrangiano L que impondremos en la siguiente sección. Observad el paralelismo
con la proposición 3.1.1.
3.3.
Existencia de minimizadores
En esta sección identificaremos algunas condiciones suficientes en el Lagrangiano L para que
el funcional J tenga un minimizador, al menos en un cierto espacio de Sobolev.
3.3.1.
Coercitividad, semicontinuidad inferior
Comenzaremos con una perspectiva heurı́stica para el funcional
Z
J(w) :=
L (∇w(x), w(x), x) dx,
(3.16)
Ω
definido para funciones w : Ω → R apropiadas t.q.
w = g,
on ∂Ω.
(3.17)
Deseamos que J tenga un minimizador, recordemos la introducción.
a. Coercitividad
No todas las funciones suaves f : R → R e inferiormente acotadas alcanzan su ı́nfimo.
Necesitaremos algunas hipótesis controlando J(w) para funciones |w| À 1. Una forma de las más
efectivas es imponer que J ”crezca”muy rápidamente cuando |w| → ∞.
Especı́ficamente, supongamos que

existen constantes α > 0, β ≥ 0, 1 < q < ∞ tales que





L(p, z, x) ≥ α |p|q − β
(3.18)





para todos p ∈ RN , z ∈ R, x ∈ Ω
Por tanto, existe alguna constante δ > 0 tal que
J(w) ≥ δk∇wkqLq (Ω) − C
(3.19)
donde C = β|Ω|. Ası́ J(w) → ∞ cuando k∇wk → ∞. A esta condición se le suele llamar condición
de coercitividad.
45
Parece razonable definir el funcional J sobre el conjunto de funciones del espacio de Sobolev
W 1,q (Ω) que verifican la condición de frontera (3.17) en el sentido de las trazas. El conjunto
A := {w ∈ W 1,q (Ω) | w = g sobre ∂Ω en el sentido de las trazas}
lo llamaremos la clase de funciones admisibles.
b. Semicontinuidad inferior
En dimensión infinita una sucesión acotada no tiene por qué contener una subsucesión convergente.
Sea
m := ı́nf J(w)
w∈A
y elegimos funciones uk ∈ A tales que
J(uK ) → m,
cuando k → ∞.
Llamamos a {uk }∞
k=1 una sucesión minimizante.
Nos gustarı́a poder elegir una subsucesión convergente ya que entonces su lı́mite será el minimizador de J. Necesitamos algún tipo de compacidad, y eso es un problema porque el espacio
de Sobolev W 1,q (Ω) es de dimensión infinita. Utilizando la desigualdad de coercitividad (3.19)
concluimos que la sucesión minimizante varı́a en un conjunto acotado de W 1,q (Ω). Pero esto no
implica que exista una subsucesión convergente en W 1,q (Ω).
Ahora volvemos nuestra atención a la topologı́a débil. En la hipótesis de coercitividad (3.18)
suponı́amos que 1 < q < ∞, por tanto el espacio de Sobolev W 1,q (Ω) es reflexivo, y en consecuencia toda sucesión acotadas contiene una subsucesión débilmente convergente, i.e. existe una
∞
1,q
subsucesión {ukj }∞
(Ω) tales que
j=1 ⊂ {uk }k=1 y una función u ∈ W
ukj * u,
en otras palabras
½
débilmente en W 1,q (Ω)
uk j * u
débilmente en Lq (Ω)
∇ukj * ∇u débilmente en Lq (Ω; RN )
Además, gracias a que el operador traza T : W 1,q (Ω) → Lq (∂Ω) es compacto, se verificará que
u = g en ∂Ω en el sentido de las trazas, y por tanto u ∈ A.
Pero aparece otra dificultad y es que el funcional J en general no es continuo con respecto a
la convergencia débil, en otras palabras no podemos deducir que
J(u) = lı́m J(ukj ),
j→∞
(3.20)
y por tanto que u es un minimizador. El problema es que ∇ukj * ∇u no implica ∇ukj → ∇u en
casi todo punto, es muy posible que los gradientes, acotados en Lq oscilen cada vez más cuando
kj → ∞.
Lo que soluciona finalmente esta situación es que en realidad no se necesita (3.20), bastarı́a
con que
(3.21)
J(u) ≤ lı́m inf J(ukj ),
j→∞
entonces por definición de m deducirı́amos que J(u) ≤ m, como por definición de m m ≤ J(u)
entonces u es un minimizador.
46
Definición 3.3.1. Diremos que un funcional J es débilmente semicontinuo inferiormente en
W 1,q (Ω) siempre que
J(u) ≤ lı́m inf J(uk ),
k→∞
para
u * u,
débilmente en
W 1,q (Ω)
Ahora deberemos identificar condiciones razonables sobre el Lagrangiano L que nos aseguren
que j sea débilmente semicontinuo inferiormente.
3.3.2.
Convexidad
Comenzamos con la definición
Definición 3.3.2. Diremos que una función f : RN → R es convexa si
f (sx + (1 − s)y) ≤ sf (x) + (1 − s)f (y),
para todos
x, y ∈ RN ,
0 ≤ s ≤ 1.
Las funciones convexas tienen una sencilla caracterización:
(C) Una función C 2 es convexa (en un conjunto convexo) si, y sólo si, su matriz Hessiana es
semidefinida positiva (en el interior del conjunto convexo).
Las funciones convexas tienen interesantes propiedades,
(P1) Un mı́nimo local de una función convexa es también un mı́nimo global.
Recordemos el test de la segunda derivada, sea x0 un punto crı́tico, si los autovalores de la matriz
Hessiana en x0 (de las derivadas parciales segundas) son todos positivos, entonces x0 es un mı́nimo
local. Esto nos lleva a la siguiente conclusión.
(P2) Sea x0 un punto crı́tico de una función f convexa C 2 , i.e. ∇f (x0 ) = 0. Entonces x0 es un
mı́nimo global de la función f.
Recordamos la proposición 3.1.1 y la condición necesaria para que un punto crı́tico sea mı́nimo
establecida en la sección 3.2.2,
N
X
Lpi pj (∇u, u, x) ξi ξj ≥ 0,
para ξ ∈ RN ,
x ∈ Ω.
(3.22)
i,j=1
Esta desigualdad (3.22) sugiere que es razonable suponer que el Lagrangiano L sea convexo en
su primer argumento.
Vamos a enunciar el teorema de Egorov, que lo necesitaremos como un resultado técnico para
la demostración de la semicontinuidad inferior débil, que se trata en el siguiente teorema.
Teorema 3.3.3. Teorema de Egorov Supongamos que |Ω| < ∞. Sea {uk }∞
k=1 una sucesión de
funciones uk : Ω → R medibles (i.e. integrables, aunque su integral podrı́a ser +∞ o −∞), tales
que
uk → u,
para casi todo x ∈ Ω
donde Ω ⊂ RN es un conjunto medible, |Ω| < ∞.
Entonces, para cada ε > 0 fijo, existe un subconjunto medible ωε ⊂ Ω tal que
uk → u,
uniformemente en
y además
|Ω \ ωε | < ε.
47
ωε ,
Teorema 3.3.4. Semicontinuidad inferior débil
Supongamos que el lagrangiano L está inferiormente acotado y que la aplicación
p → L(p, z, x),
es convexa
∀z ∈ R, x ∈ Ω.
Entonces
J
es débilmente semicontinuo inferiormente en
W 1,q (Ω).
Demostración.
1. Elijamos una sucesión {uk }∞
k=1 tal que
débilmente en W 1,q (Ω)
uk * u,
y sea l := lı́m inf k→∞ J(uk ). Tenemos que demostrar que
J(u) ≤ l.
2. Observemos que, por la convergencia débil,
sup kuk kW 1,q (Ω) < ∞,
k
ver, por ejemplo [1, proposición III.5.(iii)]. Eligiendo una subsucesión si fuera necesario,
podemos suponer que
l = lı́m J(uk ).
k→∞
Además, por las inyecciones compactas de Sobolev, ver el teorema 1.3.10, resulta que uk → u
fuertemente en Lq (Ω), y ası́, eligiendo otra subsucesión si fuera necesario,
uk → u,
para casi todo x ∈ Ω
3. Fijo ε > 0. Entonces el teorema de Egoroff 3.3.3 asegura que existe un conjunto medible
ωε ⊂ Ω tal que
uk → u,
uniformemente en ωε ,
(3.23)
y además
|Ω \ ωε | < ε.
Podemos elegir ωε ⊂ ωε0 para 0 < ε < ε0 . Definimos ahora
½
¾
1
Aε := x ∈ Ω : |u(x)| + |∇u| ≤
.
ε
Entonces,
|Ω \ Aε | → 0,
cuando ε → 0.
Observemos finalmente que
|Ω \ (ωε ∩ Aε )| → 0,
48
cuando ε → 0.
(3.24)
4. Gracias a que L está inferiormente acotado, podemos suponer que
L≥0
(en caso contrario, podrı́a sobre L̃ := L + β). En consecuencia,
Z
Z
J(uk ) =
L (∇uk (x), uk (x), x) dx ≥
L (∇uk (x), uk (x), x) dx
Ω
ωε ∩Aε
Z
≥
L (∇u(x), uk (x), x) dx
ωε ∩Aε
Z
+
Dp L (∇u(x), uk (x), x) · (∇uk − ∇u) dx
(3.25)
(3.26)
ωε ∩Aε
la última desigualdad se debe a que L es convexa en su primer argumento. Ahora, por (3.23),
(3.24) podemos escribir
Z
Z
L (∇u(x), uk (x), x) dx =
L (∇u(x), u(x), x) dx
lı́m
k→∞
ωε ∩Aε
ωε ∩Aε
Además, puesto que
Dp L (∇u(x), uk (x), x) → Dp L (∇u(x), u(x), x) ,
uniformemente en ωε ∩ Aε
y
∇uk * ∇u,
tenemos
débilmente en Lq (Ω)
Z
Dp L (∇u(x), uk (x), x) · (∇uk − ∇u) dx = 0
lı́m
k→∞
ωε ∩Aε
Y recordando la última desigualdad deducimos que
Z
l = lı́m J(uk ) ≥
L (∇u(x), uk (x), x) dx.
k→∞
ωε ∩Aε
Esta desigualdad se verifica para cada ε > 0. Hacemos tender ε → 0, recordamos que L ≥ 0
y el lema de Fatou de la convergencia monótona para concluir que
Z
l≥
L (∇u(x), u(x), x) dx = J(u).
Ω
c.q.d.
Teorema 3.3.5. Existencia de un minimizador
Supongamos que L verifica la desigualdad de coercitividad (3.18) y que es convexo en la variable
p. Supongamos que el conjunto de las funciones admisibles A es no vacı́o.
Entonces existe al menos una función u ∈ A que minimiza el funcional J
J(u) = mı́n J(w).
w∈A
Demostración.
49
1. Sea
m := ı́nf J(w).
w∈A
Si m = +∞ (Vo ). Supongamos que m es finito. Elijamos una sucesión minimizante {uk }∞
k=1
entonces
J(uk ) → m
(3.27)
2. Supondremos que en la desigualdad (3.18) podemos escribir L ≥ α|p|q (en caso contrario,
podrı́amos argumentar sobre L̃ := L + β), entonces
Z
α
|∇uk (x)|q dx ≤ J(uk ).
(3.28)
Ω
Como m es finito, de (3.27) y (3.28) deducimos que
sup k∇uk kLq (Ω) < ∞.
(3.29)
k
3. Fijo ahora w ∈ A. Puesto que uk = g = w sobre ∂Ω en el sentido de las trazas, se cumple
que uk − w ∈ W01,q (Ω). La desigualdad de Poincaré implica que
kuk kLq (Ω) ≤ kuk − wkLq (Ω) + kwkLq (Ω)
≤ Ck∇uk − ∇wkLq (Ω) + C ≤ C,
gracias a (3.29). En consecuencia
sup kuk kLq (Ω) < ∞.
k
1,q
Esta estimación junto con (3.29) implican que la sucesión {uk }∞
(Ω).
k=1 está acotada en W
∞
1,q
4. Por tanto existe una subsucesión {ukj }∞
(Ω) tal que
j=1 ⊂ {uk }k=1 y una función u ∈ W
ukj * u,
débilmente en W 1,q (Ω).
Aseguramos que además u ∈ A. Observemos que para w ∈ A se tiene que uk − w ∈
W01,q (Ω), que es un subespacio lineal cerrado de W 1,q (Ω). El teorema de Mazur afirma que
un subespacio cerrado y convexo de un espacio de Banach reflexivo es débilmente cerrado.
Por tanto u − w ∈ W01,q (Ω), i.e. la traza de u en la frontera ∂Ω es g.
Por el teorema 3.3.4,
J(u) ≤ lı́m inf J(ukj ) = m.
j→∞
Y como u ∈ A entonces
J(u) ≤ m = mı́n J(w) ≤ J(u), ,
w∈A
Volvemos al problema de la unicidad.
50
i.e. J(u) = m.
Teorema 3.3.6. Unicidad del minimizador
Supongamos que
L = L(p, x),
no depende de
z,
y que L es uniformemente convexo en la variable p, i.e.

existe una constante θ > 0 tal que




N
X


Lpi pj (p, x) ξi ξj ≥ θ|ξ|2 ,


N
para p, ξ ∈ R ,
(3.30)
x ∈ Ω.
i,j=1
Entonces existe una única función u ∈ A que minimiza el funcional J
J(u) = mı́n J(w).
w∈A
Demostración.
1. Supongamos que u 6= ũ ∈ A son minimizadores de J sobre A. Entonces v :=
d. q.
J(u) + J(ũ)
.
J(v) <
2
u+ũ
2
∈ A, v. a
(3.31)
2. Por la hipótesis de convexidad uniforme, tenemos
θ
L(p, x) ≥ L(q, x) + Dp L(q, x) · (p − q) + |p − q|2
2
Sean q =
para todo x ∈ Ω, p, q ∈ RN .
∇u+∇ũ
,
2
p = ∇u, e integremos sobre Ω
µ
¶ µ
¶
Z
Z
∇u + ∇ũ
∇u − ∇ũ
θ
|∇u − ∇ũ|2 dx.
J(u) ≥ J(v) +
Dp L
,x ·
dx +
2
2
8
Ω
Ω
Análogamente, sean q =
∇u+∇ũ
,
2
p = ∇ũ, e integremos sobre Ω
µ
¶ µ
¶
Z
Z
∇u + ∇ũ
∇ũ − ∇u
θ
J(ũ) ≥ J(v) +
Dp L
,x ·
dx +
|∇u − ∇ũ|2 dx.
2
2
8
Ω
Ω
Sumando y dividiendo por dos obtenemos
θ
J(u) + J(ũ)
≥ J(v) +
2
8
Z
|∇u − ∇ũ|2 dx,
Ω
lo que demuestra (3.31).
3. Como J(u) = J(ũ = mı́nw∈A J(w), deducimos que ∇u = ∇ũ para casi todo punto en Ω.
Como además u = ũ = g sobre ∂Ω en el sentido de las trazas, obtenemos que u = ũ para
casi todo punto en Ω.
51
3.4.
Soluciones débiles de la ecuación de Euler-Lagrange
Ahora demostraremos que cualquier minimizador u ∈ A de J resuelve la ecuación de EulerLagrange en algún sentido. No es una consecuencia de los cálculos hechos en la sección anterior, sólo
sabemos que u ∈ W 1,q (Ω). Necesitaremos hipótesis adicionales sobre las condiciones de crecimiento
de L y sus derivadas. Supondremos que existe una constante C tal que

|L(p, z, x)|
≤ C (|p|q + |z|q + 1)





¡
¢
|Dp L(p, z, x)| ≤ C |p|q−1 + |z|q−1 + 1
(3.32)




¡
¢

|Dz L(p, z, x)| ≤ C |p|q−1 + |z|q−1 + 1 ,
para todos p ∈ RN , z ∈ R, x ∈ Ω
Volvemos a la ecuación de Euler-Lagrange

N
³
´

 X ∂
−
Lpi ∇u, u, x + Lz (∇u, u, x) = 0 ,
∂xi
i=1


u = g ,
en Ω,
(3.33)
sobre ∂Ω.
Multiplicamos esta ecuación por una función test v ∈ Cc∞ (Ω) e integrando por partes
N Z
X
i=1
Ω
∂v
Lpi (∇u, u, x)
dx +
∂xi
Z
Lz (∇u, u, x) v dx = 0.
Ω
Ahora supondremos que u ∈ W 1,q (Ω). Utilizando las hipótesis de crecimiento (3.32) obtenemos
¡
¢
0
|Dp L(∇u, u, x)| ≤ C |∇u|q−1 + |u|q−1 + 1 ∈ Lq (Ω),
Análogamente
donde q 0 =
q
,
q−1
1
1
+ 0 = 1.
q q
¡
¢
0
|Dz L(∇u, u, x)| ≤ C |∇u|q−1 + |u|q−1 + 1 ∈ Lq (Ω).
En consecuencia observamos que la ecuación (3.33) es válida para v ∈ W01,q (Ω)
Definición 3.4.1. Diremos que u ∈ A es una solución para la ecuación de Euler-Lagrange si
N Z
X
i=1
Ω
∂v
Lpi (∇u, u, x)
dx +
∂xi
Z
Lz (∇u, u, x) v dx = 0,
para todo
Ω
v ∈ W01,q (Ω).
Teorema 3.4.2. Solución de la ecuación de Euler-lagrange
Supongamos que L verifica las hipótesis de crecimiento (3.32). Supongamos que u ∈ A verifica
J(u) = mı́n J(w)
w∈A
Entonces u es una solución débil de la ecuación de Euler-Lagrange (3.33).
52
Demostración.
Fijo v ∈ W01,q (Ω) arbitraria, defino
j(s) := J(u + sv),
para s ∈ R.
(3.34)
Por la hipótesis (3.32) vemos que j(s) es finita para todo s.
Sea s 6= 0, denotamos el cociente en diferencias
L (∇u + s∇v, u + sv, x) − L (∇u, u, x)
,
s
Ls (x) :=
entonces
j(s) − j(0)
=
s
para casi todo x ∈ Ω,
Z
Ls (x) dx.
(3.35)
Ω
Claramente, cuando s → 0,
Ls (x) →
N
X
Lpi (∇u, u, x)
i=1
∂v
+ Lz (∇u, u, x) v,
∂xi
para casi todo x ∈ Ω.
(3.36)
Además
Z
s
d
L (∇u + s∇v, u + sv, x) ds
0 ds
Z N
1 sX
∂v
Lpi (∇u + s∇v, u + sv, x)
=
s 0 i=1
∂xi
1
L (x) =
s
s
+Lz (∇u + s∇v, u + sv, x) v ds.
Ahora recordamos la desigualdad de Young
0
a q bq
ab ≤
+ 0,
q
q
donde
1
1
+ 0 = 1.
q q
Gracias a que u, v ∈ W 1,q (Ω), a la hipótesis (3.32) y a la desigualdad de Young podemos escribir
|Ls (x)| ≤ C (|∇u|q + |u|q + |∇v|q + |v|q + 1) ∈ L1 (Ω),
para todo s 6= 0.
Finalmente, el teorema de la convergencia dominada aplicado a (3.35) y teniendo en cuenta (3.36)
implica que existe j 0 (0) y que
0
j (0) =
N Z
X
i=1
Ω
Z
³
´
³
´ ∂v
dx +
Lz ∇u, u, x v dx.
Lpi ∇u, u, x
∂xi
Ω
Puesto que j tiene un mı́nimo para s = 0 entonces j 0 (0) = 0, y ası́ u es una solución débil.
Observación 3.4.3. En general, la ecuación de Euler-Lagrange (3.33) tendrá otra soluciones que
no se corresponden con los mı́nimos del funcional J, ver la sección 3.5. sin embargo, en el caso
especial en el que la aplicación
(p, z, x) → L(p, z, x)
es convexa para cada
entonces cada solución es de hecho un minimizador.
53
x,
Supongamos que u ∈ A es una solución de la ecuación de Euler-Lagrange (3.33) en sentido
débil y seleccionemos cualquier w ∈ A. Por la convexidad
para todo x ∈ Ω, p, q ∈ RN .
L(q, w, x) ≥ L(p, z, x)+Dp L(p, z, x)·(q−p)+Dz L(p, z, x)(w−z)·(
Sea p = ∇u(x), q = ∇w(x), z = u(x), y w = w(x) e integremos sobre Ω
Z
J(w) ≥ J(u) +
Dp L (∇u, u(x), x) · (∇w − ∇u) dx + Dz L (∇u, u(x), x) (w − u) dx.
Ω
Por ser solución de la ecuación, el segundo sumando del segundo miembro es cero, y por tanto
J(v) ≥ J(u) para cada w ∈ A.
Observación 3.4.4. Hay Lagrangianos que a pesar de no ser convexos, son débilmente semicontinuos inferiormente.
Supongamos que
P ∈ MN ×N , z ∈ RN , x ∈ Ω,
L(P, z, x) = F (P, det P, z, x),
donde
F : MN ×N × R × RN × Ω → R
Supongamos además que

 para cada z ∈ RN , x ∈ RN

(P, r, z, x) → F (P, r, z, x)
es suave
fijo, la aplicación
es convexa
.
Un Lagrangiano L de esta forma se denomina policonvexo.
Puede demostrarse que, si además L está inferiormente acotado, entonces L es débilmente
semicontinuo inferiormente. También puede demostrarse que, si L es policonvexo y coercitivo,
entonces el ı́nfimo del funcional de energı́a asociado se alcanza, se puede ver en ambos casos [2,
§8.2].
Teorı́a de elasticidad no lineal
El interés de este tipo de hipótesis de policonvexidad, reside en la teorı́a de elasticidad no
lineal. Si el material es hiperelástico existe por definición una densidad de energı́a asociada L tal
que el desplazamiento fı́sico u minimiza el funcional de energı́a interna
Z
J(w) :=
L (Dw, x) dx
Ω
sobre todos los desplazamientos admisibles w ∈ A. Fı́sicamente es apropiado que L, que representa la densidad de energı́a interna frente a estiramientos y compresiones, pueda depender
explı́citamente de los cambios locales de volumen, i.e. del det (Dw), i.e. L(P, x) = F (P, det P, x).
Observación 3.4.5. Pueden también considerarse aplicaciones del cálculo de variaciones a ciertos
problemas de minimización con ligaduras, y en particular discutir acerca de los multiplicadores de
Lagrange en la correspondiente EDP de Euler-Lagrange, se puede ver casos [2, §8.4].
54
Problemas de autovalores no-lineales
Consideremos el siguiente problema de autovalores no-lineales
½
−∆u = λf (u) en Ω
u = 0,
sobre ∂Ω
(3.37)
donde λ es un parámetro y las incógnitas son (λ, u) con u 6= 0. Supondremos
|f (s)| ≤ C (|s| + 1) .
Se minimiza el funcional de energı́a
1
J(v) :=
2
Z
|∇v|2 dx
Ω
sobre todas las funciones v tales que v = 0 sobre ∂Ω, sujetas a la condición
Z
F(v) :=
F (v) dx = 0,
Ω
donde F : R → R es tal que F 0 = f.
Se investigan problemas con restricciones integrales. Se introduce la clase de funciones admisibles
A := {v ∈ H01 (Ω) | F (v) = 0}.
Suponiendo que A es no vacı́o, se demuestra que existe un u ∈ A que minimiza el funcional J, y
que eso implica que
Z
Z
∇u · ∇v dx = λ
f (u)v dx,
para todo v ∈ H01 (Ω)
Ω
Ω
i.e., que existe un par (λ, u) con u 6= 0, solución débil de (3.37) . Se puede decir que el autovalor
del problema no-lineal λ, corresponde a un multiplicador de Lagrange para la restricción integral
F(v) = 0.
Incompresibildad. El problema de Stokes
Sea Ω ⊂ R3 un abierto acotado simplemente conexo, sea
Z
1
J(v) :=
|Dv|2 − f · v dx,
2
Ω
para v en el conjunto
A := {v ∈ H01 (Ω; R3 ) | div v = 0}
y donde f ∈ L2 (Ω; R3 ) es una función dada. Se demuestra que existe un único minimizador u ∈ A,
la solución u representa la velocidad de un fluido estacionario dentro de una región Ω, sujeto a
una fuerza externa f . El constreñimiento de que div u = 0 asegura que el flujo es incompresible.
Se demuestra que existe una función escalar p ∈ L2loc (Ω) tal que
Z
Z
Du : Dv dx =
p div v+f ·v dx,
para todo v ∈ H01 (Ω; R3 )
Ω
Ω
55
con soporte compacto.
donde si A = (ai,j )1≤i≤m,1≤j≤n y B = (bi,j )1≤i≤m,1≤j≤n son matrices, se denota por
A:B =
m X
n
X
aij bij ,
i=1 j=1
³
i.e., si u = (u1 , u2 , u3 ), y v = (v1 , v2 , v3 ), entonces Du =
∂ui
∂xj
´
1≤i,j≤3
y
3
3 X
3
X
X
∂ui ∂vi
=
∇ui · ∇vi .
Du : Dv =
∂xj ∂xj
i=1
i=1 j=1
Se interpreta esta ecuación en el sentido
Stokes

 −∆u =
div u =

u =
de que (u, p) es una solución débil del problema de
f − ∇p en Ω
0
en Ω
0
sobre ∂Ω.
(3.38)
La función p es la presión y aparece como un multiplicador de Lagrange correspondiente a la
condición de incompresibilidad div u = 0.
3.5.
Puntos crı́ticos. Lema del paso de la Montaña
Buscamos soluciones adicionales a la EDP de Euler-lagrange, mirando otros puntos crı́ticos.,
que en general no serán minimizadores, sino ”puntos de silla”.
a. Puntos crı́ticos, deformaciones.
Sea H un espacio de Hilbert real con norma k · k y producto escalar (, ). Sea J : H → R un
funcional no lineal definido sobre H.
Definición 3.5.1. Diremos que J es diferenciable en u ∈ H si existe v ∈ H tal que
J(w) = J(u) + (v, w − u) + o(kw − uk),
para w ∈ H.
(3.39)
El elemento v si existe es único, entonces escribiremos J 0 (u) = v.
Definición 3.5.2. Diremos que J ∈ C 1 (H; R) si existe J 0 (u) para todo u ∈ H y la aplicación
J 0 : H → H es continua.
Notación
(i) Denotaremos por C la colección de funcionales J ∈ C 1 (H; R) tales que la aplicación
J0 : H → H
es Lipschitz continua sobre conjuntos acotados de H.
(ii) si c ∈ R escribiremos
Ac := {u ∈ H | J(u) ≤ c},
Definición 3.5.3.
Kc := {u ∈ H | J(u) = c, J 0 (u) = 0}.
(i) Diremos que u es un punto crı́tico si J 0 (u) = 0.
(ii) El número real c es un valor crı́tico si Kc 6= ∅.
56
(3.40)
Ahora queremos demostrar que si c no es un valor crı́tico, entonces podemos deformar el conjunto Ac+ε en Ac−ε para algún ε > 0. La idea es resolver una ODE en H y seguir el flujo resultante.
Como H en general es infinito dimensional, necesitaremos alguna condición de compacidad.
Definición 3.5.4. Un funcional J ∈ C 1 (H; R) cumple la condición de compacidad de PalaisSmale si para cada sucesión {uk }∞
k=1 ⊂ H tal que
(i) {J(uk )}∞
k=1 está acotada, y
(ii) J 0 (uk ) → 0 en H
∞
entonces {uk }∞
k=1 es precompacto en H, i.e. existe una subsucesión {ukj }j=1 convergente en H.
Vamos a enunciar un teorema, se puede ver la demostración en [2, §8.5].
Teorema 3.5.5. Teorema de deformación
Supongamos que J verifica la condición de Palais-Smale. Supongamos también que
Kc = ∅.
Entonces para cada ε > 0 suficientemente pequeño, existe una constante 0 < δ < ε y una función
η ∈ C([0, 1] × H; H)
tal que las aplicaciones
ηt (u) = η(t, u)
para
0 ≤ t ≤ 1, u ∈ H
cumplen
(i) η0 (u) = u
para todo
u ∈ H,
(ii) η1 (u) = u
para todo
u 6∈ J −1 [c − ε, c + ε],
(iii) J(ηt (u)) ≤ J(u)
para
0 ≤ t ≤ 1, u ∈ H,
(iiv) η1 (Ac+δ ) ⊂ Ac−δ .
Demostración.
1. V.a d. por R.A.A. q. existen constantes 0 < δ0 , ε0 < 1 tales que
kJ 0 (u)k ≥ δ0
para cada u ∈ Ac+ε0 \ Ac−ε0 .
En caso contrario, existirán sucesiones δk → 0, εk → 0 y elementos
uk ∈ Ac+εk \ Ac−εk
(3.41)
kJ 0 (uk )k ≤ δk .
(3.42)
tales que
Por la condición de Palais-Smale, existe una subsucesión {ukj }∞
j=1 y un elemento u ∈ H tales
que ukj → u en H. Como J ∈ C 1 (H; R), y teniendo en cuenta (3.41) y (3.42), se obtiene que
J(u) = c,
J 0 (u) = 0.
En consecuencia Kc 6= ∅, lo que contradice una de las hipótesis.
57
2. Ahora fijo δ que cumpla
0 < δ < ε0 ,
δ02
.
2
0<δ<
(3.43)
Sean
A := {u ∈ H | J(u) ≤ c − ε0
o J(u) ≥ c + ε0 },
B := {u ∈ H | c − δ0 ≤ J(u) ≤ c + δ0 },
decir u ∈ A es equivalente a decir u 6∈ J −1 [c − ε0 , c + ε0 ].
Como J 0 está acotado sobre conjuntos acotados,la aplicación
u → dist (u, A) + dist (u, B)
está acotada inferiormente por una constante positiva en cada subconjunto de H, y en
consecuencia la función
g(u) :=
dist (u, A)
dist (u, A) + dist (u, B)
u ∈ H,
cumple
0 ≤ g ≤ 1,
g=0
Sea
sobre A,
½
h(t) :=
g=1
sobre B.
1,
0≤t≤1
1/t, t ≥ 1.
Finalmente definimos la aplicación V : H → H por
³
´
V (u) := −g(u) h kJ 0 (u)k J 0 (u)
(3.44)
para u ∈ H.
V está acotado.
3. Consideremos ahora para cada u ∈ H la EDO
(
dη
(t) = V (η(t)) t > 0
dt
η(0) = u.
Como V está acotado y es Lipschitz continuo sobre conjuntos acotados, existe una única
solución para todo t ≥ 0. Escribimos η = η(t, u) = ηt (u) para t ≥ 0, u ∈ H para representar
la dependencia de la solución del tiempo y del dato inicial u ∈ H. Nos restringimos al
intervalo 0 ≤ t ≤ 1 para ver que la aplicación η ∈ C([0, 1] × H; H) verifica las afirmaciones
(i) y (ii). En efecto, consideremos
u ∈ A ⇔ u 6∈ J −1 [c − ε, c + ε],
entonces g = 0 sobre A y por definición V = 0 sobre A, en consecuencia
t > 0 y se verifica (ii).
58
dη
(t) = 0 para
dt
4. Calculamos ahora
¶
d
J (ηt (u)), ηt (u)
dt
³
´
= J 0 (ηt (u)), V (ηt (u))
³
´
= −g(ηt (u)) h kJ 0 (ηt (u))k kJ 0 (ηt (u))k2 .
d
J(ηt (u)) =
dt
En particular,
µ
0
´
d ³
J ηt (u) ≤ 0
dt
(3.45)
para u ∈ H, 0 ≤ t ≤ 1,
i.e. se verifica (iii).
5. Ahora fijo un punto u ∈ Ac+δ , queremos probar que η1 (u) ∈ Ac−δ , y por tanto se verifica
(iv).
Si ηt (u) 6∈ B para algún 0 ≤ t ≤ 1, como
d
J (ηt (u)) ≤ 0,
dt
entonces se verifica (iv). Supongamos por el contrario que ηt (u) ∈ B para todo 0 ≤ t ≤ 1,
por definición de g, g(ηt (u)) = 1 para todo 0 ≤ t ≤ 1. En consecuencia, el cálculo (3.45) se
escribe
d
J(ηt (u)) = −h (kJ 0 (ηt (u))k) kηt (u))k2 .
dt
Ahora, si kJ 0 (ηt (u))k ≥ 1, entonces de la definición de h, ver (3.44) y de (3.39) se deduce
que
d
J(ηt (u)) = − kηt (u))k ≤ −δ0 ≤ 0.
dt
Si por el contrario kJ 0 (ηt (u))k ≤ 1, entonces de la definición de h, ver (3.44) y de (3.39) se
deduce que
d
J(ηt (u)) = − kηt (u))k ≤ −δ0 ≤ 0.
dt
estas dos estimaciones hacen que se verifique (iv) c.q.d.
b. Teorema del paso de la Montaña
Teorema 3.5.6. Teorema del paso de la Montaña
Supongamos que J ∈ C verifica la condición de Palais-Smale. Supongamos también que
(i) J(0) = 0,
(ii) existen constantes r, a > 0 tales que
J(u) ≥ a
si
kuk = r,
y
(iii) existe un elemento ∈ H con
kvk > r,
J(v) ≤ 0.
59
Definimos
Γ := {g ∈ C([0, 1]; H) | g(0) = 0, g(1) = v}.
Entonces
c := ı́nf máx J(g(t))
g∈Γ 0≤t≤1
es un valor crı́tico de J.
Demostración.
1. Claramente
c ≥ a.
2. Supongamos que c no es un valor crı́tico de J, entonces
Kc = ∅
Elijamos un número suficientemente pequeño
0<ε<a
De acuerdo con el teorema de deformación, 3.5.5, existe una constante 0 < δ < ε y un
homeomorfismo η : H → H con
η(Ac+δ ) ⊂ Ac−δ
y
η(u) = u
si u 6∈ J −1 [c − ε, c + ε].
Ahora seleccionamos g ∈ Γ que cumpla
máx J(g(t)) ≤ c + δ.
0≤t≤1
Entonces ĝ := η ◦ g también pertenece a Γ puesto que
η(g(0)) = η(0)
y η(g(1)) = η(v) = v
Pero entonces
máx J(ĝ(t)) ≤ c − δ,
0≤t≤1
lo que contradice la definición de c.
60
Capı́tulo 4
Principio del máximo. Método de sub y
supersoluciones.
4.1.
Principio del máximo.
Si una función u de clase C 2 alcanza su máximo sobre un conjunto abierto Ω en un punto
x0 ∈ Ω entonces
∇u(x0 ) = 0,
y D2 u(x0 ) ≤ 0,
³ 2 ´
u
donde esta última desigualdad significa que la matriz simétrica D2 u(x0 ) = ∂x∂i ∂x
es
j
1≤i,j≤N
semidefinida negativa en x0 . Es una afirmación en un punto y por tanto tiene sentido para
una función C 2 . También será más apropiado considerar operadores elı́pticos L en forma de nodivergencia.
N
N
X
X
∂2u
∂u
Lu = −
aij (x)
+
bi (x)
+ c(x) u.
(4.1)
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i,j=1
i=1
Supondremos en esta sección que se verifica la condición de elipticidad (1.8) y que c ≥ 0.
Observación 4.1.1. Recordemos que, por el teorema 1.3.5 y la observación 1.3.8, si c ≥ 0, el
operador L es invertible.
Consideremos el problema de Dirichlet
½
Lu = f, en Ω,
u = g, sobre ∂Ω.
(4.2)
Para abordar estas técnicas nos volvemos a preguntar acerca de la regularidad de las soluciones.
En particular, cuándo podemos esperar soluciones clásicas u ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω) o al menos soluciones
fuertes u ∈ W 2,p (Ω). Enunciamos a continuación dos importantes teoremas relativos a la teorı́a
de la regularidad elı́ptica. Ver el [Gilbarg-Trudinger].
Supongamos ahora que los datos son más regulares, en particular que los coeficientes
ai,j , bi , c ∈ C α (Ω)
para algún 0 < α < 1
y que c ≥ 0.
Supondremos también que L es uniformemente elı́ptico sobre un dominio acotado Ω con frontera
∂Ω ∈ C 2+α .
En el siguiente teorema establecemos la existencia de soluciones clásicas y las estimaciones de
Schauder.
61
Teorema 4.1.2. Supongamos que
f ∈ C α (Ω)
Entonces
u ∈ C 2+α (Ω)
y
y
g ∈ C 2+α (Ω)
³
´
kukC 2+α (Ω) ≤ C kf kC α (Ω) + kgkC 2+α (Ω)
para alguna constante C > 0 que depende de N, α, θ, kaij kC α (Ω) , kbi kC α (Ω) , kckC α (Ω) , y del dominio
Ω. La constante C es independiente de u, f, g.
Ahora estableceremos la existencia de soluciones fuertes. Supondremos que los coeficientes
aij = aji ∈ C(Ω), bi , c ∈ L∞ (Ω),
sobre un dominio acotado Ω con frontera
∂Ω ∈ C 2 .
Primero damos una definición del módulo de continuidad.
Definición 4.1.3. Consideremos una función f : Ω → R, un punto x ∈ Ω y un número real
δ > 0. Definimos el módulo de continuidad en el punto x ∈ Ω como
$f (δ, x) :=
sup
|f (x) − f (y)|.
y∈Ω∩B(x,δ)
y el módulo de continuidad
$f (δ) := sup {$f (δ, x)} .
x∈Ω
Establecemos a continuación un teorema de existencia de soluciones fuertes debido, entre otros,
a Agmon, Douglis y Niremberg.
Teorema 4.1.4. Supongamos que
f ∈ Lp (Ω)
y
g ∈ W 2,p (Ω)
para algún
1 < p < ∞.
Entonces el problema de Dirichlet (4.2) tiene una única solución
u − g ∈ W01,p (Ω).
u ∈ W 2,p (Ω),
Y para cualquier subdominio ω ⊂⊂ Ω se verifica que
¡
¢
kukW 2,p (ω) ≤ C kukLp (Ω) + kf kLp (Ω))
para alguna constante C > 0 que depende de N, p, θ, kaij k∞ , kbi k∞ , kck∞ , ω, Ω y del módulo de
continuidad de los coeficientes aij en ω. La constante C es independiente de u, f, g.
Además, si u ∈ W 2,p (Ω) ∩ W01,p (Ω) entonces
kukW 2,p (Ω) ≤ CkLukLp (Ω)) .
para alguna constante C > 0 que depende de N, p, θ, kaij k∞ , kbi k∞ , kck∞ , Ω y del módulo de continuidad de los coeficientes aij en Ω. La constante C es independiente de u, f, g.
62
4.1.1.
Principio del máximo débil.
En primer lugar, identificamos las circunstancias bajo las que una función alcanza su máximo
(o mı́nimo) sobre la frontera. Supondremos siempre que el dominio Ω es un abierto acotado.
Teorema 4.1.5. Supongamos que u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω).
(i) Supongamos además que c ≡ 0 en Ω.
(a) Si
Lu ≤ 0
en Ω
entonces
máx u = máx u.
Ω
∂Ω
(b) Y análogamente, si
Lu ≥ 0
en Ω
entonces
mı́n u = mı́n u
Ω
∂Ω
(ii) Supongamos que c ≥ 0 en Ω.
(a) Si
Lu ≤ 0
en Ω
entonces
máx u ≤ máx u+ ,
∂Ω
Ω
donde u+ (x) := máx {u(x), 0}.
(b) Y análogamente, si
Lu ≥ 0
en Ω
entonces
mı́n u ≥ mı́n u−
Ω
∂Ω
−
donde u (x) := mı́n {u(x), 0}.
Definición 4.1.6. Una función que verifica Lu ≤ 0
en Ω se denomina una subsolución.
en Ω se denomina una supersolución
Una función que verifica Lu ≥ 0
Observación 4.1.7.
1. El teorema anterior afirma que, si c ≡ 0, una subsolución alcanza su
máximo en la frontera. Y análogamente, una supersolución alcanza su mı́nimo en la frontera.
2. El principio del máximo débil puede leerse del siguiente modo.
Sea u una supersolución del problema de Dirichlet
½
Lu ≥ 0, en Ω,
u ≥ 0, sobre ∂Ω,
entonces
u ≥ 0 en Ω.
Demostración.
63
(4.3)
1. Supongamos que se verifica la desigualdad estricta Lu < 0
x0 ∈ Ω tal que
u(x0 ) = máx u
en Ω, y que existe un punto
Ω
En dicho punto
y D2 u(x0 ) ≤ 0.
∇u(x0 ) = 0,
2. Como la matriz A = (aij ) es simétrica y definida positiva, existe una matriz ortogonal
B = (bij ) tal que
BAB T = diag (d1 , · · · , dN ),
BB T = I,
con dk > 0 para k = 1, · · · , N. Sea
y = x0 + B(x − x0 ),
entonces
x − x0 = B T (y − x0 ),
y ası́
N
N
X ∂u
∂u
=
bki ,
∂xi
∂yk
k=1
N
X X ∂ 2u
∂ 2u
=
bki blj ,
∂xi ∂xj
∂yk ∂yl
k=1 l=1
i, j = 1, · · · , N.
Por tanto en el punto x0
N
X
N X
N
N
X
X
∂ 2u
∂2u
∂2u
aij
dk
aij (x0 )
(x0 ) =
bki blj =
≤ 0,
2
∂xi ∂xj
∂yk ∂yl
∂y
k
i,j=1
i,j=1 k,l=1
k=1
ya que dk > 0 y
∂2u
(x0 )
∂yk ∂yl
≤ 0.
3. En consecuencia, en x0
N
X
N
X ∂u
∂ 2u
Lu(x0 ) = −
aij (x0 )
(x0 ) +
bi
≥ 0,
∂x
∂x
∂x
i
j
i
i,j=1
i=1
lo que es incompatible con la desigualdad estricta, y tenemos una contradicción.
4. En el caso general, sea
uε (x) := u(x) + εeλx1 ,
para x ∈ Ω,
donde ε > 0 y λ > 0 se seleccionará más adelante. Recordemos que la condición de uniformidad elı́ptica implica que ajj (x) ≥ θ para j = 1, · · · , N y x ∈ Ω. Por tanto
¡
¢
£
¤
£
¤
Luε = Lu + εL eλx1 ≤ εeλx1 −λ2 a11 + λb1 ≤ εeλx1 −λ2 θ + λkbkL∞ (Ω) < 0
en ω eligiendo λ > 0 suficientemente grande. Entonces máxΩ uε = máx∂Ω uε . Ahora hacemos
ε → 0 y entonces máxΩ u = máx∂Ω u, lo que demuestra (i),(a). El apartado (i),(b) es
análogo.
5. Para demostrar (ii), consideremos una subsolución u y sea
V := {x ∈ Ω | u(x) > 0}.
Entonces Ku := Lu − cu ≤ −cu ≤ 0 en V, y por el apartado (i),
máx u = máx u = máx u+ .
V
∂V
∂Ω
Esto demostrarı́a (ii),(a) siempre que V 6= ∅. En caso contrario, u ≥ 0 en todo Ω y también
se cumple (ii),(a). El apartado (ii),(b) es análogo.
64
4.1.2.
Principio del máximo fuerte.
A continuación demostraremos que una subsolución u no puede alcanzar su máximo en un
punto interior excepto si es constante. El siguiente lema es un análisis sutil de la derivada normal
en un punto de frontera donde se alcance el máximo.
exterior ∂u
∂ν
Lema 4.1.8. Lema de Hopf. Supongamos que u ∈ C 2 (Ω)∩C(Ω), y que c ≡ 0 en Ω. Supongamos
además que
Lu ≤ 0
en Ω
y que existe un punto x0 ∈ ∂Ω tal que
u(x0 ) > u(x) para todo x ∈ Ω,
i.e. tal que
máx u = máx u = u(x0 ),
Ω
∂Ω
y x0 es un máximo estricto. Supongamos que Ω verifica la condición de la bola interior en x0 , i.e.
que existe una bola B ⊂ Ω tal que x0 ∈ ∂B. Entonces
(i)
∂u
(x0 ) > 0.
∂ν
(ii) Si c ≥ 0 en Ω entonces se tiene la misma conclusión siempre que
u(x0 ) ≥ 0.
Observación 4.1.9. La importancia de (i) es la desigualdad estricta, es obvio que ∂u
(x0 ) ≥ 0.
∂ν
La condición de la bola interior en x0 se verifica automáticamente en abiertos Ω con frontera
de clase C 2 .
Demostración.
1. Supongamos que c ≥ 0 y que B = B(0, r) para algún radio r > 0. Definimos
2
v(x) := e−λ|x| − e−λr
2
para x ∈ B
para un λ > 0 que seleccionaremos a posteriori. Utilizando la condición de elipticidad uniforme
Lv = −
N
X
N
aij
i,j=1
2
= e−λ|x|
X ∂v
∂ 2v
+
bi
+ cv
∂xi ∂xj
∂xi
i=1
N
X
N
³
´
X
¢
¡
2
2
2
bi 2λxi + c e−λ|x| − e−λr
aij −4λ2 xi xj + 2λδij − e−λ|x|
i,j=1
−λ|x|2
≤ e
¡
2
2
−4θλ |x| + 2λtrA + 2λb|x| + c
¢
i=1
para A = (aij ) , b = (b1 , · · · , bN ) .
Consideremos la región anular abierta R = B(0, r) \ B(0, 2r ), tenemos
Lv ≤ e−λ|x|
2
¡
¢
−θλ2 r2 + 2λtrA + 2λbr + c ≤ 0
supuesto que fijamos λ > 0 suficientemente grande.
65
en R
(4.4)
2. Gracias a que x0 es un máximo estricto, existe una constante ε > 0 tal que
u(x0 ) ≥ u(x) + εv(x)
para x ∈ ∂B(0, r/2),
además, gracias a que v ≡ 0 sobre ∂B(0, r) podemos escribir
u(x0 ) ≥ u(x) + εv(x)
para x ∈ ∂B(0, r).
3. De (4.4) obtenemos
L(u + εv − u(x0 )) ≤ −cu(x0 ) ≤ 0
en R,
y de las desigualdades en el apartado anterior 2, obtenemos
u + εv − u(x0 ) ≤ 0
sobre ∂R.
Gracias al principio débil del máximo, teorema 4.1.5,
u + εv − u(x0 ) ≤ 0
en
R.
Pero u(x0 ) + εv(x0 ) − u(x0 ) ≤ 0, luego
∂u
∂v
(x0 ) + ε (x0 ) ≥ 0.
∂ν
∂ν
En consecuencia,
∂u
∂v
ε
2
(x0 ) ≥ −ε (x0 ) = − ∇v(x0 ) · x0 = 2λεre−λr > 0,
∂ν
∂ν
r
c.q.d.
El lema de Hopf es la herramienta técnica primaria en el siguiente resultado
Teorema 4.1.10. Principio del máximo fuerte
Sea u ∈ C 2 (Ω) ∩ C(Ω).
(i) Supongamos además que c ≡ 0 en Ω.
(a) Si
Lu ≤ 0
en
Ω
y
máx u = u(x0 )
con
x0 ∈ Ω
con
x0 ∈ Ω
Ω
entonces
u
es constante sobre
Ω.
(b) Y análogamente, si
Lu ≥ 0
en
Ω
y
mı́n u = u(x0 )
Ω
entonces
u
es constante sobre
Ω.
(ii) Supongamos que c ≥ 0 en Ω. Supongamos además que Ω es conexo.
66
(a) Si
Lu ≤ 0
en
Ω
y
máx u = u(x0 ) ≥ 0
Ω
con x0 ∈ Ω
entonces
u
es constante sobre
Ω
y
Ω.
(b) Y análogamente, si
Lu ≥ 0
en
mı́n u = u(x0 ) ≤ 0
con
Ω
x0 ∈ Ω
entonces
u
es constante sobre
Ω.
Observación 4.1.11.
1. El principio del máximo fuerte afirma que, si c ≡ 0 y una subsolución alcanza su máximo en el interior, entonces es constante. Y análogamente, si una
supersolución alcanza su mı́nimo en el interior, entonces es constante.
2. El principio del máximo fuerte afirma que, si c ≥ 0 y una subsolución alcanza un máximo
mayor o igual que cero en el interior, entonces es constante. Y análogamente, si una supersolución alcanza su mı́nimo menor o igual que cero en el interior, entonces es constante.
3. El principio del máximo fuerte puede leerse del siguiente modo.
Sea u una supersolución estricta del problema de Dirichlet
½
Lu ≥ 0, en Ω,
u ≥ 0, sobre ∂Ω,
(4.5)
tal que, o bien
Lu 6≡ 0 en Ω,
o bien
u 6≡ 0 sobre ∂Ω.
Entonces
u(x) > 0 para todo x ∈ Ω,
Además,
si u(x0 ) = 0 para algún x0 ∈ ∂Ω,
entonces
∂u
(x0 ) < 0.
∂ν
Demostración.
1. Sean
M := máx u
y C := {x ∈ Ω | u(x) = M }.
Ω
Entonces, si u 6= M , sea
V := {x ∈ Ω | u(x) < M }.
Elegimos un punto
y∈V
tal que dist(y, C) < dist(y, ∂Ω),
y sea B la mayor bola centrada en y cuyo interior permanezca en V. Entonces existe un
punto x0 ∈ C con x0 ∈ ∂B. Claramente V verifica la condición de bola interior en x0 , y por
el lema de Hopf, (i)
∂u
(x0 ) > 0.
∂ν
Pero esto contradice el hecho de que u alcanza un máximo en x0 ∈ Ω y ∇u(x0 ) = 0.
2. La demostración de (ii) es como la anterior, recurriendo al lema de Hopf.
67
4.2.
Método de sub y supersoluciones.
La idea es explotar propiedades de ordenación de las soluciones. Demostraremos que si podemos
encontrar una subsolución u y una supersolución u ordenadas, i.e. u ≤ u, entonces existe una
solución u
u ≤ u ≤ u.
Este tipo de resultados se aplican a problemas elı́pticos semi-lineales
½
Lu = f (x, u), en Ω,
u = 0,
sobre ∂Ω
(4.6)
donde L es un operador diferencial dado por (4.1). Supondremos que los coeficientes
ai,j , bi , c ∈ C α (Ω)
para algún 0 < α < 1
y que c ≥ 0.
Supondremos también que L es uniformemente elı́ptico sobre un dominio acotado Ω con frontera
de clase C 2+α .
Supondremos que la función f verifica las siguientes hipótesis
(H1)
f ∈ C α (Ω × R)
para algún 0 < α < 1,
(H2) y que existe una constante M > 0 tal que
f (x, s) − f (x, t) + M (s − t) > 0
para todo x ∈ Ω, s > t.
Definición 4.2.1. Una función u ∈ C 2 (Ω) que verifica
Lu ≤ f (x, u)
en Ω,
u≤0
sobre
∂Ω
se denomina una subsolución del problema semi-lineal de frontera (4.6).
Una función u ∈ C 2 (Ω) que verifica
Lu ≥ f (x, u)
en Ω,
u≥0
sobre
∂Ω
se denomina una supersolución del problema semi-lineal de frontera (4.6).
Una subsolución que no es una solución se denomina subsolución estricta. Análogamente se
definen las supersoluciones estrictas.
Teorema 4.2.2. Supongamos que existen una subsolución u y una supersolución u del problema
(4.6) ordenadas, i.e. tales que u ≤ u.
Entonces el problema (4.6) tiene una solución minimal, u y una solución maximal u que están
ordenadas
u ≤ u ≤ u ≤ u.
Además la solución minimal u, (y la solución maximal u), se pueden calcular mediante el
siguiente esquema iterativo
u0 = u,
½
y para k ≥ 0
(L + M )uk+1 = f (x, uk ) + M uk , en Ω,
uk+1 = 0,
sobre ∂Ω
(4.7)
La sucesión {uk } es creciente y converge a la solución minimal u en C 2 (Ω).
Análogamente, si u0 = u entonces se obtiene una sucesión decreciente y convergente a la
solución maximal u en C 2 (Ω).
68
Demostración.
1. Por definición de u1 tenemos que
(L + M ) (u1 − u) ≥ 0
en Ω,
u1 − u ≥ 0
sobre ∂Ω.
Por el principio del máximo débil, teorema 4.1.5, y la observación 4.1.7 resulta que u1 ≥ u
en Ω.
Un argumento de inducción, junto con la hipótesis (H2) sobre f nos llevan a la conclusión
de que la sucesión es creciente, i.e.
{uk } ↑ .
Los mismos argumentos implican que u1 ≤ u en Ω, y que
uk ≤ u
en Ω.
2. En consecuencia, existe un lı́mite puntual
u ≤ u(x) := lı́m uk (x) ≤ u.
k→∞
Por la desigualdad anterior y el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, uk → u
en Lq (Ω) para todo q ≥ 1.
3. La sucesión de funciones {f (·, uk (·))} está acotada en C α (Ω). Por el teorema 4.1.2 de regularidad elı́ptica para soluciones clásicas, la sucesión {uk } está acotada en C 2+α (Ω).
4. Por la inmersión compacta
C 2+α (Ω) ,→ C 2 (Ω),
deducimos que {uk } es una sucesión relativamente compacta en C 2 (Ω) y tendrá por tanto
una subsucesión que converge a u en C 2 (Ω) y u es una solución.
Como además la sucesión {uk } es monótona concluimos finalmente que
{uk } ↑
y uk → u
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en C 2 (Ω).
Bibliografı́a
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