a) 2 + 3i b) –1 + i c) –2 –2i

I.E.S. COMPLUTENSE
Tema 9
1
Números complejos (Pendientes Matemáticas I)
1. Representa gráficamente el opuesto y el conjugado de:
a) 2 + 3i
b) –1 + i
c) –2 –2i
d) 4 – 3i
[Sol] a) – 2 – 3i, 2 – 3i; b) 1 – i, – 1 – i; c) 2 + 2i, - 2 + 2i; d) – 4 + 3i, 4 + 3i.
2. Completa la tabla:
z
2 – 3i
−z
1/z
z
−1 + 4i
3 – 3i
i
[Sol]
2
3
1
4
1 1
1ª fila, -2+3i, 2+3i, + i ; 2ª fila, 1-4i, 1+4i,
+ i ; 3ª fila, 3+3i, -3-3i, − i ; 4ª fila, -i, i, i.
13 13
17 17
6 6
3. Realiza las siguientes operaciones:
 5   3 
 1
  5 3 
a)  − − i  + 1 + i 
b)  − − 6i  −  − + i 
 3   2 
 4
  4 2 
 3 
 3 
e) (− 2i )·1 + i 
d) (3 − i )·1 + i 
 2 
 2 
[Sol]
a) −
5

c) (2 − i )· + 3i 
2

f) (3 – 2i)·(3 + 2i)
2 1
15
7
9 7
+ i ; b) 1 − i ; c) 8 + i ; d) + i ; e) 3 − 2i ; f) 13
2
2
2 2
3 2
4. Calcula:
b) (3 − 2i )2
a) i10 + i141 + i15
[Sol] a) –1; b) 5 – 12i;
c) −
 3 
c) 1 + i 
 2 
d) (−1 + 2i)6
5
+ 3i ; d) 117 – 44i.
4
5. Dados z1 = 3 – 2i, z2 = −3 + i y z3 = 5i, calcula:
b) z 1 + 2z 2 − z 3
a) z 1 + z 2 + z 3
z −z
d) 2 1
e) (z1 + 2 z 3 )( z 2 − z1 )
z3
[Sol] a) 4i ; b)
2
−3 − 5i ; c) 3 + 29i ; d)
c) z1 ( z 2 + z 3 ) + z 3
3 6
+ i ; e) −42 − 39i .
5 5
6. Efectúa las siguientes operaciones:
 2
2 
a) 
+
i
2 
 2
[Sol] a)1; b) − 512
8
3 − 512i ; c)
(
b) 2 3 − 2i
3 1
+ i ; d)
5 5
)
5
c)
2
3−i
d)
1+ i
1− i
i.
7. (PAU) a) ¿Qué relación existe entre el conjugado del opuesto de un número complejo,
z = a + bi , y el opuesto del conjugado del mismo número? Razone la respuesta.
3 − xi
b) Calcule los números x e y de modo que
= y + 2i .
1 + 2i
[Sol] a) son iguales; b) x = -16, y = 7.
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)
I.E.S. COMPLUTENSE
Tema 9
2
8. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número imaginario puro:
2
k − 2i
b) k + 2i
c)
a) (2 − 3i )(1 + ki )
8 + 2i
2
1
[Sol] a) k = − ; b) k = ± 2 ; c) k = .
(
)
2
3
9. Calcula en cada caso el valor que ha de tener k para que el resultado de la operación
correspondiente sea un número real:
k − 2i
1+ i
a) (3 + ki )(6 − 3i )
b)
c)
5 − 6i
k + 2i
3
5
[Sol] a) k = ; b) k = ; c) k = 2 .
2
3
10. Expresa en forma binómica:
a) 2(cos 135º + i sen 135º) · 3(cos 45º + i sen 45º)
b) [2 (cos 30º + i sen 30º)]5
4(cos 240º + i sen 240º )
5π
5π  1 
π
π

d) 2  cos
c)
+ i sen  ·  cos + i sen 
1
6
6  4
3
3

(cos 30º + i sen 30º )
2
[Sol] a) –6;
b) − 16 3 + 16i ; c) − 4 3 − 4i ; d) −
3 1
− i
4
4
11. Realiza las siguientes operaciones y expresa el resultado en forma binómica:
1
1
a) 2 210º ·  
b)   : 330 º
c) 2 π · 2 4 π
3
 4  60 º
 3 150º
3
( )
[Sol] a)
−
1
1
3
i ; b) −
+
i ; c)
2
18 18
2 − 6i
12. Si z = 460º y z´ = 245º calcula:
a) z + z´
[Sol] a) (2 +
b) z · z´
c)
z
z´
d) z2 · z´
e) z 2 · z´
f) (-z) · z´
2 ) + (2 3 + 2 ) i ; b) 8105º ; c) 215º; d) 32165º; e) 3275; f) 8285º
13. Encuentra la ecuación que tiene por raíces:
a) 2 - i y 2 + i
b) 2, –3, i y –i
2
4
3
[Sol] a) z – 4z + 5 = 0; b) z + z – 5z2 + z – 6 = 0.
14. Halla las soluciones, reales o complejas, de las ecuaciones:
a) z2 – 2z + 5 = 0
b) z4 – 256 = 0
c) z 4 + 1 − 3i = 0 .
[Sol] a) 1 + 2i, 1 – 2i; b) 4, -4, 4i, -4i; c) (4 2 )30º , (4 2 )120º , (4 2 )210º , (4 2 )300º
(
)
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) z5-1 = 0
b) z3 + 8 = 0
[Sol] a) 10º; 172º; 1144º; 1216º y 1288º; b) 260º; 2180º y 2300º ;
Matemáticas I (Ed. McGraw−Hill)