Fundamentos Físicos de la Ingeniería

Fundamentos Físicos de la Ingeniería
Primer Examen Parcial / 15 enero 2004
1. Un transbordador navega en línea recta con una velocidad constante v0 = 8 m/s durante 60 s. A continuación,
detiene sus motores; entonces, su velocidad viene dada en función del tiempo por la expresión v = v0 t12 / t 2 ,
siendo t1 = 60 s. ¿Cuál es el desplazamiento del transbordador en el intervalo 0 < t < ∞ ?
El espacio recorrido con velocidad constante hasta el instante t1 = 60 s es
x1 = v0t1 = 8× 60 = 480 m
A partir de ese instante, la velocidad va disminuyendo, por lo que obtendremos el recorrido
mediante una integración:
v=
v0t12 dx
v0t12
=
→
x
=
d
dt →
t2
t2
dt
∫
x∞
x1
dx = v0t12 ∫
∞
t1
dt
t2
→
∞
⎛1 1 ⎞
1
x∞ − x1 = v t −
= v0t12 ⎜⎜⎜ − ⎟⎟⎟ = v0t1
t t1
⎝ t1 ∞ ⎠⎟
2
0 1
de modo que el desplazamiento total en el intervalo 0 < t < ∞ es
x∞ = x1 + v0t1 = v0t1 + v0t1 = 2v0t1 = 960 m
8 m/s
960 m
480 m
x
v
60 s
Departamento de Física Aplicada
Revisión: 13/12/04
ETSIAM
120 s
t
Universidad de Córdoba
Impresión: 23/06/2005
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Primer Examen Parcial / 15 enero 2004
2. Un disco de radio r está girando alrededor de su eje de simetría con velocidad angular ω y aceleración
angular α. Simultáneamente, el disco está girando, con velocidad angular constante Ω, alrededor de un eje fijo
en el espacio que está contenido en el plano del disco y es tangente al perímetro de éste en un punto Q.
Determinar la velocidad y aceleración del punto P del perímetro del disco diametralmente opuesto al punto Q
de tangencia.
El disco está sometido a dos rotaciones simultáneas: una
rotación intrínseca ω alrededor de su eje de simetría de
revolución y una rotación de precesión Ω. Elegido un
referencial como el indicado en la figura, podemos escribir:
⎛ω ⎟⎞
⎜
ω = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎛ ⎞
⎛ω ⎞⎟
⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎜
Ω = ⎜ 0 ⎟⎟ → ω res = ω + Ω = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝Ω⎠⎟
⎝⎜⎜Ω⎠⎟
⎛α⎞⎟
⎜
α = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
⎜⎝⎜ 0 ⎠⎟
JJG ⎛⎜0⎞⎟
CP = ⎜⎜ r ⎟⎟⎟
⎝⎜⎜0⎠⎟
z
Ω
ω, α
C
Q
P
y
JJG ⎛⎜ 0 ⎞⎟
QP = ⎜⎜2r ⎟⎟⎟
⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟
La velocidad del punto P del disco se obtiene como la
correspondientes a cada una de las dos rotaciones; i.e.,
superposición o suma de las
JJG
JJG ⎛⎜ω ⎞⎟ ⎛⎜0⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎛⎜−2Ωr ⎞⎟
v P = ω × CP + Ω× QP = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ r ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜2r ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟
⎜⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜⎜0⎠⎟ ⎝⎜⎜Ω⎠⎟ ⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜⎜ ω r ⎠⎟
Determinamos la aceleración de P a partir de la aceleración del punto C (centro del disco);
i.e.,
JJG
JJG
dω
a P = aC + res × CP + ω res × ω res × CP
dt
(
)
La aceleración del punto C es la aceleración centrípeta asociada a una trayectoria circular de
radio r con velocidad angular Ω constante:
⎛ 0 ⎞⎟
⎜
aC = ⎜⎜−Ω2 r ⎟⎟⎟
⎜⎜ 0 ⎟⎟
⎝
⎠
Calculamos la derivada temporal de la velocidad angular resultante teniendo en cuenta que ω
precesa con velocidad angular Ω, de modo que
⎛α⎞⎟ ⎛ 0 ⎞⎟ ⎛ω⎞⎟ ⎛ α ⎞⎟
dω res dω dΩ
dω res JJG ⎛⎜⎜ α ⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜0⎞⎟⎟ ⎛⎜⎜ 0 ⎞⎟⎟
⎜
⎜
⎜
⎜
=
+
= (α + Ω×ω) + 0 = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ + ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ωΩ⎟⎟⎟ →
× CP = ⎜ωΩ⎟⎟×⎜ r ⎟⎟ = ⎜ 0 ⎟⎟
⎜⎝⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜⎜Ω⎠⎟ ⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟
dt
dt
dt
dt
⎝⎜⎜ 0 ⎠⎟ ⎝⎜⎜0⎠⎟ ⎝⎜⎜αr ⎠⎟
Calculamos el último termino:
⎞⎟
0
⎛ω ⎞⎟ ⎛0⎞⎟ ⎛ω ⎞⎟ ⎛−Ωr ⎞⎟ ⎛⎜
JJG
⎜
⎜
⎜
⎜
ω res × ω res × CP = ω res ×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ r ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟×⎜⎜ 0 ⎟⎟⎟ = ⎜⎜−ω 2 r −Ω2 r ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝Ω⎠⎟ ⎝⎜⎜0⎠⎟ ⎝⎜⎜Ω⎠⎟ ⎝⎜⎜ ω r ⎠⎟ ⎜⎜
⎟
0
⎝
⎠⎟
(
)
Finalmente, tenemos
⎞⎟
⎛ 0 ⎞⎟ ⎛ 0 ⎞ ⎛
⎞ ⎛
0
⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ 2 0 2 ⎟⎟ ⎜⎜
2
2
⎜
⎜
a P = ⎜−Ω r ⎟⎟ + ⎜ 0 ⎟⎟ + ⎜−ω r −Ω r ⎟⎟ = ⎜⎜−(ω + 2Ω ) r ⎟⎟⎟
⎟
⎟
⎜⎜⎝ 0 ⎠⎟⎟ ⎜⎜⎝αr ⎠⎟ ⎝⎜⎜
0
⎠⎟ ⎜⎝
αr
⎠⎟
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3. Un tablero rectangular uniforme, de longitud 25 cm, se apoya sobre un
cilindro de 5 cm de radio y sobre el suelo, como se indica en la figura.
Tanto el tablero como el cilindro pesan 5 kg. ¿Cuánto deben valer, como
mínimo, los coeficientes estáticos de rozamiento entre cilindro y tablero,
entre cilindro y suelo y entre tablero y suelo para que el sistema esté en
equilibrio?
25 cm
5 cm
30º
Determinamos la posición del punto D de contacto del tablero con el cilindro :
AD =
R
5
=
= 18.66 cm
tg15º tg15º
Para que el sistema esté en equilibrio, deberán estarlo el tablero y el cilindro por separado.
Aplicamos las ecuaciones cardinales de la estática al tablero, tomando momentos en A:
→ (1) N 3 sen 30º = f1 + f 3 cos 30
N3
f3
↑ (2) N1 + N 3 cos 30º + f 3 sen 30º = P
D f3
N2
C
E 25 cm
N3
P
5 cm
z (3) N 3 AD = P
→ ( 4)
15º
15º
f 2 + f 3 cos 30º = N 3 sen 30º
↑ (5) N 2 = P + N 3 cos 30º + f3 sen 30º
A
f2
L
cos 30º
2
y al cilindro (momentos en C):
N1
P
B
A
f1
C
z ( 6)
f3 R = f 2 R
de modo que disponemos de 6 ecuaciones con 6 incógnitas (N1, N2, N3, f1, f2 y f3) que
resolvemos para obtener:
PL cos 30º 5× 25cos 30º
=
= 2.90 kg
2×18.66
2AD
f3 = f 2
(3) N3 =
(6)
sen 30º
sen 30º
N3 =
× 2.90 = 0.78 kg
1 + cos 30º
1 + cos 30º
(5) N 2 = P + N3 cos 30º + f3 sen 30º = 5 + (2.90 cos 30º +0.78sen 30º) = 7.90 kg
(4) f 2 (1 + cos 30º) = N3 sen 30º → f 2 = f3 =
(2) N1 = P −( N3 cos 30º + f3 sen 30º) = 5 −(2.90 cos 30º +0.78sen 30º ) = 2.10 kg
(1) f1 = N3 sen 30º = f 2 (1 + cos 30º) − f3 cos 30º = f3 = 0.78 kg
∴
f1 = f 2 = f3 = 0.78 kg N1 = 2.10 kg N 2 = 7.90 kg N 3 = 2.90 kg
y los coeficientes de rozamiento pedidos serán:
µ1 ≥
f1
0.78
=
= 0.37
N1 2.10
µ2 ≥
f2
0.78
=
= 0.10
N 2 7.90
µ3 ≥
f3
0.78
=
= 0.27
N 3 2.90
Aplicando las ec. cardinales de la estática al sistema completo (tablero+cilindro), tomando momentos en A:
→ (i )
f 2 = f1
↑ (ii) N1 + N 2 = 2 P → N1 = 2 P − N 2 = 10 − 7.90 = 2.10 kg
A
z (iii) N 2 AB = P AB + P
⎛
⎞
⎛
⎞
12.5
L
L/2
cos 30º → N 2 = ⎜⎜1 +
cos 30º⎟⎟⎟ P = ⎜⎜1 +
cos30º⎟⎟⎟× 5 = 7.90 kg
⎜
⎜
⎝
⎠
⎝ 18.66
⎠
2
AB
que junto con el sistema de ecuaciones (1)-(2)-(3) o el (4)-(5)-(6) nos conduce a los mismo resultados que antes.
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4. Un automóvil que pesa 750 kg circula por una carretera a nivel con una velocidad 54 km/h cuando su motor
desarrolla una potencia de 10 CV. a) ¿Cuánto vale la suma de todas las resistencias (rozamiento, resistencia
del aire, ...) que actúan sobre el automóvil? b) ¿Qué potencia deberá desarrollar el motor del automóvil para
subir a 54 km/h una cuesta del 10% de pendiente? c) ¿Qué potencia será necesaria para que el automóvil baje
a 54 km/h una pendiente del 3%? d) ¿Qué pendiente permitirá que el automóvil baje a una velocidad de
54 km/h sin que funcione el motor? (Nota: supóngase que todas las fuerzas de resistencia permanecen
constantes). Datos: 1 CV = 736 W.
Datos: v = 54 km/h = 15 m/s, P = 10 CV = 7360 W
a) Puesto que la velocidad permanece constante, la potencia
desarrollada por el motor se empleará en vencer todas las
resistencias que se oponen al movimiento del automóvil; esto
es,
P = Fv = f v →
f =
f
F
P 7360
=
= 490.7 N = 50 kg
v
15
b) Una pendiente del 10% representa un ángulo θ tal
que tg θ = 0.1 → θ = 5.7º . Ahora, la potencia desarrollada
deberá vencer también la componente del peso del automóvil
en la dirección del movimiento que se opone al movimiento
del automóvil; esto es,
N
F
f
mg
P = Fv = ( f + mg sen θ ) v =
= (490.7 + 750×9.8sen 5.7º )×15 = 18331 W = 24.9 CV
c) Una pendiente del 3% representa un ángulo θ tal
que tg θ = 0.03 → θ = 1.7º . Ahora, la componente del peso
del automóvil en la dirección del movimiento favorece el
movimiento del automóvil; esto es,
N
f
F
P = Fv = ( f − mg sen θ ) v =
= (490.7 − 750×9.8sen1.7º )×15 = 4 055 W = 5.5 CV
mg
d) Con el motor parado, i.e., P = 0, la resistencia estará compensada con la componente del
peso del automóvil en la dirección del movimiento :
f = mg sen θ → sen θ =
f
490.7
50
=
=
= 0.067
mg 750×9.8 750
lo que representa una pendiente de
θ = 3.83º → tg θ = 0.067 = 6.7%
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5. Un disco, de 300 g de masa, 10 cm de radio y de pequeño espesor, pivota (gira)
alrededor de un diámetro vertical sobre el centro de una plataforma circular horizontal
de mayor tamaño, 450 g de masa y 20 cm de radio, que puede girar alrededor de su eje
de simetría vertical, común con el de rotación del disco pequeño. Cuando el disco
pequeño se encuentra girando a 130 r.p.m., se libera el disco grande para que pueda
empezar a girar. Una vez que, por efecto del rozamiento entre ambos, se igualen sus
velocidades de rotación, ¿cuál será esa velocidad angular de rotación común?
Determínense, también, los momentos de inercia necesarios para la resolución de este
ejercicio.
ω
(1)
(2)
Para determinar el momento de inercia de un disco circular con
respecto a uno de sus diámetros, aplicamos el teorema de los ejes
perpendiculares:
z
y
x
I zz = I xx + I yy = 2 I diám
→ I diám =
1
1
I zz = mR 2
2
4
de modo que los momentos de inercia de los discos que
intervienen en este problema, con respecto a sus respectivos ejes de rotación, son
⎫
1
⎪
I1 = m1 R12 ⎪
⎪
⎪
4
⎬ →
1
2⎪
I 2 = m2 R2 ⎪
⎪
⎪
2
⎪
⎭
I 2 2m2 R22 2× 450× 202
=
=
= 12
300×102
I1
m1 R12
La rotación por pivotamiento del disco pequeño sobre el grande transmite un par a este
último y lo acelera; la reacción de ese par retarda la rotación del disco pequeño. Finalmente,
se igualan las velocidades angulares a un valor común ω’. Puesto que no intervienen
momentos exteriores al sistema, se conservará el momento angular del mismo; esto es,
I1ω = ( I1 + I 2 ) ω ′ → ω ′ =
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I1
ω
ω=
I
I1 + I 2
1+ 2
ETSIAM
=
I1
130
= 10 r.p.m.
13
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