Documento 1636131

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
EXAMEN Extraordinario – 18 de Junio de 2005
Apellidos:
PROBLEMA 1
Dada una distribución de carga de forma esférica, situada en el vacío, cuya densidad volumétrica de
r
carga ρ (r ) toma el valor :
⎧ ρ0
r ⎪⎪ ρ b
ρ (r ) = ⎨ 1
⎪ r
⎪⎩ 0
r ≤a/2
a / 2 < r ≤ a C/m3
r>a
Siendo a y b constantes se pide:
a) Calcular el valor del potencial en puntos exteriores a la esfera de radio a (2.5p)
b) Calcular el valor del potencial en puntos interiores a la esfera de radio a (4.5p)
c) Calcular la carga de la distribución (1p)
d) Calcular el valor del campo eléctrico y del potencial en puntos muy alejados de la distribución de
carga (2p)
Nota: en todos los casos indique las unidades de los resultados en el sistema internacional.
Solución
a) Se trata de un medio homogéneo, lineal e isótropo, por lo que el cálculo del potencial se puede hacer
de tres formas diferentes: empleando el método de aportaciones infinitesimales, utilizando el teorema de
Gauss para calcular el campo eléctrico e integrando para calcular el potencial o utilizando las
ecuaciones de Laplace o Poisson. Emplearemos esta última opción.
La distribución tiene forma esférica y es invariante en θ y ϕ, por lo que el potencial únicamente variará
1 ∂ ⎛ 2 ∂φ ⎞ 1 d ⎛ 2 dφ ⎞
⎜r
⎟=
⎜r
⎟
r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 dr ⎝ dr ⎠
r
r
Para r≥a, ρ (r ) = 0 , por lo que emplearemos la ecuación de Laplace: ∆φ 3 (r ) = 0 .
con r. Empleando coordenadas esféricas: ∆φ (r ) =
r
Así: ∆φ3 (r ) =
r
1 d ⎛ 2 dφ ⎞
r A
⎜r
⎟ = 0 ⇒ φ3 (r ) = 3 + B3 V
2
r
r dr ⎝ dr ⎠
Para calcular las constantes deben aplicarse las condiciones de contorno correspondientes: el potencial
cumple la condición de regularidad en el infinito, por lo que φ3 (∞ ) = 0 ⇒ B3 = 0 . Además, el potencial
debe ser continuo en r=a. Dado que en puntos lejanos a la distribución, el potencial varía como el de
una carga puntual de valor la carga de la distribución, esto es: φ3 (r ) r >>a =
r
Q
4πε 0 r
⇒ A3 =
Q
4πε 0
Donde Q
es la carga total de la distribución, calculada en el apartado c) o en el apartado b) aplicando las
condiciones de contorno.
φ3 (rr ) =
Q
4πε 0 r
V
b) Para a/2≤r≤a, ρ (r ) =
r
ρ1b
, por lo que emplearemos la ecuación de Poisson: ∆ φ 2 (r ) = −
r
ρb
ρ br A
1 d ⎛ 2 dφ ⎞
r
r
Así: ∆φ 2 (r ) = 2
⎜r
⎟ = − 1 ⇒ φ 2 (r ) = − 1 − 2 + B2 V
ε 0r
2ε 0
r
r dr ⎝ dr ⎠
r
ρ 1b
.
ε0r
Para calcular las constantes A2 y B2 se aplican la condición de continuidad del potencial y la condición
r
de continuidad de las componentes normales de D r=a:
dφ3
dφ
= 2
dr r=a dr
⇒−
r =a
φ3 (a) = φ2 (a) ⇒
φ 2 (rr ) = −
Q
4πε0r 2
Q
4πε0a
=−
=−
r =a
ρ1b A2
+
2ε0 r 2
⇒−
r =a
ρ1b A2
Q
Q ρ1ba2
=
−
+
⇒
=
−
+
A
2
2ε0 a2
4πε0 2ε0
4πε0a2
ρ1ba A2
ρ ba Q
ρ ba
ρ ba
Q
− + B2 ⇒ B2 =
+ 1 −
+ 1 ⇒ B2 = 1
2ε0 a
4πε0a 2ε0 4πε0a 2ε0
ε0
ρ1br
ρ ba 2 ρ1ba
Q
+
− 1
+
V
2ε 0 4πε 0 r 2ε 0 r
ε0
r
Para 0≤r≤a/2, ρ (r ) = ρ 0 , por lo que emplearemos la ecuación de Poisson: ∆φ1 (r ) = −
r
ρ0
ε0
2
Así: ∆φ1 (rr ) = 1 d ⎛⎜ r 2 dφ ⎞⎟ = − ρ 0 ⇒ φ1 (rr ) = − ρ 0 r − A1 + B1 V
ε0
6ε 0
r
r 2 dr ⎝ dr ⎠
Para calcular las constantes A1 y B1 se aplica la condición de continuidad del potencial y la condición de
r
continuidad de las componentes normales de D en r=a/2. Además, el potencial en r=0 no debe tener
singularidades, ya que no hay cargas puntuales:
φ1 (0) ≠ ∞ ⇒ A1 = 0
ρ0a2
ρ0a2 ρ1ba Q
ρ1ba 2Q 2ρ1ba2 ρ1ba
φ1 (a / 2) =φ2 (a / 2) ⇒−
+ B1 = −
+
−
+
⇒ B1 =
−
+
24ε0
4ε0 4πε0a 2ε0a
ε0
24ε0 4ε0 2πε0a
φ1 (rr ) = −
ρ 0 r 2 ρ 0 a 2 ρ1ba
Q
+
−
+
V
6ε 0
24ε 0
4ε 0
2πε 0 a
dφ1
dr
dφ2
dr
=
r =a / 2
⇒−
r =a / 2
ρ0 r
ρ0 a
ρ b 1 ⎛ Q ρ1ba2 ⎞
ρ1b 4 ⎛ Q ρ1ba2 ⎞
1
3
⎟ ⇒ Q = πρ0 a3 + πρ1ba2
⎟
⇒
−
=
−
− ⎜
−
= − 1 − 2 ⎜⎜
−
3ε 0 r =a / 2
2ε 0 r ⎝ 4πε0 2ε 0 ⎟⎠
6ε 0
2ε 0 a 2 ⎜⎝ 4πε0 2ε 0 ⎟⎠
6
2
r =a / 2
Así:
ρ 0 r 2 ρ 0 a 2 ρ1ba
r
(
)
φ1 r = −
+
+
V
6ε 0
8ε 0
2ε 0
φ 2 (rr ) = −
ρ1br 1 ⎛ ρ 0 a 3 ρ1ba 2 ⎞ ρ1ba
⎟+
+ ⎜
−
V
2ε 0 r ⎜⎝ 24ε 0
8ε 0 ⎟⎠
ε0
1 ⎛ ρ 0 a 3 3 ρ1ba 2 ⎞
⎟ V
+
r ⎝ 24ε 0 8 ε 0 ⎟⎠
φ 3 (rr ) = ⎜⎜
c) Para calcular la carga de la distribución integramos
r
Q = ∫∫∫ ρ (r )dV =
2π
π a/2
∫ ∫
ϕ θ
2
∫ ρ 0 r senθ dr dφ dθ +
=0 =0 r =0
2π
π
a
∫ ∫ ∫
ϕ θ
=0 =0 r = a / 2
ρ1b
1
3
r 2 senθ dr dφ dθ = πρ 0 a 3 + πρ1ba 2
6
2
r
C
d) Dado que la carga de la distribución no es nula y está confinada en un volumen finito, en puntos
alejados de ella se cumplen las condiciones de regularidad para el campo (varía como 1/r2) y el
potencial (varía como 1/r). Así:
φ 3 (rr ) =
r r
E3 (r ) =
Q
4 πε 0 r
Q
4πε 0 r 2
V
rˆ V / m
ASIGNATURA: Electricidad y Magnetismo
Convocatoria de Septiembre de 2006
Fecha: 1 de septiembre de 2006
Apellidos:
Todos los problemas puntúan igual (1/4 de la nota total)
PROBLEMA 1
Sea una distribución lineal de carga de valor λ C/m uniformemente distribuida en el vacío sobre una
línea recta de longitud 2L, paralela al eje z y centrada en el punto (a cosα, a senα, 0). Se pide que:
a) Obtenga geométricamente la dirección del campo eléctrico en z=0 (1p).
b) Calcule el campo eléctrico en puntos del eje z (3p).
c) Calcule el campo eléctrico en puntos del eje z debido a la distribución lineal cuando α=0º, si se sitúa
un plano conductor infinito, a potencial cero en x=b siendo b>a (2p).
d) Calcule, empleando el resultado del apartado b), el campo eléctrico que crearía, en puntos del eje
z, una distribución superficial de carga de valor σ C/m2, distribuida uniformemente sobre un cilindro
de radio a y altura 2L, con su centro en el origen del sistema de coordenadas. (3p).
e) Calcule el campo eléctrico generado por el cilindro en puntos muy alejados de la distribución (1p).
dx
x / a 2 . Indique las unidades de las magnitudes calculadas.
Nota:
∫ (a
2
)
3
+ x2
a2 + x2
2
SOLUCIÓN
a) Dado que el medio es uniforme, se puede emplear la integral de aportaciones infinitesimales
r
r
; r ' = a ρˆ ' + z ' zˆ = a (cos α xˆ + sen α yˆ ) + z ' zˆ
; r = zzˆ
r r
r − r ' = − a cos α xˆ − asen α yˆ + ( z − z ' )zˆ
r
λ
E ( zzˆ ) =
4πε 0
L
∫ (a
z '= − L
L
− a cos αxˆ − a senαyˆ + (z − z ')zˆ
L
∫
(a
z '=− L
dz '
2
+ ( z − z ')
2
)
3
z '= − L
+ ( z − z ')
2
)
3
2
a 2 + (z − z ')
=−
2
2
3
2
=
z '= − L
1
a + ( z − z ')
2
λ
dz ' =
4πε 0
L
(z − z') / a 2
=−
( z − z ' )dz '
2
2
L
∫ (a + (z − z ') )
2
;
2
z '= − L
r r
r − r' =
a 2 + (z − z ')
2
L
⎡
dz '
⎢− aρˆ ' ∫
2
2
⎢
z '= − L a + ( z − z ')
⎣
(
1 ⎡
z−L
⎢
−
2
2
a ⎢ a + ( z − L )2
⎣
; dl ' =
⎤
(
z − z ')zˆ
dz '⎥
+ zˆ ∫
3
3
2 2
2
2
) z '=− L (a + (z − z') ) ⎥⎦
L
z+L
a 2 + (z + L )
2
⎤
⎥
⎦⎥
r
r
dE dE1
⎡
⎤
1
1
=⎢
−
⎥
2
2
⎢⎣ a 2 + ( z − L )
a 2 + (z + L ) ⎥⎦
L
r
r =0
r
r 2'
r
dE2
x
α
Plano
Con lo que el valor del campo será:
⎞ ⎛
r
1
1
λ ⎡ 1 ⎛⎜
z−L
z+L
⎟ρˆ '+⎜
⎢
E(zzˆ ) =
−
−
2
2
2
2
4πε0 ⎢ a ⎜ a2 + ( z − L)
a2 + ( z + L) ⎟⎠ ⎜⎝ a2 + ( z − L)
a 2 + ( z + L)
⎣ ⎝
dz '
z
r r r
rr
1 λ(r ')(r − r ')
E(r ) =
dl'
4πε0 L∫' rr − rr' 3
y
a
r
r 1'
φ = α = cte
⎞ ⎤
⎟ zˆ⎥V / m
⎟ ⎥
⎠ ⎦
-L
r
r
b) En el caso concreto de r = 0 , dada la simetría del problema, el E no tendrá componente
r
r
r
'
'
según ẑ .El vector dE , suma de los vectores dE1 y dE2 , ambos en el plano φ = α = cte , está en la
r
λ ⎡ −L
Eλ (0zˆ) =
⎢
2πε0 ⎣ a a2 + L2
z
λ
α=0
-λ
x=b
y
L
α=0
x=b
y
x=a
-L
Plano x=b
Φ=0V
⎤
xˆ ⎥ V / m
⎥⎦
⎤
r
L
λ ⎡ −L
⎢
⎥xˆ V / m
+
E(0zˆ) =
2πε0 ⎢a a2 + L2 (2b − a) (2b − a) 2 + L2 ⎥
⎣
⎦
x=a
d) El resultado obtenido en b) se puede considerar un diferencial de
campo debido a un elemento diferencial de carga de valor dλ, siendo
x=2b-a
x
r
−λ ⎡
−L
⎢
E−λ (0zˆ ) =
2πε 0 ⎢ (2b − a) (2b − a) 2 + L2
⎣
⎤
xˆ⎥ V / m
⎦
z
intersección entre los planos φ = α = cte y z=0, por lo tanto con dirección − ρ̂ .
c) En la figura de la derecha se presenta un esquema del problema que hay
que resolver. Aplicando la teoría de imágenes, el problema se convierte
en el de la figura de la izquierda. Dado que se pide el campo en z=0 y
que la carga imagen no está en la zona de estudio, el resultado obtenido
aplicando la teoría de imágenes proporciona el campo eléctrico correcto.
Así, el campo eléctrico será:
x
dλ = σ adα . Sumando las contribuciones de los correspondientes
diferenciales de campo, debidos a distribuciones lineales situadas en ángulos variables entre α=0º y
α =2π se obtendrá el campo total. Así:
r
dλ
dE ( zzˆ ) =
4πε 0
r
E (zzˆ ) =
⎡1 ⎛
z−L
⎢ ⎜
−
⎢ a ⎜⎝ a 2 + ( z − L )2
⎣
2π
σ a dα
∫
α = 0 4πε 0
z+L
a 2 + (z + L )
2
⎞ ⎛
1
1
⎟ ρˆ '+ ⎜
−
2
2
⎟ ⎜ a 2 + ( z − L )2
a + (z + L )
⎠ ⎝
⎡1 ⎛
z−L
z+L
⎢ ⎜
−
2
2
⎜
2
2
⎢ a a + (z − L )
a + (z + L)
⎣ ⎝
⎞
r
σ a ⎛⎜
1
1
⎟zˆ
E(zzˆ) =
−
2 ⎟
2
2ε0 ⎜ a2 + (z − L)2
a + ( z + L) ⎠
⎝
⎞ ⎤
⎟ zˆ ⎥ ⇒
⎟ ⎥
⎠ ⎦
⎞
⎛
1
1
⎟(cos αxˆ + senαyˆ ) + ⎜
−
2
⎟
⎜ a 2 + ( z − L )2
2
a + (z + L)
⎠
⎝
⎞ ⎤
⎟ zˆ ⎥ ⇒
⎟ ⎥
⎠ ⎦
V /m
e) El campo eléctrico generado por el cilindro en puntos alejados de la distribución se puede aproximar
por el de una carga puntual situada en el origen con carga igual a la carga total de la distribución.
L
Q=
2π
∫ φ∫σ dzadφ = σ 4πLa
z =− L =0
r r
E (r ) =
Q
4πε 0 r
r
r
V /m
C