23.3 Una esfera metálica pequeña, con una carga neta de q =

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23.3 Una esfera metálica pequeña, con una carga neta de q1=-2.8 µC, se
mantiene en una posición fija por medio de soportes aislantes. Se proyecta
hacia q1 una segunda esfera metálica pequeña, con una carga neta de q2=-7.8
µC y una masa de 1.5 g. Cuando las dos esferas están a 0.8 m una de la otra,
q2 se traslada hacia q1 con una rapidez de 22 m/s. Suponga que las dos
esferas se puedan tratar como cargas puntuales. a) ¿Cuál es la rapidez de q2
cuando las esferas están a 0.4 m una de la otra? b) ¿Cuánto es lo más que q2
se acerca a q1?
v=22 m/s
q2
q1
0.8 m
v=22 m/s
q2
q1
0.8 m
U 1 + K1 = U 2 + K 2
−6
−6
−
−
(
2
.
8
10
C
)(
7
.
8
10
C)
q1q2
= (8.9 109 m 2 / C 2 )
= 245.7 10 −3 J
U1 =
0.8m
4πε 0 x1
1
1 2 1
mv = (1.5 10 −3 kg )(22m / s) 2 = 363 10 −3 J
2
2
−6
−6
1 q1q2
9
2
2 ( −2.8 10 C )( −7.8 10 C )
= (8.9 10 m / C )
= 491.4 10 −3 J
U2 =
0.4m
4πε 0 x2
K1 =
K 2 = U1 + K1 − U 2 = 608 10 −3 J − 491.4 10 −3 J = 116.6 10 −3 J
K 2 = U1 + K1 − U 2 = 608 10 −3 J − 491.4 10 −3 J = 116.6 10 −3 J
a)
b)
1 2
2(116.6 10 −3 J )
m
−3
= 12.48
mv = 116.6 10 J ⇒ v =
−3
2
1.5 10 kg
s
U 2 = U1 + K1 = 0.608 J =
1
q1q2
4πε 0 x
(8.9 109 m 2 / C 2 )(−2.7 10 −6 C )(−7.8 10 −6 C )
x=
= 0.323m
0.608 J
23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 µC. Se coloca
sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2
µC con una masa de 2.8 10-4 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica U
del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separación entre las cargas es
infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i)
¿Cuál es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) ¿ 5 m? iii)
¿50 m?
q
Q
0.25 m
a)
b)
i)
qQ (8.9 109 m 2 / C 2 )(4.6 10 −6 C )(1.2 10 −6 C )
U=
=
= 198.7 10 −3 J
4πε 0 d
0.25m
1
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
qQ 1 2
+ mv
4πε 0 0.5m 2
1
1 2
m
mv = 0.0993J ⇒ v = 26.6
2
s
b)
ii)
1
qQ 1 2
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
+ mv
4πε 0 5m 2
v = 36.6
b)
iii)
m
s
1
qQ 1 2
+ mv
U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J =
4πε 0 50m 2
v = 37.5
m
s
POTENCIAL ELÉCTRICO
Un POTENCIAL es energía potencial por unidad de carga. Se define el
potencial V en cualquier punto de un campo eléctrico como la energía
potencial U por unidad de carga asociada con una carga de prueba q0 en ese
punto:
U  1J
 POTENCIAL ELÉCTRICO
V=
=
1
Volt

q0 1C
(escalar)
 Ub U a 
Wa →b
∆U
 = −(Vb − Va ) = Va − Vb
=−
= −
−
q0
q0
 q0 q 0 
La diferencia Va-Vb se llama potencial de a con respecto a b Vab.
El potencial Vab de a con respecto a b es igual al trabajo realizado por la
fuerza eléctrica cuando una UNIDAD de carga se desplaza de a a b.
V=
V=
U
1 qq0 1
1 q Potencial debido a una carga eléctrica puntual
=
=
q0 4πε 0 r q0 4πε 0 r
U
1 q0
=
q0 4πε 0 q0
qi
1
=
∑i r 4πε
0
i
qi
∑i r Potencial debido a conjunto de cargas puntuales
i
Cuando se tiene una distribución continua de carga a lo largo de una línea, en
una superficie o en todo un volumen, la suma se transforma en una integral:
dq
V=
4πε 0 ∫ r
1
Potencial debido a una distribución continua de carga
A veces es más fácil calcular V a partir de E, y no de la distribución de carga:
r r b r r
= ∫ F ⋅ d l = ∫ q 0 E ⋅ dl
b
Wa →b
a
a
b r
r b
Wa →b
= Va − Vb = ∫ E ⋅ dl = ∫ E cos(ϕ )dl
q0
a
a
Diferencia de potencial como una integral de E
+
E
E
V disminuye
V aumenta
V aumenta
V disminuye
El potencial disminuye en la dirección del campo eléctrico y aumenta
en la dirección opuesta al campo eléctrico.
FUERZA ELÉCTRICA Y POTENCIAL ELÉCTRICO
Un protón (q=1.6 10-19 C) se desplaza en línea recta del punto a al punto b de
un acelerador lineal, una distancia total d=0.5 m. El campo eléctrico es
uniforme a lo largo de esta línea y su magnitud es E=1.5 107 N/C en la
dirección desde a a b. Halle a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo que el
campo realiza sobre él; c) la diferencia de potencial Va-Vb.
a) La fuerza tiene la misma dirección que el campo eléctrico, su magnitud es:
F = qE = (1.6 10 −19 C )(1.5 107 / C ) = 2.4 10 −12 b) La fuerza es constante y tiene la misma dirección que el desplazamiento:
Wa →b = Fd = (2.4 10 −12 )(0.5m) = 1.2 10 −12 J
c) El potencial es trabajo por unidad de carga:
Wa →b 1.2 10 −12 J
6
Va − Vb =
=
=
7
.
5
10
V
−19
q
1.6 10 C
POTENCIAL DEBIDO A DOS CARGAS PUNTUALES
Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales q1=+12 nC y q2=-12 nC,
separadas por una distancia de 10 cm. Calcule los potenciales en los puntos
a,b y c sumando los potenciales debidos a una u otra carga.
c
13 cm
V=
4 cm
+
qi
∑
4πε 0 i ri
13 cm
10 cm
b
1
a
6 cm
4 cm
En el punto a los potenciales debidos a las dos
cargas son:
2
q1
12 10 −9 C
9 m
V1 =
= (8.9 10
)
= 1800 V
2
4πε 0 r1
C
0.06m
1
2
q2
− 12 10 −9 C
9 m
V2 =
= (8.9 10
)
= −2700 V
2
4πε 0 r2
C
0.04m
1
Va = V1 + V2 = 1800 V − 2700 V = −900 V
c
13 cm
En el punto b los potenciales debidos a las dos
cargas son:
13 cm
10 cm
+
b
4 cm
a
6 cm
4 cm
2
q1
12 10 −9 C
9 m
V1 =
)
= (8.9 10
= 2700 V
2
4πε 0 r1
C
0.04m
1
2
q2
− 12 10 −9 C
9 m
V2 =
= (8.9 10
)
= −770 V
2
4πε 0 r2
C
0.14m
1
Vb = V1 + V2 = 2700 V − 770 V = 1930 V
En el punto c los potenciales debidos a las dos cargas son:
2
q1
12 10 −9 C
9 m
V1 =
= (8.9 10
)
= 830 V
2
4πε 0 r1
C
0.13m
1
2
q2
− 12 10 −9 C
9 m
V2 =
= (8.9 10
)
= −830 V
2
4πε 0 r2
C
0.13m
1
Vc = V1 + V2 = 830 V − 830 V = 0 V
CÁLCULOS DE POTENCIAL ELÉCTRICO
Una esfera conductora de radio R tiene una carga total q. Halle el potencial en
todas partes, tanto afuera como adentro de la esfera.
q +
+
+
R
+
+
+
+
+
+
+
Afuera de la esfera el campo eléctrico es el mismo
de una carga puntual q:
E=
1
q
4πε 0 r 2
Por lo tanto, el potencial en un punto afuera (r > R)
de la esfera a distancia r de su centro es el mismo
que el potencial eléctrico de una carga puntual:
V=
1
q
4πε 0 r
El potencial en la superficie de la esfera (r=R) es:
El potencial adentro de la esfera (r < R) es:
V=
V=
1
q
4πε 0 R
1
q
4πε 0 R
b
q +
+
+
a
+
R
+
+
+
+
+
+
E=0 en el conductor
r r
Va − Vb = ∫ E ⋅ dl = 0
b
a
Va = Vb
PLACAS PARALELAS CON CARGA OPUESTA
y
+
+
+
E
+
a
+
q0
-
-
b
-
-
V ( y) =
Halle el potencial a cualquier altura y
entre las dos placas.
+
d
-
-
U ( y ) q0 Ey
=
= Ey
q0
q0
Va − Vb = E ( ya − yb ) = Ed
E=
Va − Vb Vab
=
E=
d
d
[ ] [V ]
=
[C ] [m]
LÍNEA DE CARGA INFINITA O CILINDRO CONDUCTOR CON CARGA
r
r
+
+
+
R
+
λ 1
E (r ) =
2πε 0 r
r
rb
λ b dr
λ
λ
Va − Vb = ∫ Edr =
=
[
ln
r
−
ln
r
]
=
ln
b
a
∫
2
πε
r
2
πε
2πε 0 ra
0 a
0
a
b
Si se supone que b está en el infinito y se fija Vb=0, se halla que Va es
infinito:
λ
∞
Va =
ln = ∞
2πε 0 ra
En ese caso ésta no es una manera útil de definir V, la dificultad es
que la distribución de carga es infinita.
Para evitar esta dificultad (podemos definir V como 0 en el punto que
deseamos) fijemos Vb=0 a una distancia r0. Entonces el potencial V=Va en el
punto a a una distancia r está dado por:
λ
r0
ln
V −0 =
2πε 0 r
Por ejemplo, si en el cilindro tomamos r0=R (el potencial es 0 en la superficie
del cilindro), el valor del potencial es:
r
R
λ
R
r>R
V=
ln
2πε 0 r
V =0
r≤R
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