JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER Jean Baptiste Joseph Fourier

JEAN BAPTISTE JOSEPH FOURIER
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), no obstante haber sido amigo de un famoso como Napoleón
(1769-1821), llegó a nuestros días por mérito propio. Fue el noveno hijo de doce hermanos y quedó huérfano
a los 10 años.
Durante su juventud, y aun en contra de su voluntad, fue preparado para sacerdote, pero a los 13 años no
podía seguir ocultando su interés por las matemáticas. Así, a los 14 años había completado el estudio de los 6
volúmenes del Cours de mathématique de Bézout y a los 15 recibía el primer premio por su estudio de
Bossut's Méchanique en général. A los 21 años Fourier escribía:
Ayer fue mi cumpleaños número 21. A esa edad Newton y Pascal ya habían adquirido títulos e inmortalidad...
Quería ir al ejército, pero como sólo era hijo de un sastre le previnieron que no podía servir más que de
cargador de cañones. Pero la Revolución Francesa le llegó a tiempo y se propuso ser oficial de artillería. De
esta manera aplicaría las matemáticas, que era lo que realmente le interesaba; casi lo mismo que quiso hacer
Napoleón, nacido pocos meses después de Fourier.
Fourier sin embargo, no tuvo tanto éxito como Napoleón en su empresa, pues demostró tener demasiada
facilidad para las matemáticas. A pesar de todo, su carrera estuvo muy ligada a la de Napoleón y llegó a ser
su Oficial de Artillería (calculaba las trayectorias de los proyectiles). Lo acompañó a Egipto en 1798 y fue
gobernador de una parte de ese país. Allí fundó y fue secretario del Instituto de Matemáticas de El Cairo hasta
su regreso a Francia en 1801.
En 1808 y después de haber hecho importantes descubrimientos matemáticos, Napoleón le dio el título de
barón. En contra de algunas expectativas, Fourier sobrevivió a la caída de su amigo y llegó a recibir nuevos
honores de los restaurados Borbones. En 1822 fue secretario adjunto de la Academia de Ciencias, donde
conoció al naturalista Cuvier (1769-1832) de quien fue amigo.
En 1801, Fourier regresó de Egipto, y comenzó a ocuparse de lleno en la ciencia. Sus asuntos militares no le
habían ido demasiado bien y decidió que ya había tenido bastante con el ejército. El problema que más le
interesaba era el modo en que el calor fluía de un punto a otro a través de un objeto en particular.
Si leyes constantes regulan la distribución del calor en la materia sólida, ¿cuál es la expresión matemática de
esas leyes?
Al estilo de las novelas de la época, estudiaba hasta altas horas de la noche a la luz de las velas, atentando
así contra su delicada salud: sufría de asma, insomnio e hipotiroidismo. La introducción al tema "Théorie
analytique de la chaleur" contiene un resumen de los antecedentes de la época:
El gran geómetra Arquímedes explicó los principios matemáticos del balance de los sólidos y los fluidos. Vivió
aproximadamente 18 siglos antes que Galileo, el primer inventor de las teorías sobre dinámica. Newton unió
en esta nueva ciencia todo el sistema del universo. Estas teorías tienen una admirable perfección y nos
enseñan que la mayor parte de los fenómenos pueden ser sujetos a un pequeño número de leyes
fundamentales, pero...
En un primer momento concibió un modelo teórico de transferencia de calor mediante un mecanismo de
compuertas. Luego estudió la transferencia de calor en cuerpos continuos. La cuestión que se debatía era si
el calor se propagaba en forma lineal o logarítmica y en forma continua o a través de saltos.
El calor penetra en los líquidos y determina movimientos interiores producidos por los cambios de la
temperatura y por la densidad de las moléculas que se pueden expresar mediante ecuaciones diferenciales e
integrales. Esta difícil búsqueda exigía un análisis especial fundado en teoremas nuevos. Estas cuestiones
principales que yo he resuelto no habían sido sometidas a cálculo hasta el momento.
Fourier sugirió que el problema se podía resolver mediante un simple patrón sinusoidal que debería atenuarse
gradualmente hasta que la temperatura fuera uniforme en todo el cuerpo. No fue fácil de convencer a sus
detractores entre los que se hallaba Laplace (1749-1827), Biot (1774-1862) y Poisson (1781-1840). En
realidad ellos no comprendían el significado de los términos diferencia de temperatura y gradiente de
temperatura.
Este método no deja nada de vago e indeterminado en las soluciones y conduce hasta las últimas
aplicaciones numéricas, condición necesaria de toda búsqueda y sin la cual sólo se llegaría a
transformaciones inútiles.
En 1809 apareció en el Bulletin des Sciences una actualización sobre el tema de la propagación del calor. Su
autor era Poisson, amigo de Biot y editor de la publicación. El artículo cita generosamente a Biot y critica los
hallazgos de Fourier. Esta publicación fue considerada por sus contemporáneos como un verdadero insulto
para Fourier. De todas formas él decía:
El estudio profundo de la naturaleza es la fuente más fecunda de los descubrimientos matemáticos.
Esto excluye cuestiones vagas y cálculos sin sentido: los elementos fundamentales son aquellos que se
reproducen en todos los fenómenos naturales. El análisis matemático se halla tan extendido como la
naturaleza misma.
En 1810 el Instituto de Francia anuncia el Grand Prix des Mathematiques para el próximo año. El tema: "la
propagación del calor en los cuerpos sólidos". ¡El título ideal para Fourier! La elección estaba ciertamente
influenciada por las argucias políticas de Laplace y Monge (1746-1818, participó de la expedición napoleónica
a Egipto) ahora partidarios de la causa de Fourier y de Lagrange (1736-1813), uno de sus detractores. El
jurado estaba constituido por Lagrange, Laplace y otros. Fourier ganó el premio pero no el reconocimiento
sincero de ellos que, si bien aceptaron los derechos de autor de las ecuaciones, criticaron el método
experimental.
Hacia el año 1822, ampliando su teorema, completó su estudio sobre el flujo del calor y lo publicó en un libro
llamado Teoría Analítica del Calor, que inspiró en Ohm (1787-1854) razonamientos análogos sobre el flujo
eléctrico. En su libro, Fourier, por primera vez, dejó sentada la necesidad de utilizar un sistema de unidades
prefijado para el uso de ecuaciones científicas. Pero el texto original no se incorporó a la biblioteca de las
Memoires de l' Académie des Sciences hasta 1826, año en que Fourier fue electo Secretario permanente.
Fourier recopiló todo su ingenio matemático y describió lo que hoy se conoce como teorema de Fourier.
Según éste, cualquier oscilación periódica esto es, cualquier variación que tarde o temprano se repite
exactamente una y otra vez, por complicada que sea, se puede descomponer en series de movimientos
ondulatorios simples y regulares (con diferentes amplitudes y frecuencias), la suma de los cuales es la
variación periódica compleja original. Es decir, se puede expresar como una serie matemática en la cual los
términos son funciones trigonométricas. Esta recreación de la señal constituye justamente las series de
Fourier. Como cualquier señal sólo puede ser observada por un período limitado de tiempo, se debe asumir
que es un ciclo de esa señal periódica y así es posible formar las series de Fourier.
Este análisis reúne los fenómenos más diversos y descubre las analogías secretas que los unifican. Si el
hombre sólo conoce el espectáculo de los cielos por épocas sucesivas separadas por siglos, si la acción de la
gravedad y el calor se exacerban en el interior del globo sólido a profundidades que jamás serán accesibles,
el análisis matemático puede atrapar las leyes de estos fenómenos. El análisis nos entrega una información
mensurable y parece ser una facultad de la razón humana destinada a suplir la brevedad de la vida y la
imperfección de los sentidos.
El teorema de Fourier tiene muchas aplicaciones; puede ser utilizado en el estudio del sonido y de la luz y
desde luego, en cualquier fenómeno ondulatorio. El estudio matemático de tales fenómenos, se llama análisis
armónico. Por su teorema, Fourier ganó fama de científico y además el título de barón.
Pero él seguía asombrándose con sus descubrimientos:
...y lo que es más notable sigue la misma marcha de todos los fenómenos, los interpreta por el mismo
lenguaje como para atestiguar la unidad, simplicidad y orden de un universo predecible. Si nuestros sentidos
pudieran captar este orden, nos causaría una impresión comparable a las resonancias armónicas.
Si la luz está compuesta por un espectro de colores que pueden ser evidenciados mediante un prisma, la
transformación rápida de Fourier (TRF) es un prisma matemático, descompone una señal compleja en una
serie infinita de ondas con determinadas amplitudes y frecuencias. La amplitud de una señal compleja en
función de la frecuencia (p. ej. en Hertzios) constituye el espectro del signo. El análisis espectral se puede
caracterizar entonces en términos de su frecuencia centroide, que conceptualmente representa la "masa
central" del espectro, y se define como frecuencia en la cual la amplitud (o fuerza) de los componentes por
arriba y por debajo de ella están exactamente balanceadas. Por lo que se ve, se trata de una cuestión
bastante compleja.
Jean Baptiste Joseph Fourier es uno de los científicos conmemorados en la Torre Eiffel y un cráter de la luna
lleva su nombre. Para suerte de Darwin, Cuvier, que había ordenado el reino animal pero creía en el génesis,
rechazó la evolución de las especies.
Teoría analítica del calor: discurso preliminar. http://wwwfourier.
ujf-grenoble.fr/chaleur.html.
Biografía J.B.J Fourier. http://www.astro.gla.ac.uk/z~davidk/
fourier.htm.
Bracewell, Ronald N.: The Fourier Transform. Scientific American,
June 1989, p 62
Enciclopedia Biográfica de Ciencia y Tecnología. Librería
Huemul. Av. Sta. Fe 2237 Issac Asimov. Emecé Editores,
Alsina 2041 Bs. As. 1973.
LA TEORÍA ANALÍTICA DEL CALOR
Al parecer, antes de ocuparse del problema de la distribución del calor en sólidos conductores, Fourier había
realizado algunas contribuciones al problema de la vibración de los cuerpos sonoros.
En particular, se sabe que estaba bien familiarizado con la Mecánica Celeste de Lagrange y las contribuciones
de Daniel Bernoulli al problema de la cuerda vibrante.
Lo que no nos es conocido es cuándo y porqué Fourier orientó sus intereses hacia el problema de la
distribución del calor, aunque es casi seguro que esto debió suceder alrededor de 1804, tras leer un trabajo de
J. B. Biot (1774-1862) sobre el tema. En dicho artículo Biot estudiaba la evolución temporal de la distribución
del calor en una barra metálica delgada y muy larga, cuando ésta se calienta desde uno de sus extremos. Biot
asumía la conocida ley de enfriamiento de Newton, según la cual la cantidad de calor intercambiada por dos
cuerpos que se ponen en contacto es proporcional a la diferencia de sus temperaturas. Sin embargo, su
modelo no era correcto, como él mismo reconocería posteriormente. El problema básico es que Biot asumía el
mismo tipo de intercambio de calor entre la superficie de la barra metálica y el aire que en el interior de la
barra.
La Ecuación del Calor es apropiada para el abordaje de una Matemática Aplicada al contexto de carreras de
Ingeniería pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Física y Termodinámica; de manera que
es terreno fértil para presentar la Matemática vinculada a áreas propias de la Ingeniería; además los
conceptos matemáticos asociados al planteo y resolución de esta ecuación, son de una riqueza y un nivel de
complejidad interesantes, ya que entran en escena Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones
Diferenciales Parciales (EDP), Series de Fourier, Análisis Real y Análisis Complejo; sobre el tratamiento
analítico de cada una de estas cuestiones volveremos más adelante, ahora vamos a hacer un breve recorrido
por la Historia de las Matemáticas, para ver cómo se fue gestando la Ecuación del Calor y los aportes que
hicieron los matemáticos y físicos más destacados de la época (Siglos XVIII y XIX).
No estaría completa la génesis de la Ecuación del Calor si no hiciéramos referencia a su gran predecesora:
La Ecuación de la Cuerda Vibrante (ó Ecuación de Onda), que plantea la forma que adoptará la función y(x,t)
que representa el desplazamiento vertical en función del tiempo de cada punto (ubicado en la abscisa x) de
una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, siendo dicha cuerda apartada en el instante inicial de su
posición de equilibrio y adquiriendo así la forma de una función continua y(x,0) = f(x). Encontrar el modelo
matemático que resuelva el Problema de la Cuerda Vibrante data de principios del Siglo XVIII y de él se han
ocupado matemáticos y físicos célebres.
Uno de los primeros en trabajar en el tema ha sido el afamado matemático suizo Johann Bernoulli
(1667-1748) quien en 1727 propuso una solución, que si bien no era del todo incorrecta, carecía de la
generalidad necesaria; en 1746 el matemático francés Jean le Rond D’Alembert (1717-1783) encontró el
modelo matemático que representaba este fenómeno, consistente en la EDP:
Donde a es una constante que depende de las características físicas de la cuerda. D’Alembert además
propuso una solución para esta ecuación, de la forma: y(x,t) 1/ 2 f (x at) f (x at); esta solución consiste en la
superposición de dos ondas viajeras a través de la cuerda, en direcciones opuestas. En 1749, el destacado
matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) también presentó sus aportes y coincidió en gran parte con la
solución de D’Alembert, pero añadiendo un carácter más general a la solución y admitiendo que la función
f(x) podría presentar puntos no diferenciables ó incluso discontinuidades finitas, es decir continua a tramos.
La solución de D’Alembert tiene un carácter netamente matemático, pero no aporta demasiado acerca de la
cuestión física del fenómeno; es así que los físicos y matemáticos de la época continuaron trabajando para
hallar una solución más satisfactoria. Así dando continuidad a los trabajos de su padre, Daniel Bernoulli
(1700-1782) en 1753 presentó otra solución a la Ecuación de la Cuerda, de la forma:
,
donde los coeficientes bk dependen de las condiciones iniciales. Así, según Bernoulli la cuerda oscila
simultáneamente con varias frecuencias, mediante la superposición de ondas senoidales y cosenoidales,
planteando de esta manera la posibilidad de desarrollar funciones en series trigonométricas. Esta solución es
mucho más significativa desde el punto de vista físico que la de D’Alembert y explica los distintos armónicos
que se producen en la vibración de las cuerdas de los instrumentos musicales; sucede que Bernoulli además
de ser matemático, también se dedicaba a la Física y a la Música. Aún siendo correcta la solución de
Bernoulli, generó varias críticas por parte de sus colegas, en particular de D’Alembert y Euler, que se
rehusaban a admitir que una función general pudiera ser expresada en términos de series infinitas de
funciones trigonométricas. A pesar de todas las críticas, Bernoulli estaba en lo correcto y su propuesta de
desarrollar en series trigonométricas funciones arbitrarias, sería retomada más tarde por Fourier y Dirichlet,
en cuyos trabajos constan las bases analíticas que demuestran la posibilidad de dichas expansiones.
El matemático y físico francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue pionero en el estudio de la
transferencia del calor en sólidos y fue quien dedujo la denominada Ecuación del Calor, que consiste en una
EDP cuya versión tridimensional es:
donde u(x,y,z,t) representa la temperatura en cada punto del interior del sólido en cada instante de tiempo y α
es una constante que depende del material. Fourier presentó en 1807 los resultados de sus investigaciones a
la Academia de Ciencias de París y fue evaluado por destacadas personalidades, entre ellos Pierre Simon
Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813); pero el trabajo no tuvo buena aceptación y
recibió muchas críticas, entre ellas la falta de rigurosidad en los fundamentos analíticos - a pesar que los
resultados coincidían con las observaciones empíricas- y otra cuestión muy controversial fue la propuesta de
Fourier de expandir en series trigonométricas una función arbitraria; él afirmaba que una función f(x) podía
desarrollarse como:
y encontró también las expresiones para calcular los coeficientes ak y bk; son las que actualmente se
conocen como Series de Fourier. Si bien la expansión en series trigonométricas no fue una idea original de
Fourier (ya hemos visto que Daniel Bernoulli varias décadas antes ya las había propuesto) el verdadero
mérito de Fourier ha sido encontrar el modelo matemático correcto para la conducción del calor, desarrollar el
Método de Separación de Variables para resolver una EDP y encontrar su solución mediante la aplicación de
series trigonométricas. Pese a las controversias generadas por el trabajo de Fourier, los integrantes de la
Academia de París no pudieron dejar de reconocer la relevancia del campo de estudio y así decidieron que la
temática para el Gran Premio de la Academia para 1812 sería la propagación del calor en cuerpos sólidos; por
supuesto Fourier se presentó y ganó el Premio, pero decidieron que su trabajo no sería publicado en las
Memorias de la Academia, por las razones citadas anteriormente. A pesar del traspié, Fourier continuó
trabajando tenazmente, mejorando y ampliando su teoría y en 1822 publicó su obra Théorie Analytique de la
Chaleur; al poco tiempo fue nombrado Secretario de la Academia y entonces consiguió publicar su trabajo de
1807 - prácticamente sin cambio alguno- en las Memorias de la Academia de 1826.
Fourier inauguró un campo fértil de trabajo para físicos y matemáticos a principios del Siglo XIX con su Teoría
Analítica del Calor y sus desarrollos en series trigonométricas; varias personalidades de la ciencia
continuaron sus trabajos, entre los cuales cabe destacar al matemático alemán Johann P: Lejeune Dirichlet
(1805-1859), quien en 1829 dio una demostración rigurosa de la convergencia de las Series de Fourier para
funciones generales, aún las continuas por tramos. Recién entonces los trabajos de Fourier y D. Bernoulli
fueron reconocidos y aceptados plenamente.
Joseph Fourier es considerado uno de los más grandes matemáticos aplicados de la historia y su Teoría
Analítica del Calor es reconocida como uno de los pilares de la Física Teórica; además los aportes de
Las Series y las Transformadas de Fourier a distintas ramas de la Ingeniería son indiscutibles.
En la Academia eran conscientes de la importancia del problema de la distribución del calor, así como de los
avances significativos que Fourier, Biot, y otros estaban realizando en este tema. Es por ello que decidieron
que la temática propuesta para el Gran Premio que debían conceder para 1812 fuera precisamente el estudio
de la propagación del calor en sólidos conductores. Como era de esperar, Fourier se presentó al premio con
una memoria en la que además de revisar lo realizado hasta 1807, incluía sus nuevos cálculos con la integral
de Fourier.
El jurado, compuesto por Lagrange, Laplace, Lacroix, Malus y Haüy, concedió el premio a Fourier, pero
decidió que el trabajo no sería aceptado para su publicación en las Memorias de la Academia porque carecía
del rigor y la generalidad necesarios. Fourier, que estaba resentido con la Academia por el trato dado a su
obra fundamental, decidió finalmente publicar sus investigaciones por sí mismo en 1822 en un volumen al que
tituló Teoría Analítica del calor. Curiosamente, ese año fue nombrado secretario perpetuo de la Academia y
entonces vio el cielo abierto, publicando en las Memorias el trabajo que había sido premiado en 1811, y que
llevaba por título Teoría del movimiento del calor en los cuerpos sólidos. Este trabajo apareció en dos partes,
la primera en las Memorias correspondientes a 1819/20 y la segunda en las de 1821/22 (que vio la luz en
1826). En el prólogo de su Teoría Analítica el propio Fourier explicaba las idas y venidas de su obra,
reconociendo finalmente que “Los retrasos en la publicación [de mi obra] habrán contribuido a hacer el trabajo
más claro y más completo”
Para los que conocen el gran campo de las ecuaciones diferenciales, estas también se pueden resolver
mediante métodos con series de potencias. Debido a esto, Fourier hizo un gran uso de su Serie en el estudio
del calor.
Théorie Analytique de la Chaleur (Teoría Analítica Del Calor), se convirtió en su obra cumbre y que en
realidad no fue tanto su estudio del calor lo que lo hizo famoso, sino el descubrir un recurso matemático que
hoy en día es usado en Electricidad en el Análisis Espectral de una Señal para corriente alterna, y en muchas
áreas mas de la ciencia moderna , y que en su época fue rechazado por un grupo conformado por Laplace,
Monge, Lagrange y Lacroix “porque no contenía nada nuevo y nada interesante”. Sin embargo, Fourier es uno
de los pocos afortunados matemáticos: su nombre ha arraigado en todos los idiomas civilizados como un
adjetivo que es bien conocido por los físicos y los matemáticos de todas las partes del mundo.
La Teoría Analítica del Calor es considerada actualmente una de las obras maestras de la ciencia y la
tecnología y, para los físicos, es sin duda uno de los documentos fundacionales de la física teórica. El impacto
que ha tenido el Análisis de Fourier sobre las matemáticas, la física y las distintas ingenierías está fuera de
duda y, de hecho, muchos pensamos que la ciencia y la tecnología modernas no hubieran sido posibles sin el
desarrollo correcto de las ideas de Fourier.
REFERENCIAS
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[La] R. E. Langer, Fourier’s series: The genesis and evolution of a theory, Amer. Math. Monthly (1947) 1-81.
[Lu] N. N. Luzin, Función, La Gaceta de la RSME 6 (2) (2003), 415-436 (Traducción al castellano de J. M.
Almira y D. Arcoya).