AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Hoja 5 Análisis de Fourier 1.

AMPLIACIÓN DE CÁLCULO Hoja 5
Análisis de Fourier
1.- Sea f ∈ L1(R), f par y f(t) ∈ R para todo t ∈ R. Prueba que la transformada
de Fourier de la función f, F[f](λ), es real. Si si f es impar, comprueba que F[f](λ)
es imaginario (e.d. ReF[f](λ) = 0).
2.- Calcular las transformadas de Fourier de las siguientes funciones:
(
1 s i x ∈ [- δ , δ]
a) χ[-δ,δ](x) = {
b) f(x) = cos(αx)χ[-π,π](x)
0 en o t r o caso
9
(
x + π
si x ∈ [ - π , 0]
c) f(x) = cos(2παx)χ[-δ,δ](x) d) f(x) = { π - x
si x ∈ ( 0 , π ]
0
en o t ro c a so
9
2
2
2
2
2
2
3.- Sea fn la función del problema anterior, apartado c), con δn = n/α.
Dibuja la gráfica de F[fn] y después calcula el límite puntual de la sucesión de
funciones (fn).
(
2
4.- Sea h(t) = {
Ae-αt si t ≥ 0
0
donde A y α son parámetros positivos. Prueba
si t < 0
9
A
que F[h](λ) =
( Filtro de Butterworth). Diseña un circuito RC de modo que su
α + iλ
3
función de transferencia sea precisamente 4 + iλ .
2
---------------------------------
--------------------------------
5.- Prueba en cada caso que las funciones f y g son las mismas, aunque se
escriban de forma distinta:
a) f(x) = sen(x)χ[-π,π](x)
∞
2
y f(x) = π ij sensπ
sensxds
1-s2
------
2
---------------------------
0
∞
2
scos(sπ/2)sensxds
y g(x) = π i
j
1-s2
b) g(x) = sen(x)χ[-π/2,π/2](x)
------
2
-----------------------------------------------
0
6.- Sean f,g ∈ L1(R) y
b ∈ C. Prueba las siguientes propiedades de la
transformada de Fourier y de su inversa.
a) F[f + g](λ) = F[f](λ) + F[g](λ) b) F[bf](λ) = bF[f](λ)
c) F[f(x-b)](λ) = e-ibλ F[f](λ) d) F[f](λ) = F[f](-λ)
1
e) Si b > 0, F[f(bx)](λ) = bF[f](λ/b).
------------------------------
------
Y de su inversa:
-1
-1
-1
-1
-1
a’) F [f + g](x) = F [f](x) + F [g](x) b’) F [bf](x) = bF [f](x)
-1
-1
c’) F [f(λ-b)](x) = eibx F [f](x)
-1
-1
d’) Si f’ ∈ L1(R) y limx ±∞ f(λ) = 0, entonces F [f’](x) = -ixF [f](x)
L
-1
7.- Prueba las siguientes propiedades de F y F .
-1
1
-1
-1
-1
a) F [f](x) = 2πF[f](-x) b) F [f*g](x) = 2πF [f](x)F [g](x)
------------
1
c) F[fg](λ) = 2π F[f]*F[g](λ)
∞
∞
i
d)
f(t)F[g](ti)dt = i F[f](ti)g(t)dt
j
j
-∞
-∞
------------
2
2
8.- Si f,g,h ∈ L1(R), comprobar que:
a) f*(g + h)(x) = f*g(x) + f*h(x) b) f*g(x) = g*f(x)
c) Si gn
g en la norma de L1(R), entonces f*gn converge en L1(R) a f*g.
--------------L
9.- Sean δn(x) = 2nχ[-1/n,1/n](x) y hn(x) = f*δn(x), con n ∈ N. Calcula los
límites puntuales de las sucesiones de funciones: (δn) y (hn). Comprueba que la
sucesión (δn) no es una sucesión de Cauchy en L1(R).
10.- Sea f : R
R una señal, la cuál filtramos con el filtro ideal paso
bajo χ[-δ,δ](x) ¿Quién es la componente en frecuencia fδ de f acotada en la banda
--------------L
[-δ,δ]. (Indicación: fδ(t) = (f*g)(t) donde g es el filtro en el dominio del tiempo).
11.- Sea f(t) = e-tχ[0,∞)(t).
- f(bt), a,b ∈ R.
a) Comprueba que f(at)*f(bt) = f(at) b-a
b) Deduce que f(at)*f(at) = tf(at)
---------------------------------------------------
12.- Si F[f](λ) = 0 si λ ∉ [3102,3104] ¿a que tasa hay que muestrear f para
discretizarla sin perder información? ¿Y si pensamos aplicar el algoritmo FFT?
k-1
n
13.- (Algoritmo F.F.T.) Sea P(x) = s
t anx un polinomio con k par y sea w
n=0
una raíz k-ésima de la unidad. Probar que P(w) = P1(w2) + wP2(w2) donde P1 y P2 son
polinomios de grado (k/2)-1. ¿Es w2 una k/2-ésima raíz de la unidad?