Integral impropia:
∞
I=∫
10x / (x^3 + 2x^2 - 16) dx
3
1) Estudio de convergencia
Para x → ∞, el integrando se comporta como 10/x^2, cuya integral impropia
convergente en [3, ∞). Por comparación, la integral dada converge.
2) Descomposición en fracciones simples
Primero factorizamos el denominador:
x^3 + 2x^2 - 16 = (x - 2)(x^2 + 4x + 8).
Buscamos A, B, C tales que
10x / [(x - 2)(x^2 + 4x + 8)] = A/(x - 2) + (Bx + C)/(x^2 + 4x + 8).
Igualando numeradores:
10x = A(x^2 + 4x + 8) + (Bx + C)(x - 2).
Desarrollando y agrupando términos se obtiene el sistema:
A+B=0
4A + C - 2B = 10
8A - 2C = 0
cuya solución es A = 1, B = -1, C = 4.
Por tanto:
10x / (x^3 + 2x^2 - 16) = 1/(x - 2) + (-x + 4)/(x^2 + 4x + 8).
3) Cálculo de una primitiva
Integramos término a término:
∫ 1/(x - 2) dx = ln|x - 2|.
Para ∫ (-x + 4)/(x^2 + 4x + 8) dx escribimos:
-x + 4 = -(1/2)(2x + 4) + 6,
de modo que
∫ (-x + 4)/(x^2 + 4x + 8) dx =
= -(1/2) ∫ (2x + 4)/(x^2 + 4x + 8) dx + 6 ∫ dx/(x^2 + 4x + 8).
El primer término da:
-(1/2) ln(x^2 + 4x + 8).
Para el segundo, completamos cuadrado:
x^2 + 4x + 8 = (x + 2)^2 + 4,
luego
6 ∫ dx / [(x + 2)^2 + 2^2] = 3 arctan((x + 2)/2).
Una primitiva completa es entonces
F(x) = ln|x - 2| - (1/2) ln(x^2 + 4x + 8)
+ 3 arctan((x + 2)/2) + C.
4) Evaluación de la integral impropia
I = ∫_3^∞ 10x / (x^3 + 2x^2 - 16) dx
= lim_{b→∞} [F(b) - F(3)].
4.1) Límite cuando x → ∞
La parte logarítmica se puede escribir como
ln(b - 2) - (1/2) ln(b^2 + 4b + 8)
= ln( (b - 2)/sqrt(b^2 + 4b + 8) ).
0
