Respuestas a Preguntas de Derivadas y Aplicaciones
Pregunta 1
Dada la función:
g(x) = x³ + 2x² + 3
a) Derivada mediante la definición:
Usamos la definición de derivada:
g'(x) = lim (h → 0) [g(x+h) - g(x)] / h
Calculamos:
• g(x+h) = (x+h)³ + 2(x+h)² + 3
• Expandimos:
• (x+h)³ = x³ + 3x²h + 3xh² + h³
• 2(x+h)² = 2x² + 4xh + 2h²
• Entonces:
• g(x+h) = x³ + 3x²h + 3xh² + h³ + 2x² + 4xh + 2h² + 3
• Simplificado: g(x+h) = x³ + 2x² + 3 + (3x² + 4x)h + (3x + 2)h² + h³
Restamos g(x):
• g(x+h) - g(x) = (3x² + 4x)h + (3x + 2)h² + h³
Dividimos por h:
• [g(x+h) - g(x)] / h = 3x² + 4x + (3x + 2)h + h²
Tomando el límite cuando h → 0:
• g'(x) = 3x² + 4x
b) ¿Para qué valores de x la pendiente de g es 2?
Planteamos:
• 3x² + 4x = 2 → 3x² + 4x - 2 = 0
• Usamos la fórmula general:
• x = [-4 ± √(16 + 24)] / 6 = [-4 ± √40] / 6 = (-2 ± √10) / 3
Respuesta:
x = (-2 ± √10) / 3
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Pregunta 2
Dada la función:
f(x) = ln(2 - x) + x² - 2
Queremos hallar la ecuación de la recta tangente en el punto (-1, f(-1))
1. Evaluamos f(-1):
2. f(-1) = ln(3) + 1 - 2 = ln(3) - 1
3. Derivada:
4. f'(x) = -1 / (2 - x) + 2x
5. f'(-1) = -1/3 - 2 = -7/3
6. Ecuación de la recta tangente:
7. y - (ln(3) - 1) = (-7/3)(x + 1)
Pregunta 3
Dada la función de crecimiento poblacional:
P(t) = 1 + 0.03t + t²
a) Tasa de crecimiento instantánea en el año 2005 (t = 5):
• P'(t) = 0.03 + 2t
• P'(5) = 0.03 + 10 = 10.03 millones
b) Segunda derivada:
• P''(t) = 2
Resumen de respuestas
• Pregunta 1:
• a) g'(x) = 3x² + 4x
• b) x = (-2 ± √10) / 3
• Pregunta 2:
• Recta tangente: y - (ln(3) - 1) = (-7/3)(x + 1)
• Pregunta 3:
2
• a) Tasa de crecimiento en 2005: 10.03 millones
• b) Segunda derivada: 2
3
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