Aplicación
Relación con el cálculo diferencial
Proceso de aplicación (fórmulas, pasos y
ejemplos)
Rectas tangentes y
normales
La recta tangente es una línea que
toca la curva en un solo punto y
1. Derivar la función 𝑓(𝑥)para obtener
𝑓'(𝑥).
tiene la misma pendiente que la
2. Evaluar 𝑓'(𝑎) en el punto (𝑎, 𝑓(𝑎)).
función en ese punto, representada
por la derivada. La recta normal es
perpendicular a la tangente y su
pendiente es el negativo del
recíproco de la derivada.
3. Usar la ecuación de la recta tangente:
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓'(𝑎)(𝑥 − 𝑎).
4. La ecuación de la recta normal usa la
pendiente 𝑚𝑛.
1
1
− 𝑓'(𝑎) : 𝑦 − 𝑓'(𝑎) = − 𝑓'(𝑎) (𝑥 − 𝑎).
2
Ejemplo: Para 𝑓(𝑥) = 𝑥 en 𝑥 = 1:
𝑓'(𝑥) = 2𝑥,
entonces 𝑓'(1) = 2.
Ecuación de la tangente:
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1).
Ecuación de la normal:
1
𝑦 − 1 =− 2 (𝑥 − 1).
Extremos locales de
funciones (criterio de
la primera derivada)
Los máximos y mínimos locales
ocurren en los puntos donde la
derivada es cero (𝑓'(𝑥) = 0) o no
1. Derivar 𝑓(𝑥) y encontrar 𝑓'(𝑥) = 0
(puntos críticos).
signo de 𝑓'(𝑥) antes y después del
2. Analizar el cambio de signo en 𝑓'(𝑥):
★ Si 𝑓'(𝑥) cambia de + a −, hay un
máximo local.
★ Si 𝑓'(𝑥) cambia de − a +, hay un
mínimo local.
punto.
Ejemplo: Para 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 4:
existe. Para determinar si es un
máximo o mínimo, se analiza el
3
2
2
𝑓'(𝑥) = 3𝑥 − 6𝑥,
igualamos a 0:
3𝑥(𝑥 − 2) = 0 → 𝑥 = 0
y 𝑥 = 2 (puntos críticos).
Evaluamos la primera derivada antes y
después:
★ Para 𝑥 = 0, 𝑓'(𝑥) pasa de
negativa a positiva→ mínimo.
★ Para 𝑥 = 2, 𝑓'(𝑥) pasa de positiva
a negativa→ máximo.
Intervalos de
crecimiento y
decrecimiento
Indican dónde una función crece o
decrece en su dominio. Si la
1. Calcular 𝑓'(𝑥).
2. Encontrar los valores donde 𝑓'(𝑥) = 0
derivada es positiva, la función
crece; si es negativa, decrece.
o no existe (posibles cambios de
crecimiento).
3. Dividir el dominio en intervalos con
esos puntos.
4. Evaluar 𝑓'(𝑥) en cada intervalo:
★ 𝑓'(𝑥) > 0 → la función crece.
★ 𝑓′(𝑥) < 0 → la función decrece.
3
2
Ejemplo: Para 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 6𝑥 + 9𝑥:
2
𝑓′(𝑥) = 3𝑥 − 12𝑥 + 9
2
Resolvemos 3𝑥 − 12𝑥 + 9 = 0.
Factorizando:
3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) = 0 → 𝑥 =1, 𝑥 = 3.
Analizamos los intervalos
(− ∞, 1), (1, 3), (3, ∞).
★ En 𝑥 < 1, 𝑓'(𝑥) > 0 → crece.
★ En 1 < 𝑥 < 3, 𝑓′(𝑥) < 0 →
decrece.
★ En 𝑥 > 3, 𝑓'(𝑥) > 0 →crece.
Optimización
Se usa para encontrar valores
máximos o mínimos en situaciones
Pasos:
1. Definir la función objetivo en función de
una sola variable.
reales, como minimizar costos o
maximizar ganancias.
2. Derivar 𝑓(𝑥) y encontrar puntos críticos
resolviendo 𝑓'(𝑥) = 0.
3. Aplicar la segunda derivada para
confirmar el tipo extremo:
★ Si 𝑓′′(𝑥) > 0 → máximo (función
cóncava hacia abajo).
Ejemplo: Minimizar el costo de una lata
cilíndrica de volumen
3
𝑉 = 1000𝑐𝑚 .
2
Se usa 𝐴 = 2π𝑟 con ℎ =
1000
2
π𝑟
.
Derivando y resolviendo 𝐴'(𝑟) = 0, se
encuentra el radio óptimo para minimizar
el área.
Referencias
1. Stewart, J. (2021). Cálculo: Conceptos y Contextos. Cengage Learning.
2. Larson, R., & Edwards, B. H. (2020). Cálculo: Una variable. McGraw Hill.
3. Thomas, G. B., Weir, M. D., & Hass, J. (2017). Cálculo: Varias Variables. Pearson.
4. MIT OpenCourseWare: https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/
5. Paul’s Online Math Notes: https://tutorial.math.lamar.edu/
6. Apostol, T. (2007). Calculus Vol. 1. Wiley.
0
