08.- Ecuación Exponencial

ECUACIÓN EXPONENCIAL
Ecuación exponencial es aquella que tiene la(s) incógnita(s) en el exponente de una
potencias.
o más
Para resolver una ecuación exponencial se debe reducir cada miembro de la igualdad a una
potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades correspondientes. Las bases deben
ser distintas de cero, uno y menos uno.
EJEMPLOS
1.
Si
2.
32x = 33, entonces 2x – 3 =
Si 4x + 1 · 22x – 6 = (0, 5)x, entonces x es
A)
A) 0
B) 1
3
C)
2
D) 2
E) 3
B)
C)
D)
E)
3.
4.
Si 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 13
entonces x es
5.
6.
Si 2x · 3y · 5z · 7w = 180, con x, y, z, w  
entonces x + y + z + w =
A)
B)
C)
D)
E)
A) -3
B) -1
C) 0
D) 1
E) 3
4
3
4
5
5
2
4
3
4
5
2
3
4
5
no es divisible por siete,
por ende no se puede determinar.
(0,01)-x + 5 = 100 es
3
¿Cuál es el valor de x en la ecuación  
5
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
La solución de la ecuación
6
5
4
3
2
7.
6
5
4
3
1
¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) Si x6= 36, entonces x = 3.
II) Si x5 = 55, entonces x = 5.
III) Si x3 = y3, entonces x = y.
A)
B)
C)
D)
E)
Solo I
Solo II
Solo I y II
Solo II y III
I, II y III
x+2
-x + 2
 125 
= 

 27 
?
RAÍCES
DEFINICIÓN 1: Si n es un entero par positivo y a es un real no negativo, entonces
real b , no negativo, tal que bn = a
n
a = b  bn = a
con
a = b  bn = a
a es el único
n
a es el único
b0
DEFINICIÓN 2: Si n es un entero impar positivo y a es un real cualquiera, entonces
real b tal que bn = a
n
n
con b  lR
OBSERVACIONES:


Si n es un entero par positivo y a es un real negativo, entonces
ES REAL.
n
La expresión ak , con a real no negativo,
potencia de exponente fraccionario.
n

k
a
= a
k
n
a2 = a, para todo número real
EJEMPLOS
16 –
3
125 +
4
81 –
5
-32 =
A) 14
B)
6
C)
4
D)
2
E)
0
2.
¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) equivalentes con
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
I, II y III
9
3
-3
a NO
se puede expresar como una
a
1.
n
(-3)2 ?
3.
9 
La expresión
3
-8 +
2 
5
4
16
3
es igual a
4.
-32
A) 0
3
B)
4
7
C)
4
9
D)
4
E) 3
El valor de
0,04 +
A)
B)
C)
D)
E)
5
(-5)2
es
-55
A) -2
7
B) 5
3
C) 5
7
D)
5
E) no está definido
25
5
5.
(-2)3 
3
6.
0,064 =
0,024
0,24
0,6
1
6
( 9)
A)
B)
C)
D)
E)
4
=
1
9
3
6
9
81
PROPIEDADES
Si
n

MULTIPLICACIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
a y
n
b
están definidas en lR, entonces:
n
a ·
n
b =
na

DIVISIÓN DE RAÍCES DE IGUAL ÍNDICE
n
· b
n
a
=
b
n
a
, b0
b
EJEMPLOS
1.
3
3
·
5 3
A) 15
B)
9
C)
3
D)
3
E)
3
4
25 3
25 3
5 3
75
5 3 =
2.
Si
a
> 0, entonces
b
A) 1
a
B)
b
 a
C)  
b
1
ab
D)
E)
4
4
a
b
4
4
a
b3
b
a3
=
3.
3 +
3 =
7 
7 ·
A) -2
B) 2
C) 4
D) 10
E)
3 +
7
Si a  b y n es impar, entonces el valor de
4.
n
A)
n
a 
n
n
a  b
n
b  a
es
b
n
b  a
B) 0
C) 1
D) -1
E) no está definido.
xy
5.
xy
xy ·
xy
yx
xy
A)
xy
xy
B)
xy
xy
C)
D)
E)
 1
6.
=
· yx
 1
xy
x · yx
p
3p + 2  3p ·
A) 3
3
p
· ( 8)
B)
8
 5
C) 3 ·  p 
 8
y
xy
xy
D) 6
E) 3
xy
xy · yx
(x · y)x
 1
-
6
p
p
2-3 =
PROPIEDADES
Si a  lR+ y m y n  +, entonces:

POTENCIA DE UNA RAÍZ
n m
a
RAÍZ DE UNA RAÍZ

m
nm
= (n a)
a=
nm
a
EJEMPLOS
1.
3
84 =
23
24
26
212
236
A)
B)
C)
D)
E)
4.
3
2.
5.
C)
6
2
3
D) 6
E) 2
7.
Si p > 0, entonces
A)
6
p
B)
3
1
p
C)
3
p
D)
3
p2
E)
6
p5
D)
5
E)
6
10 ·
p
3
p
=
4 5
-2 =
9
A) - 2
9
2
C) -
20
B)
64
2
20
8
D)
2
E) no es un número real.
5
-2
32
A) -20
B) -5
C)
0,5
D)
5
E) 20
A) 1
B)
3.
64 =
A) 2
B) 4
C) 8
2 9 =
6
3
=
6.
3
A)
B)
-24 ·
18
9
6
3
-64 =
27
27
C)
32
D) 2
E) no está definido.
PROPIEDADES

AMPLIFICACIÓN Y SIMPLIFICACIÓN DEL ORDEN DE UNA RAÍZ
n

mn m
a
, m  +, a  lR+
PRODUCTO DE RAÍCES DE DISTINTO ÍNDICE
n

a =
a 
m
b =
mn
+
am  bn , a, b  lR
FACTOR DE UNA RAÍZ COMO FACTOR SUBRADICAL
b
n
a =
n
bn  a , b  lR
+
EJEMPLOS
12
1.
38 =
4
2.
8 ·
A)
3
9
A)
8
16
B)
3
81
B)
6
16
C)
4
C)
4
16
D)
4
9
D)
4
E)
4
27
E)
3.
3
2·
3
3 =
4.
2 =
32
8
2 
A)
3
36
A)
4
B)
3
24
B)
8
C)
3
18
C)
18
D)
3
12
D)
24
E)
28
E)
3
6
8 +
18 =
6
5.
4
4
6. La expresión x ·
es equivalente a
=
6
3
A)
B)
2
 2 3
C)
B)  
3
C) 2
1
12
-
·3
1
4
3
2
D)
E) 6
7. Si x  0, entonces 2 18x2 – 32x2 – 3x 2 =
A) -x 2
B)
x 2
C) -2x 2
D)
2x 2
E)
3x 2
x3
A)
 2 2
3
 
D)
E)
3
x4
3
x16
3
x18
9
x16
3
x2 ·
3
x
RACIONALIZACIÓN
Racionalizar el denominador de una fracción consiste en transformarla en una fracción
equivalente cuyo denominador no contenga ninguna raíz.
Fracciones de la forma
CASO 1:
a
b c
CASO 2: Fracciones de la forma
a
p b +q c
EJEMPLOS
1.
6
5 3
A)
=
6
5
3
B) 2 3
2
C)
3
5
2
D)
5
6
E) 3
5
2.
12
2 3 3 2
=
A) 24 3 + 36 2
B) 24 3 – 36 2
C) -4 3 – 6 2
3.
D)
6 2 –4 3
E)
4 3 +6 2
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) la tercera parte de
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
3
9
1
3
2
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
I, II y III
108
1
?
3
4.
Para racionalizar la expresión
A)
B)
C)
D)
n
bm
n
b
n
bn
 m
n
bm
 n
3 +
2
3 
2
=
A) 5 +
6
B) 5 + 2 6
5+2 6
C)
5
D) 5
1
E)
5
7.
1
2 

1 
2 3
=

2
6
A) - 2
B)
, se debe amplificar por
bm
bm
E)
5.
a
n
6
C)
2
2
3
2 
D)
E) 1
2
6.
a2  b2
a 
b
=
A) (a + b)( a +
b)
B) (a – b)( a +
b)
C) (a + b)( a 
b)
D) (a – b) ( a 
b)
E)
a +
b
GUIA DE POTENCIAS Y RAICES
1.
El valor de
A)
B)
C)
D)
E)
–34
(–5)2
–81
25
–6
5
6
5
81
25
A)
x–4 ∙ y4
B)
x–4 ∙ y11
C)
x–4 ∙ y12
D)
x6 ∙ y3
E)
x6 ∙ y4
4.
( 14
ninguno de los valores anteriores.
El cuadrado de – 6x5 es
3.
B)
–36x25
C)
36x5
D)
36x10
C)
12m12
E)
36x25
D)
64m–7
E)
64m12
A)
B)
C)
D)
E)
81
37
273
99
279
5.400 · 3,8
=
0,18 · 0,19
A)
B)
6.
En la secuencia
( )
1
3
A)
13 ∙
B)
( )
C)
13 ∙
( )
n-1
D)
( )
n+1
E)
13
3
13
3
–3
6 ∙ 10
–2
B)
6 ∙ 10
C)
60
D)
6 ∙ 103
E)
6 ∙ 105
13
3
n
n
( 13 )
)
–3
=
=
1
m12
64
1
m12
12
–36x10
El valor de 93 + 93 + 93 es
A)
m–4
A)
5.
7.
x4 · y7 · x–3 · y
x5 · y–4
2.
es
2n
13 13 13
, , ,............., el n-ésimo término es
3 9 27
8.
¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es(son) verdadera(s)?
I)
53 = 125
343
7
II)
(3pn)2 = 6p2n
III)
(32)4 + 47 = 38 + 16
45
45
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y II
Sólo I y III
10.
El número √364 es igual a
A)
38
B)
C)
D)
E)
9.
La expresión (1714 – 1712) es divisible por
I)
II)
III)
1712
24
3
A)
B)
C)
D)
E)
Sólo I
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y II
I, II y III
11.
A)
B)
C)
D)
E)
–3
√192
B)
3
( √3 )
C)
6
3
32
D)
9
3
62
E)
ninguno de los valores anteriores.
8
7∙
3
7
=
√–27
√–27
13.
A)
B)
C)
D)
E)
12
13
12√2
13√2
13√2 – √12
14.
15.
(√48 + √192 – √27) : √3
107
15√3
9√3
15
9
El valor de
4
A)
3 · √3
B)
√9
C)
√27
B)
10
7
√21
C)
√6
D)
√27
D)
√3
E)
3 √6
E)
3
A)
3
A)
√72
El valor de √162 + √32 –
es
6
12.
3
El valor de √3 · √–9 es
4
4
3 3 es
=
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalente(s) a √30 - √15 ?
√5
16.
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
√6 - √3
√6 - √15
√3 ∙ ( √2 - 1)
Sólo I
Sólo II
Sólo I y II
Sólo I y III
Sólo II y III
17. ¿Cuál(es) de los siguientes
números es(son) irracionales#
I)
II)
III)
A)
B)
C)
D)
E)
√50 ∙ √2
√7 + 2√7
√6
√216
Sólo I
Sólo II
Sólo III
Sólo I y III
Sólo II y III
18.
3
3 + √2
A)
√2 – 1
B)
9 – 3√2
C)
√2
2
D)
9 –√2
7
E)
9 – 3√2
7
=