Capítulo V - prof.usb.ve.

5-1
Capítulo V
5.1 INTRODUCCIÓN
El análisis de los sistemas de control se basa en gran parte en el contenido de su
estabilidad ABSOLUTA o RELATIVA.
•
Absoluta: Un sistema lineal invariante en el tiempo es estable, si sometido a una
perturbación, éste, luego de un tiempo, vuelve a su condición de equilibrio. Además,
todas las raíces de la ecuación característica deben estar en el semiplano izquierdo del
plano s.
•
Relativa: Indica el grado de estabilidad de un sistema y se mide a través de
parámetros como Mp y ξ.
Métodos para determinar la estabilidad absoluta
Imprácticos:
-
Respuesta al impulso.
-
Raíces de la ecuación característica.
-
Matriz de transición de estados, etc.
Prácticos:
-
Criterio de Routh-Hurwitz (estabilidad absoluta): prueba si las raíces de la ecuación
característica están en el semiplano de la izquierda o de la derecha.
-
Root-Locus o Lugar Geométrico de las Raíces: Representa la variación de las raíces
de la ecuación característica cuando algunos de sus parámetros varían. Si el L. R. cae
en el semiplano de la derecha se habla de estabilidad condicional o inestabilidad.
-
Nyquist: Método semigráfico. Informa acerca de la diferencia que hay entre el
número de polos y ceros de la FTLC observando la FTLA.
5-2
-
Diagrama de Bode: Consiste en graficar el diagrama de bode de la FTLA el cual
permite hablar de la estabilidad de la FTLC. Restricción: Los polos de G(s) y H(s)
deben estar en el semiplano de la izquierda.
-
Liapunov: Se emplea para sistemas no lineales básicamente. Se basa en el
cumplimiento de las propiedades de la función de Liapunov.
5.2 CRITERIO DE ROUTH - HURWITZ
Determina la localización de las raíces de un polinomio con coeficientes
constantes y reales con respecto al semiplano derecho o izquierdo de Laplace. Puede ser
aplicado a Sistemas SISO, MIMO, y multilazos.
Aplicación: Dada la FTLC del sistema:
C( s) bm s m + bm −1s m −1 + bm − 2 s m − 2 +K+b0 B( s)
=
=
R( s) an s n + an −1s n − 1 + an − 2 s n − 2 +K+ a0
A( s)
1. Se toma la ecuación característica del sistema:
A( s) = 1 + G( s) H ( s) = an s n + an − 1s n −1 + an − 2 s n − 2 +K+ a0
2. Se construye el arreglo de Routh:
s n a n a n −2
s n −1 a n −1 a n −3
b2
s n −2 b1
s n −3 c1
M
M
s0
g1
donde:
c2
M
a n −4 K
a n −5 K
b3 K
c3
M
K
5-3
b1 =
an −1 . an − 2 − an . an − 3
;
an −1
b2 =
an −1 . an − 4 − an . an − 5
an −1
b3 =
an −1 . an − 6 − an . an − 7
;
an − 1
c1 =
b1 . an − 3 − an −1 .b2
b1
c2 =
b1 . an − 5 − an − 1 .b3
;
b1
c3 =
b1 . an − 7 − an − 1 .b4
b1
3. Se investigan los signos de la primera columna del arreglo.
“Las raíces de la ecuación característica estan todas en el semiplano izquierdo del plano s
Si: todos los elementos de la primera columna tienen el mismo signo. Si existen
cambios de signo, el número de cambios de signo es el número de raíces con parte
real positiva”.
•
Ejemplo 5.1: Considere la ecuación característica: 1 + GH (s ) = s 3 + s 2 + 2 s + 8 .
Procedemos a construir el arreglo de Routh:
3
s
s2
s1
s0
Hay dos cambios de signo; por lo tanto, hay dos polos en el
1 2
1 8
−6
8
semiplano derecho. Observe que:
(
)
(
s 3 + s 2 + 2 s + 8 = ( s + 2 ) s 2 − s + 4 = ( s + 2) ⎡ s −
⎢⎣
)
1 2
2
5.2.1 Casos Especiales:
Se anula uno de los elementos de la primera columna (que no sea el último).
Se procede en la forma que se muestra en el siguiente ejemplo. Dada:
1 + G( s) H ( s) = s5 + s 4 + 2 s 3 + 2 s 2 + 3s + 15 , se construye el arreglo de Routh:
⎤
+ 15
4⎥
⎦
5-4
s5
s4
1
2
3
1
2
15
−12
δ
2δ + 12
= α1
s2
δ
1
s
α2
s0
15
s3
donde;
α1 =
2δ + 12
δ
( 2δ + 12)( −12) − (δ 2 15)
α2 =
2δ − ( −12)
15
El cero se ha substituido por δ muy pequeño > 0 .
Se toma el límite con δ → 0 de los coeficientes indeterminados y se obtiene:
lim α1 = lim 2 +
δ →0
δ →0
12
δ
(2δ + 12)(− 12) − (δ 215) = −12
δ →0
2δ − (− 12 )
> 0 ; lim α 2 = lim
δ →0
Entonces, hay dos cambios de signo, lo que indica que hay dos polos en el semiplano
derecho y que el sistema es inestable a lazo cerrado
Los elementos de una fila son todos nulos.
Esto se debe a que el polinomio característico posee raíces simétricas respecto al origen.
Se procede de la siguiente manera, ilustrada con un ejemplo. Dada la ecuación
característica:
1 + G( s) H ( s) = s 4 + 2 s 3 + 11s 2 + 18s + 18 ,
construimos
el
arreglo de Routh:
s4 1
s3 2
s2 2
s1 4
s 0 ? 18
11 18
La cuarta del arreglo solo contiene ceros. Entonces, Se usa como
18
18
ecuación auxiliar la anterior a la fila nula (Tercera fila):
0
P( s) = 2 s 2 + 18 . Hallamos
dP( s)
= 4 s y utilizamos este
ds
polinomio para completar el arreglo. A continuación, seguimos
aplicando el método igual que en el caso no especial.
En este caso, no hay cambios de signo en la primera columna, lo que indica que el
sistema no tiene polos en el semiplano derecho. Sin embargo, las raíces de P( s) son
5-5
raíces de la ecuación característica. En este caso, vemos que hay dos polos sobre el
eje imaginario s1,2 = ±3 j , lo cual nos indica que el sistema es críticamente estable.
5.3 EJERCICIOS A RESOLVER EMPLEANDO EL MÉTODO DE
ROUTH-HURWITZ
•
Problema 5.3.1:
Considere el sistema realimentado mostrado en la siguiente figura.
Figura 5.1
¿Para cuáles valores de K el sistema controlado es estable?
En primer lugar, debemos hallar la ecuación característica, para lo cual calculamos la
F.T.L.C.
C ( s)
K ( s + 2)
K ( s + 2)
=
=
4
3
R( s) s( s + 5) s 2 + 2 s + 5 + K ( s + 2) s + 7 s + 15s 2 + ( 25 + K ) s + 2 K
(
)
Asi, la ecuación característica es :
1 + G( s) H ( s) = s 4 + 7 s 3 + 15s 2 + ( 25 + K ) s + 2 K .
Construimos el arreglo de Routh:
s4
s3
s2
1
7
( 807− K )
s α1
s0 2 K
1
15
2K
25 + K
2K
donde:
80 − K
25 + K ) − 14 K − K 2 − 43K + 2000
(
7 )(
=
α1 =
80 − K
80 − K
( 7 )
Para que el sistema sea estable, es necesario que:
5-6
(
)
a) 807− K > 0 ⇒ K ≤ 80
b) 2 K > 0 ⇒ K > 0
⎧K = 28.1
c) α1 ≥ 0 ⇒ − K 2 − 43K + 2000 > 0 ⇒ ⎨ 1
⇒ −71.7 < K < 28.1
⎩K 2 = −71.7
0 < K < 281
. .
Al intersectar las soluciones a), b) y c) obtenemos que:
Para K = 281
. el sistema es críticamente estable; si K > 281
. el sistema tendrá raíces en
el semiplano derecho, transformandose en un sistema inestable.
Respuesta transitoria a lazo cerrado para F.T.L.A.
K (s + 2)
s(s + 5)(s 2 + 2s + 5)
A continuación se procederá a graficar la respuesta temporal del sistema en
función de distintos valores de la ganancia.
K=4
1
0.8
0.6
0.4
0.2
2
6
4
Time (second)
K=10
1.2
1
0.8
8
10
5-7