Qué valores p -llamados raíces

TEMA 1
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE
1.1 SEPARACIÓN DE RAÍCES.
¿ Qué valores p -llamados raíces- satisfacen la ecuación f(x) = 0 ? (raíces: p0 , p1 ,
...., p n )
Debemos considerar dos etapas:
(1) Separación de raíces. Establecer los intervalos más pequeños posibles [, ] que
contengan una raíz.
(2) Mejorar los valores de las raíces aproximadas, hasta que presenten el grado de
exactitud deseado.

Propiedad de Darboux .
Si f C[a, b ] y K es un número comprendido entre f(a) y f(b) , entonces c [a, b ] tal
que f(c) = K. NOTA: Por C[a, b ] nos referimos a las funciones continuas en el intervalo
[a, b].
Corolario V.1: Si f C[a, b ] asume valores de signo opuesto (+ y -) en los extremos de
un intervalo [, ] entonces ese intervalo contendrá al menos una raíz de f(x)=0.
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PROCESO DE SEPARACIÓN DE RAÍCES:
Sea la ecuación f(x) = 0 , con f(x) definida en [a, b ]
tal que f(a) > 0 y f(b) < 0 (o viceversa)
1. Tomamos en [a, b ] un número adecuado de puntos: 1, 2 ,... , n
2. Comprobamos los signos de f en cada punto: f(1 ), f(2 ),... , f(n )
Hay una raíz en cada intervalo [k , k+1 ] t. q. los signos f(k ), f(k+1 ) sean opuestos.
Ejemplo:
Separación de las raíces de la ecuación x3 - 6 x + 2 = 0 .
Obtenemos la tabla:
x
f(x)
-
(-)
-3
(-)
-1
(+)
0
(+)
+1
(-)
+3
(+)
+
(+)
OBSERVACIÓN: En caso de que la derivada, f'(x), sea continua y pueda obtenerse
fácilmente los valores que cumplen f '(x) = 0, el asunto se simplifica, pues basta con tomar
los signos de f(x) para los ceros de su derivada y para los extremos de [a, b].
Ejemplo:
Separación de raíces de x4 - 4 x - 1 = 0.
f(x) = x4 - 4 x - 1 , f '(x) = 4 (x3 - 1) 
x
f(x)
-
(+)
+1
(-)
f '(x) = 0 para x = 1.
+
(+)
Por tanto la ecuación tiene dos raíces.

Teorema del Valor Medio.
Si f  C[a, b] y es diferenciable en (a, b), entonces existe un número c, a<c<b, tal que
f ' (c) 
f (b)  f (a )
ba
2

Teorema del Valor Extremo.
Si f  C[a, b] , entonces existen dos números c1 , c2  [a, b] t. q. f(c1)  f(x) )  f(c2)
para todo x [a, b].
Si además, f es diferenciable en (a, b), entonces c1 y c2 estarán en los extremos o allí
donde f’(x)=0.

Teorema V.2:
Sea la ecuación f(x) = 0, y sea p una raíz exacta y x una raíz aproximada, ambas
situadas en el mismo intervalo [,]…
Y sea m1 un valor minimal de f’(x)  en [,], es decir, m1  f’(x)  (siendo m > 0 ),
para   x   , entonces se tiene:
xp 
f x 
m1
Demostración:
Por el T. del valor medio se tiene:
f ( x )  f ( p )   x  p  f (c)
Donde c es una valor intermedio entre x y p, es decir c[α, β].
Tenemos que f(p) = 0, y, f (c)  m1 (si tomamos para m1 el valor minimal de f ( x)
para α≤x≤β), entonces:
f x   f ( p)  m1 x  p  f x   m1 ( x  p)
Por tanto:
xp 
f x 
m1
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Ejemplo: Para la ecuación x4 – x – 1 = 0, hemos obtenido la raíz aproximada x = 1.22.
Estímese el error absoluto de esta raíz.
f ( x ) = x4 – x – 1 
f ( x ) = 2.2153 – 1.22 – 1 = -0.0047
(-)
Como para el valor x = 1.23, se tiene:
f ( x ) = 2.2889 – 1.23 – 1 = 0.0589
(+)
la raíz exacta p cae en el intervalo (1.22, 1.23).
La derivada f’(x) = 4 x3 – 1, crece monótonamente, por tanto el valor minimal es:
m = 4  1.223 – 1 = 6.2632
y el error absoluto es:
xp 
0.0047
 0.000750415
6.2632
1.2 SOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES.
Es un método algo burdo, pero sirve para hallar raíces aproximadas de:
f(x) = 0
[1]
Se trata de sustituir la ecuación [1] por otra equivalente:
(x) =  (x)
[2]
Las raíces de [1] (o de [2], que son las mismas) son las abscisas de las intersecciones de las
gráficas y = (x) ,  y   ( x) y =  (x) [3] .

 y   ( x)
Ejemplo:
Hallar una raíz aproximada de la ecuación:
x log10 x  1
Esta ecuación la escribimos:
log 10 x 
1
x
4
Las raíces son las abscisas de los puntos de intersección (en este caso sólo uno) de las
funciones:
 y  log10 x


1
 y  x
Una raíz aproximada (aunque burda) es x = 2.6
OBSERVACIÓN:
Este método es muy útil para el caso de que una de las funciones de [3] tenga forma lineal,
o sea: y = ax + b.
 ( x)  a x  b
que incluye al caso de las ecuaciones del tipo:
xn + a x + b = 0
Ejemplo:
Resolver aproximadamente la ecuación:
x3 – 1.75 x + 0.75 = 0
Tomamos por una parte y = x3, por otra parte, tomamos la función lineal y=1.75+0.75
5
Las

y  x 3 raíces son p1 = -1.5, p2 = 0.5, p3 = 1 .

 y  1.75  0.75
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