Método Newton-Raphson

Problema resuelto
Problema 2.5
En la función
t es el tiempo, y el intervalo de interés es t > 0.
La función seno es oscilatoria, afectada de la función exponencial. Tiende a cero cuando t tiene valores
superiores a 1; se lleva tanto sus factores como la función F(t) a dicho valor, con lo cual la gráfica de F(t) se
confunde con el eje t para .
Estas funciones son conocidas como oscilatorias amortiguadas.
Si el exponente de e es positivo, al tender t a infinito, la función es creciente y tiende rápidamente a infinito;
esta función de conoce como función oscilatoria no amortiguada.
Ahora se dan algunos valores a t en la función:
t
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
f(t)
−1,00106744
0,1048814
0,04373517
−0,0227016
0,00477763
−4,2281E−05
Así con estos valores graficamos para observar:
Estos valores señalan la presencia de raíces reales en los intervalos (0,0.2), (0.4,0.6), (0.6,0.8) y (0.8,1.0).
Luego pues, aplicamos el método de Newton−Raphson para encontrar las raíces en cada uno de los intervalos.
Utilizando la primera derivada de la función que es:
Utilizando la fórmula:
Intervalo (0,0.2)
t
0,1
0,15757928
0,17000929
0,17100677
F(t)
−0,45195045
−0,06523934
−0,00450956
−2,9291E−05
F'(t)
7,84918551
5,2485353
4,52093195
4,46220075
ea
er
ep
0,05757928
0,01243001
0,00099749
0,3653988
0,0731137
0,00583302
36,5398801
7,31137024
0,58330153
1
0,17101334
0,17101334
0,17101334
0,17101334
−1,2686E−09
1,2584E−16
−4,7963E−17
−4,7963E−17
4,46181423
4,46181422
4,46181422
4,46181422
6,5643E−06
2,8432E−10
2,7756E−17
0
3,8385E−05
1,6626E−09
1,623E−16
0
0,0038385
1,6626E−07
1,623E−14
0
F'(t)
−0,24887142
−1,15610121
−0,80750436
−0,72812975
−0,72379864
−0,72378568
−0,72378568
−0,72378568
−0,72378568
−0,72378568
ea
er
ep
0,10256343
0,04037271
0,00832599
0,00045333
1,3563E−06
1,2141E−11
5,5511E−17
5,5511E−17
5,5511E−17
0,2580624
0,09221529
0,01866248
0,00101509
3,0371E−06
2,7187E−11
1,243E−16
1,243E−16
1,243E−16
25,8062397
9,2215292
1,86624756
0,10150903
0,00030371
2,7187E−09
1,243E−14
1,243E−14
1,243E−14
ea
er
ep
0,01970633
0,00242318
3,8727E−05
9,8987E−09
5,5511E−16
1,1102E−16
1,1102E−16
0,02738107
0,00335561
5,3627E−05
1,3707E−08
7,6867E−16
1,5373E−16
1,5373E−16
2,73810731
0,33556084
0,00536265
1,3707E−06
7,6867E−14
1,5373E−14
1,5373E−14
ea
er
ep
0,08197861
0,01442268
0,00133353
1,1735E−05
9,0884E−10
0
0,08348309
0,01447477
0,00133656
1,1761E−05
9,1089E−10
0
8,34830928
1,44747656
0,13365611
0,00117612
9,1089E−08
0
Intervalo (0.4,0.6)
t
0,5
0,39743657
0,43780928
0,44613527
0,44658859
0,44658995
0,44658995
0,44658995
0,44658995
0,44658995
F(t)
−0,02552511
0,04667494
0,00672327
0,00033008
9,8171E−07
8,7878E−12
−3,1234E−17
2,5156E−17
−3,1234E−17
2,5156E−17
Intervalo (0.6,0.8)
t
0,7
0,71970633
0,72212952
0,72216824
0,72216825
0,72216825
0,72216825
0,72216825
F(t)
−0,00298091
−0,00029375
−4,5493E−06
−1,1622E−09
−6,5918E−17
−1,1033E−17
7,262E−18
−1,1033E−17
F'(t)
0,15126648
0,12122588
0,11747079
0,11741077
0,11741076
0,11741076
0,11741076
0,11741076
Intervalo (0.8,1.0)
t
0,9
0,98197861
0,99640129
0,99773482
0,99774655
0,99774656
0,99774656
F(t)
0,00285866
0,00033146
2,585E−05
2,2353E−07
1,731E−11
6,1406E−19
6,1406E−19
F'(t)
−0,0348708
−0,02298212
−0,01938429
−0,01904904
−0,01904609
−0,01904609
−0,01904609
Entonces encontramos que las raíces son
Que es el tiempo donde la función se vuelve cero.
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