Solucion de un sistema de ecuaciones diferenciales con autovalores complejos

Solución de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales
con Autovalores Complejos
1 Problema:
[
] [ ]
−3 1
−1
X =
+
−2 −1
−1
′
(1)
2 Solución
2.1 Autovalores
LLamaremos a la matriz:
[
]
−3 1
A=
−2 −1
λ2 + 4λ + 5 = 0
(2) Usando la formula general:
√
−b ± b2 − 4ac
Determinante:
x=
([
])
2a
−3 1
√
det
= −3·(−1)−(−2·1) = 5 (3)
−2 −1
−4 ± (−4)2 − 4 · 5
λ=
2
Traza:
√
−4 ± 16 − 20
([
])
λ=
−3 1
2
tr
= −3 − 1 = −4
(4)
√
−2 −1
−4 ± −4
λ=
2
En la siguiente expresión reemplazamos los
−4 ± 2i
datos: |A − λI| = 0
λ=
2
λ2 − T λ + D = 0
(5)
λ1 = −2 + i
T = −4
:
λ2 = −2 − i
D=5
1
(6)
(7)
(8)
2.2 Autovectores
Para encontrar los autovectores suponemos
que: λ = −2 + i
Si: b = 2
[
] [ ] [ ]
−3 − λ
1
a
0
·
=
(9)
−2
−1 − λ
b
0
[
] [ ] [ ]
3 − (−2 + i)
1
a
0
·
=
−2
−1 − (−2 + i)
b
0
[
2a = (1 − i)b
a=1−i
[
]
1−i
w
⃗=
=
2
(10)
(11)
Lo reescribimos como una suma de vectores
[ ] [ ]
1
−1
+
i
2
0
] [ ] [ ]
−1 − i
1
a
0
·
=
−2
1−i
b
0
Por lo tanto nuestrso autovectores serán:
[ ]
[ ]
1
−1
v⃗1 =
;
v⃗2 =
(12)
2
0
De la segunda fila:
−2a + (1 − i)b = 0
2.3 Solución Preliminar
Para: λ1 = a + bi y λ2 = a − bi
X(t) = C1 eat [v⃗1 cos(bt) − v⃗2 sin(bt)] + C2 eat [v⃗2 cos(bt) + v⃗1 sin(bt)] + XE
Reemplazando los datos obtenidos tenemos:
[( )
( )
]
[( )
( )
]
1
−1
−1
1
−2t
−2t
X(t) = C1 e
cos(t) −
sin(t) + C2 e
cos(t) +
sin(t) + XE
2
0
0
2
2.4 Solución Específica
∫
XE = Γ(t)
Γ−1
(t) F(t) dt
(13)
(14)
(15)
Donde nuestra matriz Gamma será:
[ −2t
]
e cos(t) + e−2t sin(t) −e−2t cos(t) + e−2t sin(t)
2e−2t cos(t)
2e−2t sin(t)
Para invertir la Matriz hallaremos el determinante:
(
) [(
)
]
detΓ = e−2t cos(t) + e−2t sin(t)) · (2e−2t sin(t) − 2e−2t cos(t) · (−e−2t cos(t) + e−2t sin(t)) =
2e−4t (cos(t) sin(t)) + 2e−4t (sin(t))2 + 2e−4t (cos(t))2 − 2e−4t (cos(t) sin(t))
Cancelando terminos y factorizando:
[
]
detΓ = 2e−4t (cos(t))2 + (sin(t))2 = 2e−4t
[ −2t
]
1
2e sin(t) e−2t cos(t) − e−2t sin(t)
−1
Γ = −4t
−2e−2t cos(t) e−2t cos(t) + e−2t sin(t)
2e
2
[
e2t sin(t)
Γ−1 =
−e2t cos(t)
Ahora multiplicando Γ−1 · F :
Donde F es:
[
e2t cos(t)−e2t sin(t))
2
e2t cos(t)+e2t sin(t)
2
−1
F =
−1
]
(16)
]
(17)
] [ ]
e2t cos(t)−e2t sin(t))
2t
−1
e
sin(t)
2
Γ−1 · F =
·
=
e2t cos(t)+e2t sin(t)
2t
−1
−e cos(t)
2
]
[
2t
2t sin(t))
−e2t sin(t) − e cos(t)−e
2
e2t cos(t)+e2t sin(t)
2t
e cos(t) −
2
[ 2t
]
2t
2t
[
−2e
sin(t)−e
cos(t)+e
2
sin(t)
2
]
2e2t cos(t)−e2t cos(t)−e2t sin(t)
[
Integrando
∫
Γ−1
(t) F(t) dt:
−e2t sin(t)−e2t cos(t)
2
−e2t sin(t)+e2t cos(t)
2
(18)
∫ [ −e2t sin(t)−e2t cos(t) ]
2
−e2t sin(t)+e2t cos(t)
2
Comenzando con la integral:
∫
−e2t sin(t) − e2t cos(t)
dt
2
∫
1
−
e2t sin(t) + e2t cos(t)dt
2
(∫
)
∫
1
2t
2t
−
e sin(t)dt + e cos(t)dt
2
dt
Tomando la Integral del lado izquierdo:
∫
e2t sin(t)dt
D
sin(t)
cos(t)
− sin(t)
∫
I
e2t +
1 2t
e −
2
1 2t
e +
4
∫
1 2t
1 2t
1
e sin(t)dt = e sin(t) − e cos(t) −
e2t sin(t)dt
2
4
4
∫
5
1
1
e2t sin(t)dt = e2t sin(t) − e2t cos(t)
4
2
4
∫
2
1
e2t sin(t)dt = e2t sin(t) − e2t cos(t)
5
5
D
I
Tomando Integral del lado derecho:
cos(t)
e2t +
∫
− sin(t) 12 e2t −
e2t cos(t)dt
− cos(t) 14 e2t +
2t
3
∫
∫
1 2t
1 2t
1
e cos(t)dt = e cos(t) + e sin(t) −
e2t cos(t)dt
2
4
4
∫
5
1
1
e2t cos(t)dt = e2t cos(t) + e2t sin(t)
4
2
4
∫
2
1
e2t cos(t)dt = e2t cos(t) + e2t sin(t)
5
5
2t
Sumando los resultados:
2 2t
1
2
1
e sin(t) − e2t cos(t) + e2t cos(t) + e2t sin(t)
5
5
5
5
3 2t
1
e sin(t) + e2t cos(t)
5
5
Multiplicando por − 21
3 2t
1
e sin(t) − e2t cos(t)
10
10
∫
2t
2t
−e sin(t) − e cos(t)
3
1
= − e2t sin(t) − e2t cos(t)
2
10
10
−
Ahora tomamos la Integral:
(19)
∫
−e2t sin(t) + e2t cos(t)
dt
2
(∫
)
∫
1
2t
2t
−e sin(t)dt + e cos(t)dt
2
La integral del lado izquierdo ya la resolvimos solo la multiplicamos por −1:
∫
2
1
−e2t sin(t)dt = − e2t sin(t) + e2t cos(t)
5
5
El lado derecho tambien ya la resolvimos:
∫
2
1
e2t cos(t)dt = e2t cos(t) + e2t sin(t)
5
5
Sumando los resultados:
2
1
2
1
− e2t sin(t) + e2t cos(t) + e2t cos(t) + e2t sin(t)
5
5
5
5
1
3
− e2t sin(t) + e2t cos(t)
5
5
Multiplicando por 12
∫
Nos queda:
−e2t sin(t) + e2t cos(t)
1
3
dt = − e2t sin(t) + e2t cos(t)
2
10
10
∫
[
Γ−1
(t) F(t) dt =
3 2t
1 2t
− 10
e sin(t) − 10
e cos(t)
1 2t
3 2t
− 10 e sin(t) + 10 e cos(t)
4
]
(20)
∫
Ahora la multiplicación de: Γ(t) Γ−1
(t) F(t) dt
[ −2t
] [ 3 2t
]
1 2t
e cos(t) + e−2t sin(t) −e−2t cos(t) + e−2t sin(t)
− 10 e sin(t) − 10
e cos(t)
×
=
1 2t
3 2t
2e−2t cos(t)
2e−2t sin(t)
− 10
e sin(t) + 10
e cos(t)
Multiplicando y sumando la primera fila:
[
]
( −2t
)
3 2t
1 2t
−2t
e cos(t) + e sin(t) · − e sin(t) − e cos(t) =
10
10
Factorizando:
]
1
3
cos(t) =
e [cos(t) + sin(t)] · e − sin(t) −
10
10
3
1
3
1
− sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2 −
sin(t) cos(t) =
10
10
10
10
2
1
3
− sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2
5
10
10
[
]
[ −2t
]
1 2t
3 2t
−2t
−e cos(t) + e sin(t) · − e sin(t) + e cos(t) =
10
10
1
3
1
3
sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2 +
sin(t) cos(t) =
10
10
10
10
3
1
2
sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2
5
10
10
[
−2t
Ahora:
2t
Sumando:
2
1
3
2
3
1
− sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2 + sin(t) cos(t) − (cos(t))2 − (sin(t))2 =
5
10
10
5
10
10
[
]
2
2
− (cos(t))2 + (sin(t))2 = −
5
5
Multiplicando y sumando la segunda fila:
[
]
3 2t
1 2t
−2t
2e cos(t) · − e sin(t) − e cos(t) =
10
10
Ahora:
1
3
− sin(t) cos(t) − (cos(t))2
5
5
[
]
1 2t
3 2t
−2t
2e sin(t) · − e sin(t) + e cos(t) =
10
10
1
3
− (sin(t))2 + sin(t) cos(t)
5
5
Sumando:
1
1
3
3
− sin(t) cos(t) − (cos(t))2 + − (sin(t))2 + sin(t) cos(t) =
5
5
5
5
]
1[
1
− (cos(t))2 + (sin(t))2 = −
5
5
Por lo tanto nuestra solución específica será:
[
]
∫
−2/5
−1
XE = Γ(t) Γ(t) F(t) dt =
−1/5
5
(21)
2.5 Solución General más Solución Específica
X(t) = C1 e
−2t
[( )
( )
]
[( )
( )
] [
]
1
−1
−1
1
−2/5
−2t
cos(t) −
sin(t) +C2 e
cos(t) +
sin(t) +
(22)
2
0
0
2
−1/5
Podemos reescribir nuestra solución de la forma:
xt = C1 e−2t cos(t) + C1 e−2t sin(t) − C2 e−2t cos(t) + C2 e−2t sin(t) −
yt = 2C1 e−2t cos(t) + 2C2 e−2t sin(t) −
2
5
1
5
(23)
(24)
3 Solución Númerica
Para encontrar la solución númerica encontraremos valores para nuestras constantes.
En la solución para xt :
xt = C1 e−2t cos(t) + C1 e−2t sin(t) − C2 e−2t cos(t) + C2 e−2t sin(t) −
xt = e−2t cos(t) (C1 − C2 ) + e−2t sin(t) (C1 + C2 ) −
xt = C3 e−2t cos(t) + C4 e−2t sin(t) −
yt se queda igual:
2
5
2
5
2
5
1
yt = 2C1 e−2t cos(t) + 2C2 e−2t sin(t) −
5
{
C1 − C2 = C3
C1 + C2 = C4
(25)
Evaluando en P0 (1, 1)
1 = C3 e−2·0 cos(0) + C4 e−2·0 sin(0) −
2
5
1 = 2C1 e−2·0 cos(0) + 2C2 e−2·0 sin(0) −
1
1 = 2C1 −
5
(
)
1
1
1+
C1 =
2
5
2
5
2
C3 = 1 +
5
7
C3 =
5
1 = C3 −
C1 =
6
3
5
1
5
Resolviendo el Sistema:
{
[
3
− C2 = 75
5
3
+ C2 = C4
5
]
[
]
X = B −1 C
[
[
]
1 0
C
−4/5
× 2 =
1 −1
C4
−3/5
[
]
1 0
B=
1 −1
[
]
−1 0
DetB = −1 AdjB =
−1 1
[
]
1 0
B −1 =
1 −1
] [
] [
]
C2
1 0
−4/5
=
×
C4
1 −1
−3/5
[ ] [
]
C2
−4/5
=
C4
−1/5

C1 = 35



C = − 4
2
5
7

C
=
3

5


C4 = − 15
Ahora en nuestra hoja de calculo:
t
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x
1
-0.320405391
-0.414001666
-0.403505485
-0.400256206
-0.399973263
-0.399991397
-0.399999232
-0.400000045
-0.400000021
-0.400000002
-0.4
-0.4
y
1
-0.294462784
-0.235793376
-0.203504418
-0.199856921
-0.19991489
-0.199990174
-0.200000122
-0.200000198
-0.200000027
-0.2
-0.2
-0.2
C1
0.6
C2
-0.8
C3
1.4
λ1 = −2 + i
λ1 = −2 − i
Table 1: Solución Númerica para tiempos discretos
7
C4
-0.2
(26)
t
0.0000
0.0126
0.0251
0.0377
0.0502
0.1130
0.1758
0.2386
0.3014
0.3930
0.4846
0.5761
0.6677
0.7465
0.8253
0.9040
0.9828
1.0685
1.1542
1.2399
1.3256
1.4177
1.5097
1.6017
1.6937
1.7959
1.8981
2.0003
2.1024
2.2174
2.3323
2.4472
2.5622
2.6973
2.8324
2.9675
3.1027
3.2749
3.4472
3.6194
3.7917
x
1.0000
0.9627
0.9262
0.8905
0.8555
0.6916
0.5452
0.4147
0.2991
0.1545
0.0348
-0.0635
-0.1435
-0.1996
-0.2460
-0.2838
-0.3146
-0.3412
-0.3619
-0.3778
-0.3897
-0.3991
-0.4056
-0.4099
-0.4125
-0.4140
-0.4144
-0.4140
-0.4131
-0.4119
-0.4105
-0.4090
-0.4076
-0.4061
-0.4048
-0.4037
-0.4028
-0.4020
-0.4013
-0.4008
-0.4008
y
1.0000
0.9505
0.9026
0.8562
0.8113
0.6071
0.4343
0.2888
0.1671
0.0258
-0.0800
-0.1575
-0.2128
-0.2462
-0.2694
-0.2845
-0.2932
-0.2973
-0.2972
-0.2941
-0.2889
-0.2821
-0.2744
-0.2665
-0.2586
-0.2503
-0.2427
-0.2358
-0.2296
-0.2237
-0.2187
-0.2146
-0.2112
-0.2080
-0.2057
-0.2038
-0.2025
-0.2014
-0.2007
-0.2002
-0.2002
Table 2: Solución Númerica para tiempo continuo
8
4 Análisis Teórico
Donde:
y = 3x + 1
(27)
y = −2x − 1
(28)
P
f(x,y)
g(x,y)
A
(1, 1)
−
−
B
(−1, 2)
+
−
C
(−2, 1)
+
+
f(x,y) = −2x + y − 1
(29)
g(x,y) = −2x − y − 1
(30)
D
(−1, −3)
−
+
B
2
1.5
C
1
A
0.5
y
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
D
-3
-3
-2
-1
0
1
x
Figure 1: Gráfico de Equilibrio
9
2
3
5 Análisis del Determinate y la Traza
Donde:
1
detA = (T rA)2
4
T rA = −4
Recordemos que: detA = 5
(31)
6
5
4
y
3
2
1
f: y = 1 / 4x 2
0
A = (-4, 5)
-1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Figure 2: Gráfico del Determinate y la Traza
Sabemos por teoría que hay un atractor espiral.
Sumidero espiral
6
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
Figure 3: Atractor Espiral
10
6
5
1
x
y
x, y
0.5
0
-0.5
0
2
4
6
8
Tiempo
Figure 4: Gráfico de la Solución Numérica
11
10
12
1
x
y
x, y
0.5
0
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Tiempo
Figure 5: Gráfico de la Solución Numérica, Tiempo Continuo
12
4