2010 CÁLCULO INTEGRALSOLUCIÓN DE PROBLEMAS PROPUESTOS EN GUÍAS Y PROBLEMASESPECIALES INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECyT “WILFRIDO MASSIEU” Departamento de Unidades de Aprendizaje Del Área Básica PROFR.LUIS ALFONSO RONDERO G. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMAS RESUELTOS DE INTEGRALES INMEDIATAS . Verificación por derivación PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 2 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 3 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 4 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 5 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 6 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 7 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica ACTIVIDAD I. PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS. La siguiente tabla de identidades trigonométricas es fundamental para realizar todas tan xdx 11) sen 2 x cos 3 x dx 1) sen 4 dx 6) 2) sen 5 dx 7) tan 4 3xdx 12) sen x cos x dx 17) sen x cos xdx 3) cos 4 3xdx 8) ctg xdx 13) sen 2 x cos 2xdx 18) tan x sec xdx 4) cos 5 2 xdx 9) ctg 3 xdx 14) tan x sec xdx 19) tan x sec xdx 5) tan 2 xdx 10) ctg 4 x dx 15) tan x sec xdx 20) sen x cos xdx 3 2 3 4 5 3 3 3 5 6 16) tg 3 4 x sec 4 4 xdx 3 2 3 4 5 3 3 3 las transformaciones necesarias para simplificar las expresiones trigonométricas contenidas en las integrales. Identidades trigonométricas Problema 1 2 2 1 4 2 sen xdx sen x dx 2 1 cos 2 x dx 1 1 1 1 1 2 cos 2 x cos 2 2 x dx dx cos 2 xdx cos 2 2 xdx 4 4 2 4 u 2x du 2dx du du 2 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA v 2x dv 2dx dv dx 2 Página 8 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 1 1 du 1 dv x cos u cos 2 v 4 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 x cos udu cos 2 vdv x senu 1 cos 2v dv 4 4 8 4 4 8 2 1 1 1 1 1 1 1 x sen2 x 1 cos 2v dv x sen2 x dv cos 2vdv 4 4 16 4 4 16 16 w 2v dw 2dv dw dv 2 1 1 1 1 dw 1 1 1 1 x sen2 x v cos w x sen2 x 2 x senw 4 4 16 16 2 4 4 16 32 1 1 1 1 x sen 2 x x sen 4 x 4 4 8 32 3 1 1 x sen 2 x sen 4 x c 8 4 32 Problema 2 sen xdx senxsen xdx senxsen x dx 5 4 2 2 2 1 cos 2 x senxdx 1 2 cos 2 x cos 4 x senxdx senx 2 cos 2 xsenx cos 4 xsenx dx senxdx 2 cos 2 xsenxdx cos 4 xsenxdx u cos x du senxdx du senxdx v cos x dv senxdx dv senxdx cos x 2 u 2 du v 4 du cos x 2 u 2 du v 4 dv cos x 2u 3 v 5 3 5 2 cos 5 x cos x cos 3 x c 3 5 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 9 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 3 Problema 4 Problema 5 tan xdx sec x 1dx sec xdx dx 2 2 2 tan x x c Problema 6 tan xdx tan x tan xdx sec x 1tan xdx 3 2 2 sec 2 x tan xdx tan xdx u tan x du sec 2 xdx 2 tan x u2 Ln sec x c udu Ln sec x c Ln sec x c 2 2 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 10 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 7 tan 3xdx 3 tan u tan udu 3 tan usec u 1du 1 4 2 1 2 u 3x 1 du dx 3 2 2 1 1 tan 2 u sec 2 u du tan 2 u du 3 3 v = tg u ; dv = sec2u du 1 2 1 1 v3 1 1 1 1 1 2 v dv sec u 1 du sec 2 udu du v 3 tg u u 3 3 3 3 3 3 9 3 3 1 1 1 1 1 3 3 tan u v x c tan 3x tan 3x (3x) 9 3 9 3 3 1 1 tan3 3x tan 3x x c 9 3 Problema 8 cot xdx csc x 1 dx csc xdx dx ctgx x c 2 2 2 Problema 9 cot xdx cot x cot xdx cot xcsc x 1dx cot x csc xdx cot xdx u du Ln senx 3 2 2 2 u ctgx du csc 2 xdx du csc 2 xdx udu Ln senx 2 ctg x u2 Ln senx c Ln senx 2 2 Problema 10 cot xdx cot x cot xdx cot xcsc x 1 dx cot x csc xdx cot xdx 4 2 2 2 2 2 2 2 u cot x du csc 2 xdx du csc 2 xdx PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 11 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica u 2 du csc 2 x 1 dx u 2 du csc 2 xdx dx u3 ctg x x c 3 cot 3 x cot x x c 3 Problema 11 Problema 12 Problema 13 = Problema 14 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 12 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 1 1 sec7 x sec5 x c 7 5 tan 3 x sec 5 x dx Problema 15 2 3 6 3 4 2 3 2 2 tan x sec xdx tan x sec x sec x dx tan x sec x sec x dx tan 3 x 1 tan 2 x sec 2 x dx tan 3 x(1 2 tan 2 x tan 4 x) sec 2 x dx 2 tan 3 x sec 2 xdx 2 tan 5 x sec 2 xdx tan 7 x sec 2 xdx u tan x du sec 2 xdx u 3 du 2 u 5 du u 7 u 4 2u 6 u 8 tan 4 x tan 6 x tan8 x c c 4 3 8 4 6 8 Problema 16 = Problema 17 sen x cos xdx sen x cos x senx dx 3 2 2 2 1 cos 2 x cos 2 x senx dx cos 2 x senx dx cos 4 x senx dx u 2 du u 4 du u cos x du senxdx du senxdx u3 u5 cos 3 x cos 5 x c c 3 5 3 5 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 13 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 18 tan x sec x dx tan x sec xsec x dx tan x1 tan x sec x dx tan x sec x dx tan x sec x dx 3 4 3 3 2 2 2 2 3 2 5 2 u tan x du sec 2 xdx u 3 du u 5 du u4 u6 tan 4 x tan 6 x c c 4 6 4 6 Problema 19 2 5 3 4 2 2 2 tan x sec x dx tan x sec x sec x tan x dx tan x sec x sec x tan x dx 2 sec 2 x 1 sec 2 x sec x tan x dx sec 4 x 2 sec 2 x 1 sec 2 x sec x tan x dx sec6 x sec x tan x dx 2 sec4 sec x tan x dx sec2 x sec x tan x dx u sec x du sec x tan x u 6 du 2 u 4 du u 2 du u 7 2u 5 u 3 c 7 5 3 1 2 1 sec7 x sec5 x sec3 x c 7 5 3 Problema 20 sen x cos x dx sen x cos x cos x dx sen x 1 sen x cos x dx 3 3 3 2 3 2 sen 3 x cos x dx sen 5 x cos x dx u senx du cos xdx u 3 du u 5 du PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA u4 u6 sen 4 x sen 6 x c c 4 6 4 6 Página 14 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA I . PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES PARA INTEGRAR POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y PRODUCTOS DE POTENCIAS TRIGONOMÉTRICAS. Soluciones 1. Solución: 2. Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 15 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 3. Solución: 4. Solución: 5. Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 16 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 6. Solución: 7. Solución: 8. Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 17 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 9. Solución: 10. Solución: 11. Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 18 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica En éste mismo espacio se resuelve la integral de la secante cúbica que se requiere para el siguiente ejercicio. 12. Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 19 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica SOLUCIÓN AL PROBLEMA PROPUESTO PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 20 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Actividad complementaria II: Soluciones Problema 1 Problema 2 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 21 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 3 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 22 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 4 Problema 5 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 23 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 6 Problema 7 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 24 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 8 Problema 9 Problema 10 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 25 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 11 Problema 12 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 26 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 13 Problema 14 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 27 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 15 Problema 16 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 28 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Problema 17 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 29 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica INTEGRACIÓN POR PARTES. ACTIVIDAD II.PROBLEMAS PROPUESTOS EN LA GUÍA II PROBLEMAS RESUELTOS. 1. x cos xdx x senx senxdx xsenx cos x c xsenx cos x c ux dv cos xdx du dx v senx 2. x sen x dx u dv uv vdu x cos x cos x 2 x dx x cos x 2 x cos x dx x cos x 2x sen x sen x dx 2 u x2 du 2 x dx v cos x dv sen x dx 2 2 2 ux dv cos x dx du dx v sen x x 2 cos x 2x sen x cos x x 2 cos x 2 x sen x 2 cos x c 3. x x x xe dx xe e dx xe x e x c ux dv e x dx du dx v ex 4. x e dx u dv uv vdu x e e 2 x dx x e 2 e x dx x e 2 xe e dx 2 x 2 x x 2 x x 2 x x u x2 dv e x dx du 2 x dx v ex x x 2 e x 2 ex x 2 e x c ux dv e x dx du dx v ex PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 30 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica x e dx x xe dx we 2 2 we dw 2 we e dw 2 we 2 e dw 5. 3 x2 2 x2 w dw 1 w 1 w w 1 w 1 w u=w ; dv=ew dw ; du=dw ; v=ew w x dw 2 xdx dw xdx 2 2 2 1 w 1 w 1 1 2 we e c x 2 e x e x c 2 2 2 2 dx 6. Ln x dx x Ln x x x x Ln x dx x Ln x x c u Ln x du dv dx dx x vx 7. xLn x dx x Ln x x x Ln x x dx x Lnx x x Ln x dx x dx 2 2 x Lnx dx x Ln x dx x 2 Ln x x 2 x Ln x dx x 2 Ln x x 2 2 x2 2 x2 2 1 x 2 ln x 1 x 2 c 2 4 u x dv Ln x dx du dx v x Ln x x 8 x cos x dx u dv uv vdu x sen x senx 2 x dx x sen x 2 x sen x dx x sen x 2 x cos x cos x dx x sen x 2 x cos x cos x dx 2 2 2 2 2 x sen x 2 x cos x sen x 2 x 2 sen x 2 x cos x 2 sen x c PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA u x2 dv cos x dx du 2 x dx v sen x u x dv sen x dx du dx v cos x Página 31 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 9. x e dx u dv uv vdu 3 2x x 3e 2 x 1 e 2 x 3 x 2 dx 2 2 x 3e 2 x 3 2 2 x x e dx 2 2 3 2x xe 3 x 2e 2 x 1 e 2 x 2 x dx 2 2 2 2 u x3 dv e 2 x dx du 3 x dx 1 v e2 x 2 2 u 2x du 2dx du dx 2 1 e u du 2 1 u e 2 x 3e 2 x 3 x 2 e 2 x xe 2 x dx 2 2 2 1 2x 1 2x xe 2 x 1 2 x xe 2 x 1 1 2 x xe 2 x e 2 x 2x xe dx x e e dx e dx e c 2 2 2 2 2 22 2 4 ux dv e 2 x dx du dx 1 v dv e 2 x 2 v e 2 x dx e u du 1 u 1 1 e du e u e 2 x 2 2 2 2 u 2x du 2dx du dx 2 Finalmente la integral original se resuelve así: x 3e 2 x 3 2 2 x 3 2 x 3 2 x x e xe e dx 2 4 4 4 3 2x xe 3 3 31 x 2 e 2 x xe 2 x e 2 x x c 2 4 4 42 1 3 3 3 x 3 e 2 x x 2 e 2 x xe 2 x xe 2 x 2 4 4 8 3 2x x e dx PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 32 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 10. xe dx x(e ) e dx xe x x ux x x e x dx xe x (e x ) xe x e x c dv e x dx du dx v e x INTEGRALES DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.PROBLEMAS ESPECIALES. PROBLEMA 1. = = PROBLEMA 2. PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 33 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica = = =- = COMPROBACIÓN = = = = = = PROBLEMA 3. = = PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 34 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica = COMPROBACIÓN PROBLEMA 4. = = = PROBLEMA 5. = = PROBLEMA 6. 3 tg ctg d PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA = = Página 35 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA7. u ( ) du cosy du 2 seny dy seny dy ( du du 2· c y 2 (1 y y y) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA + c Página 36 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 8 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 37 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO CAMBIO DE VARIABLE PROBLEMA 1. dx x x 3 Hacemos la sustitución : u6 x ya que “ 6 “ es el m.c.m de los índices de ambos radicales :2 y 3 ux6 1 dx 6u 5 du ; Además 3 x u2 x u3 dx 6u 5 du u 3 du 3 x x u 2 u 3 6 1 u Hacemos la sustitución t= u+1 y u=t-1 entonces du = dt 6 t 13 dt 6 t 3 3t 2 3t 1dt t t t 3 3t 2 1 6 t 2 3t 3 dt 6 3t ln t c t 2 3 2u 1 9u 1 18u 1 6 ln u 1 c 3 2 Por lo tanto: 3 2 dx 6 6 2 x 1 9 x 1 18 6 x 1 6 ln 6 x 1 c 3 x x INTENTA REALIZAR LA COMPROBACIÓN ¡¡¡¡ PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 38 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 2. ¡MUY DIFÍCIL! dx Se factoriza x y se introduce bajo el radical : dx = dx u = 2 du = dx =6 dx dx ⋅ du ⋅ c COMPROBACIÓN: d PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA ⋅4 Página 39 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR PARTES PROBLEMA 1. PROBLEMA 2. PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 40 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 3. PROBLEMA 4. PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 41 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 5. - Demostrar la siguiente igualdad : n sen xdx sen n1 x cos x n 1 sen n2 xdx n n Solución: sen xdx sen n n 1 xsenxdx u= sen n 1 x Dv= senxdx Proponiendo: sen xdx cos xsen n n1 x n 1 cos 2 xsen n2 xdx cos xsen n1 x n 1 sen n2 xdx n 1 sen n xdx Agrupando se tiene: n sen xdx sen n 1 x cos x n 1 sen n 2 xdx …… n n Así queda demostrado PROBLEMA 6. x x x e Sen 3 dx 3e Cos 3 9 e Cos 3 dx 3x u e3x 3x x dx 3 ; u e3x dv Cos v 3Cos x 3 ; du 3e 3 x dx v 3Sen dv Sen du 3e 3 x dx 3x x dx 3 x 3 x x x 27e 3 x Sen 81 e 3 x Sen dx 3 3 3 3 3x x x e 9 Sen Cos C 82 3 3 3e 3 x Cos PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 42 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 7. x ln xdx n x n 1 x n 1 dx ln x n 1 n 1 x x n 1 1 dx ln x x n 1 n 1 n 1 x x n 1 1 ln x x n 11 dx n 1 n 1 x n 1 l ln x x n dx n 1 n 1 n 1 x l x n 1 c ln x n 1 n 1 n 1 x n 1 x n 1 ln x c n 1 n 12 x n 1 1 ln x c n 1 n 1 PROBLEMA 8. Sea u= x ; dv= w= du= dx ; ; V= V= - PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 43 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 9 u= arctanx ; dv = xdx ; v= Haciendo la división: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 44 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 10. Sea u= Integrando por partes PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 45 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 11. Sea Integrando esta ultima por partes: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 46 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica ACTIVIDAD III.PROBLEMAS PROPUESTOS INTEGRALES QUE SE RESUELVEN EMPLEANDO INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA PROBLEMA 1. 5 Secu x x²-9 u 3 5 x 3 secu dx 3 secu tgu du 45 15 15 udu 15tgu = 15 +C 5 PROBLEMA 2 tg z x²+16 x z 4 x 4 tgz dx 4 4 4 4 x 4 4tg z 4z 4arctg PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 47 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 3 5 25 25 5 Sen u x dx 5 senu 5 cos u du 5 25 5 5 5u al llegar a ésta parte debemos pensar en quién es u ? y al observar el triángulo comprendemos que u es el ángulo cuyo seno vale : , lo cual se escribe: arc sen el resultado final es: 5 arcsen +c PROBLEMA 4 Sen u 3 x x 3senu u dx 9-x² 9 9 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA 3cosu du 9 cos2u) du Página 48 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica v 2u dv 2du du u · arc sen arc sen sen 2v arc sen x c senv arc sen · · c PROBLEMA 5 Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! PROBLEMA 6 Sec w dx x secw tgw dw = = = +c PROBLEMA 7 Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 49 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 8 = 1 x 1-x² = = = = + +c = = + +C PROBLEMA 9 Después de todos los problemas que hemos resuelto juntos estás obligado a resolverlo tú. Inténtalo y consíguelo ! PROBLEMA 10 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 50 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA 11 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 51 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Actividad Complementaria III. Resuelve las siguientes integrales indicando planteamientos ,operaciones y resultado. Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 52 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Solución: (Fig.1) Sustituyendo estos valores en (1), se obtiene: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 53 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Solución: Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 54 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 55 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Solución: PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 56 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES, POR FRACCIONES PARCIALES, CUANDO EL DENOMINADOR SÓLO TIENE FACTORES LINEALES En los siguientes ejercicios, obtenga la integral indefinida: Soluciones PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 57 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 58 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 59 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 60 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 61 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 62 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 63 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Integración de funciones racionales, por fracciones parciales, cuando el denominador contiene factores cuadráticos Ejercicios resueltos PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 64 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica S o l u c i o n e s PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 65 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 66 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 67 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 68 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 69 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 70 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica MÁS PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES PARCIALES. Caso 1- De esta ecuación obtenemos el siguiente sistema: A+B=1 A-4B=0 Resolviendo este sistema obtenemos: A= PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 71 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Efectuando la división Caso 2 De ésta identidad obtenemos A=6 -2A-B=-8 A+B+C=3 Resolviendo el sistema tenemos A=6 ; B=-4 ; C=1 = PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 72 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Sea u=1-x ; ==- +4 =- Caso -x+3=A ( -x+3=A -x+3=(A+B) De esta identidad obtenemos que A+B= 0 -2ª+C= -1 3A= 3 Resolviendo el sistema A= 1 , B = -1 , C = 1 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 73 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Sea u= = = = Caso IV.- = +Cx+D +(A+C) x+B+D De esta identidad tenemos A=2 B=0 A+C=0 B+D=0 Resolviendo el sistema A=2 ;B=0 ; c=-2 ; D =0 ∴ Sea u= = PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 74 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica Realizando división: dx Caso 1 5x+4 = A 5x+4 = Ax+2A+Bx - 4B 5x+4=(A+B) x + 2A-4B De ésta identidad obtenemos el siguiente sistema A+B = 5 2A-4B = Resolviendo el sistema obtenemos A=4 ;B=1 =x+4 =x + 6) Multiplicando ambos miembros por eliminamos los denominadores y obtenemos : X=A(x-2)+B = Ax-2A+B PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 75 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica De esta identidad tenemos que: A=1 & -2A+B=0 Resolviendo el sistema: A=1 ;B=2 Sea = = = 7) Caso 1 Ax+A+Bx+2B De esta identidad tenemos: A+B=5 A+2B=8 Resolviendo el sistema tenemos que A=2 ,B=3 =2 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 76 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica 8) Caso 3 (A+B) De esta identidad tenemos : A+B= 4 C= 0 3A=6 Resolviendo el sistema a=2 ,b=2 c=0 =2 = 9) A A+B +Ct-2C-2Bt A+B ) + (C-2B) t +4 A-2C DE ESTA IDENTIDAD OBTENEMOS EL SIGUIENTE SISTEMA: A+B=2 C-2B=-4 4A-2C=-4 RESOLVIENDO EL SISTEMA : A = -1 , B= 1 – A = 2 , C=0 PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 77 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROBLEMA DE CONCURSO PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 78 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 79 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica ¡ MÁS PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA! P1) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 80 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P2) P3) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 81 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica La integral de la secante cúbica ya fue resuelta en el tema de integración por partes = P4) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 82 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica = P5) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 83 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P6) P7) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 84 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P8) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 85 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P9) Integrando ésta última por partes : PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 86 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P10) P11) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 87 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica P12) - P13) PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 88 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica BIBLIOGRAFÍA AYRES , F. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”. SERIE SCHAUM, M C GRAW -HILL, M ÉXICO. BOSCH-GUERRA. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”.ED.PUBLICACIONES CULTURAL,M ÉXICO DEL GRANDE , D. “C ÁLCULO ELEMENTAL ”. ED . H ARLA, M ÉXICO ELFRIEDE W. “ DIDÁCTICA _ C ÁLCULO INTEGRAL”.G RUPO EDITORIAL IBEROAMÉRICA.M ÉXICO. FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. FUENLABRADA , S. “C ÁLCULO INTEGRAL ”. E D. T RILLAS , M ÉXICO GRANVILLE ,W.A. “C ÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ”, ED. LIMUSA, M ÉXICO LEITHOLD, L. “C ÁLCULO”, ED. OXFORD UNIVERSITY PRESS , M ÉXICO PURCELL, E.J. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”.ED.LIMUSA, M ÉXICO. STEWART, J. “C ALCULO DE UNA VARIABLE”. ED.T HOMPSON, M ÉXICO. SWOKOWSKY , E. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”. ED. IBEROAMERICANA, M ÉXICO. ZILL,D.G. “C ÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA”ED. IBEROAMERICANA, M ÉXICO. FINNEY,R.L. “CÁLCULO DE UNA VARIABLE”. ED.PRENTICE HALL,MÉXICO. PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 89 INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL CECYT “WILFRIDO MASSIEU PÉREZ” Departamento de Unidades de Aprendizaje del Área Básica PÁGINAS ELECTRÓNICAS http://www.vitutor.com http://www.vadenumeros.es http://www.vadenumeros.es/index.htm http://www.acienciasgalilei.com HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM HTTP:// WWW. MATEMATICASBACHILLER . COM/ TEMARIO/ CALCULIN / TEMA_01/ INDICE .HTML PROFR. LUIS ALFONSO RONDERO GARCÍA Página 90