2. PC1- 2024 1- Desigualdad de Cauchy-Schwarz (6 pts)
Una empresa produce y vende n bienes. Para cada i 2 {1, . . . , n}, pi denota el precio unitario del bien i, en
unidades monetarias, y qi denota la cantidad vendida del bien i. En este caso, el ingreso total de la empresa
es dado por
I = p1 q 1 + · · · + pn q n .
p
a) (2.5 pts) Suponga que cada bien i es vendido a un precio unitario pi = i u.m.. Use la desigualdad de
Cauchy-Schwarz para probar que
n
n(n + 1) X 2
2
I
qi .
2
i=1
b) (2.5 pts) Considerando lo anterior, suponga que la producción debe satisfacer la restricción
n
X
qi2 = Q,
i=1
donde Q es una constante positiva. Determine las cantidades q1 , . . . , qn que la empresa debe producir y
vender para obtener el máximo ingreso. (Ayuda: use Cauchy-Schwarz, no intente usar multiplicadores de
Lagrange.)
c) (1 pto) Si se sabe que para Q = 840, el ingreso máximo es 420 u.m., calcule el número de bienes n.
Solución:
Considere los vectores de precio y cantidad: p = (p1 , . . . , pn )0 y q = (q1 , . . . , qn )0 . Entonces I = p0 q.
a) Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, se tiene que (p0 q)2 kpk2 kqk2 . Como pi =
n
X
n(n + 1)
kpk2 =
i=
, y ası́
2
i=1
n
n(n + 1) X 2
I 2 kpk2 kqk2 =
qi .
2
p
i entonces
i=1
b) Recordemos que la desigualdad (p0 q)2 kpk2 kqk2 se convertirá en igualdad, siempre que exista t 2 R tal
que q = tp (es decir,
p cuando p y q son paralelos). Por ende, e l ingreso máximo se dará cuando exista t 2 R
tal que qi = tpi = t i, para todo i = 1, . . . , n. Como las cantidades son positivas, lo anterior implica t > 0.
Más aún, como kqk2 = Q, se tiene
s
2Q
2
2
2
2 n(n + 1)
Q = kqk = t kpk = t
! t=
,
2
n(n + 1)
y, por lo tanto,
qi =
s
2Qi
,
n(n + 1)
2
b) De lo anterior, el ingreso máximo es dado por Imax
=
4202 =
n(n + 1)
840
2
!
i = 1, . . . , n
n(n + 1)
Q. Reemplazando los datos, tenemos
2
n(n + 1) = 420 = 20 ⇥ 21,
es decir, n = 20.
⌅
3
